Potenciación y radicación
Integrantes
- Julio Jaziel De León Martínez 2020-0461
- Nathali Antonia Candelario Disla 2021-0814
- Julio Ismael Soriano 2021-0800
- Wanda Lora Silvestre 2021-0834
- Crismairy Elizabeth Porfirio Trinidad 2021-0807
Generales
Potenciación
Radicación
La potenciación.
La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. 7 · 7 · 7 · 7 = 74 Base La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 7. Exponente El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.
La radicación es la operación matemática que encuentra o extrae la raíz de un número. Básicamente consiste en encontrar la base de una potencia conociendo el exponente, por ello se conoce como la operación inversa de la potenciación.
Partes de la radicación
Relación entre la Radicación y la Potenciación
Ejemplo:
¿Qué número elevado a la 3 da como resultado 8?
Se lee raíz cúbica de ocho, o raíz tercera de ocho.
Simplificación de potencias y raices
Para simplificar una potencia de un exponente, multiplicas los exponentes, manteniendo la misma base. Por ejemplo, (23)5 = 215. Para cualquier número x y cualesquiera enteros a y b: (xa)b= xa· b. Para simplificar un radical simplificando el índice y los exponentes, basta con dividir tanto el índice del radical como los exponentes de las potencias que haya en el radicando entre su máximo común divisor (M.C.D.).
Teoremas de la potenciación
Las leyes o reglas de la potenciación son en total 5 y están definidas para exponentes en el campo de los números enteros y viene con sus respectiva demostración. Veamos cada una de estas propiedades con sus respectivos ejemplos.
Potencia de un producto (regla 2)
La potencia de un producto bajo un exponente es igual a la multiplicación de los factores del producto con el mismo exponente.
Multiplicación de potencias de bases iguales (regla 1) El producto de potencias de bases iguales resulta otra potencia con la misma base pero con los exponentes sumados.
No olvidar que
m
y
n
indican cuantas veces se debe de multiplicar la base
a
, la base puede tomar cualquier valor que te imagines.
Teoremas de la potenciación
Potencia de potencia (regla 3)Una potencia con exponente dado al ser elevado a otro exponente, resulta una potencia con los exponentes multiplicados.
Cómo ven, los exponentes m y n se multiplican al quitar los signos de agrupación.
Teoremas de la potenciación
División de potencias de bases iguales (regla 4)
El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevado a la diferencia de los exponentes de dichas potencias.
Potencia de un cociente (regla 5)
La potencia de un cociente es igual al cociente de potencias con el mismo exponente.
Teoremas de la radicacion
En este tema generalmente existe 3 leyes principales de los radicales, junto con las 5 principales leyes de la potenciación representan las conocidisimas leyes de la teoría de exponentes, veamos cada una de ellas.
Ley de raíz de un producto
Se cumple para cualquier valor de
a
y
b
y un entero
n
lo siguiente:
Es decir, la raíz de un producto es igual al producto de sus raíces.
Teoremas de la radicacion
Ley de raíz de raíz se demuestra que:
Ley de raíz de un cociente se logra demostrar que:
Raíz de raíz de raíz de un término es igual una sola raíz de ese término, note que los índices
m
,
n
,
p
se multiplican.
La raíz de un cociente es igual al cociente de sus raíces, donde
b
≠
0
ya que no existe un número que se pueda dividir entre 0.
Suma y resta de potencias
Suma de potencias Para hacer una suma de potencias primero hay que calcular el valor de cada potencia y luego sumarlas. No importa que la base sea igual o diferente, el procedimiento es el mismo: primero calculas el valor de cada potencia y luego realizas la suma.
Para hacer la resta de potencias, igual que para sumar potencias, calculamos primero el valor de las potencias y luego restamos.
No importa que la base sea igual o diferente, el procedimiento es el mismo: primero calculas el valor de cada potencia y luego realizas la resta.
1.Calculamos el valor de cada una de las potencias
Si la base de las potencias es igual o distinta no importa, el procedimiento es el mismo.
Calculamos el valor de cada una de las potencias
Si la base de las potencias es igual o distinta no importa, el procedimiento es el mismo.
Calculamos la diferencia de los valores obtenidos.El resultado será la diferencia de las potencias.
2.Sumamos los valores obtenidos
El resultado será la suma de las potencias.
multiplicación de potencias
Para multiplicar potencias de igual base se mantiene la base y se suman los exponentes.
Por ejemplo:
Para hacer la multiplicación de potencias de distinta base, igual que para sumar, calculamos primero el valor de las potencias y luego multiplicamos.
división de potencias
Potencias de igual base Dividir potencias de igual base es como multiplicar potencias, pero restando los exponentes y manteniendo la misma base.
Potencias de distinta base La división de potencias de distinta base se realiza de un modo diferente porque primero hay que calcular el valor de cada potencia por separado y posteriormente realizar la división.
Suma y resta de raices
Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes, quiere decir que deben compartir el mismo índice y radicando; también hay que estar familiarizados con la suma y resta de números con signo para poder realizar estas operaciones.
multiplicación de raices
Multiplicación de raíces de distinto índice
Multiplicación de raíces de igual índice
Para realizar una multiplicación de radicales que tengan distinto índice es obligatorio reducir esos índices distintos a un índice común (igual para todos los radicales). Reducción de radicales a índice común
¿Cómo hacerlo?
El primer paso es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices , que será el índice común.
Luego, dividimos ese índice común por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Veamos un ejemplo:
Si tuviésemos que multiplicar entre sí las cantidades siguientes:
Esto significa que si dos números están multiplicándose dentro de una raíz, se puede extraer la raíz de cada uno de ellos en forma separada y luego multiplicarlos; o también que si hay dos raíces de igual grado multiplicándose se pueden multiplicar los números y obtener la raíz después.
Dentro de la raíz cuadrada tenemos una multiplicación (9x4), sacamos la raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos.
En este ejemplo, igual anotamos el radical en forma separada, pero como no es posible extraer la raíz exacta a ninguno de los nuevos radicales, lo más conveniente es multiplicar las bases (12 x 3) primero y luego sacar la raíz cuadrada al resultado.
división de raices
División de radicales con distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
División de radicales con el mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
El común indice es 6, que es el m.c.m. de 2 y 3
Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (3 y 2) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1 y 1)
Descomponemos 4 en factores y realizamos las operaciones con potencias
Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice
Descompnemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base
Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por 3.
Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.
Raíz Cuadrada y Cúbica.
En las matemáticas, la raíz cuadrada de un número es aquel número y que al ser multiplicado por sí mismo da como resultado el valor x, es decir, cumple la ecuación Y2 = x.
Se corresponde con la radicación de índice 2 o, equivalentemente, con la potenciación de exponente 1/2.
√1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5
Para extraer u obtener la raíz cuadrada de un número entero, se debe comenzar con la descomposición del número y la descomposición se realiza separando en periodos de dos cifras cada número.
Así para sacar la raíz cuadrada de 85,495 debemos descomponer el número en dos cifras iniciando de derecha a izquierda.
8’54’95
Así el primer número debe ser 95, a su izquierda 54 y finalmente 8, separándose cada uno por (’).
Raíz Cúbica.
Procedimiento para extraer la raíz cúbica de un número
¿Cómo sacar la raíz cúbica de un número? PRIMER PASO. (Color negro) Comenzamos por dividir el número en periodos. Cada periodo estará formado por tres números. En los números enteros se contarán a partir del punto decimal, hacia la izquierda en los números enteros, y hacia la derecha en los números decimales. Calcularemos la raíz cúbica de 12326391. Dividimos el número en periodos y lo colocamos dentro del símbolo de radical. SEGUNDO PASO. (color azul) Calculamos la raíz cúbica del primer periodo (que es el que está más a la izquierda), buscando el número que elevado al cubo sea igual o se acerque más al número que buscamos, sin pasarse y lo restamos. TERCER PASO. (color morado) Bajamos el siguiente periodo y lo colocamos junto al resultado de la resta. Separamos los dos últimos números de la derecha. elevamos al cuadrado el número que tenemos como raíz, y lo multiplicamos por tres. Dividimos el número que quedó separado hacia la izquierda en el resultado entre el número que acabamos de obtener, y el resultado entero de la división es el siguiente número de la raíz. CUARTO PASO. (color verde) Del número que tenemos como raíz, separamos las unidades (que serán el valor u de nuestra ecuación) y los números restantes serán las decenas. A continuación, determinamos los valores de 3d2u, 3du2 y u3, los sumamos y restamos el resultado. QUINTO PASO. (color marrón). Bajamos el siguiente periodo junto al resultado de la resta y separamos las dos últimas cifras. Elevamos al cuadrado la raíz y multiplicamos por tres. Dividimos el número que quedó entre el resultado de la multiplicación que acabamos de hacer y el resultado entero es el siguiente número de la raíz. SEXTO PASO. (color rojo). Volvemos a separar las unidades y las decenas. Si la raiz tiene tres o más cifras, al separar las unidades, el valor de d (las decenas) pueden contener dos o más cifras. Determinamos los valores de 3d2u, 3du2 y u3, sumamos sus resultados y restamos.
Los pasos quinto y sexto se repiten hasta que el resultado sea cero si la raíz es exacta o se llegue al residuo si es inexacta. Se sigue el mismo procedimiento cuando el número al que se extrae la raíz tiene números decimales.
Jerarquía de operaciones.
Este es un método utilizado para resolver operaciones matematicas que contengan más de 1 operaciones aritmética. Este método indica que: En una operación matemática con suma, división, resta potencia y raíces; las primeras operaciones aritméticas que se deben de resolver son la potencia y las raíces. Después, se deben de resolver la división y la multiplicación y por último la suma y la resta. Ejm: 20+(√100)-((30×(2²))÷4) = 20+ 10-30 × 4 ÷4= 20+10-120÷4= 20+10-30= 0
gRACIAS POR SU ATENCIÓN
Potenciación y Radicación
Jaziel De León
Created on March 19, 2021
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Potenciación y radicación
Integrantes
Generales
Potenciación
Radicación
La potenciación. La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. 7 · 7 · 7 · 7 = 74 Base La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 7. Exponente El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.
La radicación es la operación matemática que encuentra o extrae la raíz de un número. Básicamente consiste en encontrar la base de una potencia conociendo el exponente, por ello se conoce como la operación inversa de la potenciación. Partes de la radicación
Relación entre la Radicación y la Potenciación
Ejemplo: ¿Qué número elevado a la 3 da como resultado 8?
Se lee raíz cúbica de ocho, o raíz tercera de ocho.
Simplificación de potencias y raices
Para simplificar una potencia de un exponente, multiplicas los exponentes, manteniendo la misma base. Por ejemplo, (23)5 = 215. Para cualquier número x y cualesquiera enteros a y b: (xa)b= xa· b. Para simplificar un radical simplificando el índice y los exponentes, basta con dividir tanto el índice del radical como los exponentes de las potencias que haya en el radicando entre su máximo común divisor (M.C.D.).
Teoremas de la potenciación
Las leyes o reglas de la potenciación son en total 5 y están definidas para exponentes en el campo de los números enteros y viene con sus respectiva demostración. Veamos cada una de estas propiedades con sus respectivos ejemplos.
Potencia de un producto (regla 2) La potencia de un producto bajo un exponente es igual a la multiplicación de los factores del producto con el mismo exponente.
Multiplicación de potencias de bases iguales (regla 1) El producto de potencias de bases iguales resulta otra potencia con la misma base pero con los exponentes sumados.
No olvidar que m y n indican cuantas veces se debe de multiplicar la base a , la base puede tomar cualquier valor que te imagines.
Teoremas de la potenciación
Potencia de potencia (regla 3)Una potencia con exponente dado al ser elevado a otro exponente, resulta una potencia con los exponentes multiplicados.
Cómo ven, los exponentes m y n se multiplican al quitar los signos de agrupación.
Teoremas de la potenciación
División de potencias de bases iguales (regla 4) El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevado a la diferencia de los exponentes de dichas potencias.
Potencia de un cociente (regla 5) La potencia de un cociente es igual al cociente de potencias con el mismo exponente.
Teoremas de la radicacion
En este tema generalmente existe 3 leyes principales de los radicales, junto con las 5 principales leyes de la potenciación representan las conocidisimas leyes de la teoría de exponentes, veamos cada una de ellas.
Ley de raíz de un producto Se cumple para cualquier valor de a y b y un entero n lo siguiente:
Es decir, la raíz de un producto es igual al producto de sus raíces.
Teoremas de la radicacion
Ley de raíz de raíz se demuestra que:
Ley de raíz de un cociente se logra demostrar que:
Raíz de raíz de raíz de un término es igual una sola raíz de ese término, note que los índices m , n , p se multiplican.
La raíz de un cociente es igual al cociente de sus raíces, donde b ≠ 0 ya que no existe un número que se pueda dividir entre 0.
Suma y resta de potencias
Suma de potencias Para hacer una suma de potencias primero hay que calcular el valor de cada potencia y luego sumarlas. No importa que la base sea igual o diferente, el procedimiento es el mismo: primero calculas el valor de cada potencia y luego realizas la suma.
Para hacer la resta de potencias, igual que para sumar potencias, calculamos primero el valor de las potencias y luego restamos. No importa que la base sea igual o diferente, el procedimiento es el mismo: primero calculas el valor de cada potencia y luego realizas la resta.
1.Calculamos el valor de cada una de las potencias Si la base de las potencias es igual o distinta no importa, el procedimiento es el mismo.
Calculamos el valor de cada una de las potencias Si la base de las potencias es igual o distinta no importa, el procedimiento es el mismo.
Calculamos la diferencia de los valores obtenidos.El resultado será la diferencia de las potencias.
2.Sumamos los valores obtenidos El resultado será la suma de las potencias.
multiplicación de potencias
Para multiplicar potencias de igual base se mantiene la base y se suman los exponentes. Por ejemplo:
Para hacer la multiplicación de potencias de distinta base, igual que para sumar, calculamos primero el valor de las potencias y luego multiplicamos.
división de potencias
Potencias de igual base Dividir potencias de igual base es como multiplicar potencias, pero restando los exponentes y manteniendo la misma base.
Potencias de distinta base La división de potencias de distinta base se realiza de un modo diferente porque primero hay que calcular el valor de cada potencia por separado y posteriormente realizar la división.
Suma y resta de raices
Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes, quiere decir que deben compartir el mismo índice y radicando; también hay que estar familiarizados con la suma y resta de números con signo para poder realizar estas operaciones.
multiplicación de raices
Multiplicación de raíces de distinto índice
Multiplicación de raíces de igual índice
Para realizar una multiplicación de radicales que tengan distinto índice es obligatorio reducir esos índices distintos a un índice común (igual para todos los radicales). Reducción de radicales a índice común ¿Cómo hacerlo? El primer paso es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices , que será el índice común. Luego, dividimos ese índice común por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes. Veamos un ejemplo: Si tuviésemos que multiplicar entre sí las cantidades siguientes:
Esto significa que si dos números están multiplicándose dentro de una raíz, se puede extraer la raíz de cada uno de ellos en forma separada y luego multiplicarlos; o también que si hay dos raíces de igual grado multiplicándose se pueden multiplicar los números y obtener la raíz después.
Dentro de la raíz cuadrada tenemos una multiplicación (9x4), sacamos la raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos.
En este ejemplo, igual anotamos el radical en forma separada, pero como no es posible extraer la raíz exacta a ninguno de los nuevos radicales, lo más conveniente es multiplicar las bases (12 x 3) primero y luego sacar la raíz cuadrada al resultado.
división de raices
División de radicales con distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
División de radicales con el mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
El común indice es 6, que es el m.c.m. de 2 y 3 Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (3 y 2) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1 y 1) Descomponemos 4 en factores y realizamos las operaciones con potencias
Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice Descompnemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por 3.
Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.
Raíz Cuadrada y Cúbica.
En las matemáticas, la raíz cuadrada de un número es aquel número y que al ser multiplicado por sí mismo da como resultado el valor x, es decir, cumple la ecuación Y2 = x.
Se corresponde con la radicación de índice 2 o, equivalentemente, con la potenciación de exponente 1/2.
√1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5
Para extraer u obtener la raíz cuadrada de un número entero, se debe comenzar con la descomposición del número y la descomposición se realiza separando en periodos de dos cifras cada número. Así para sacar la raíz cuadrada de 85,495 debemos descomponer el número en dos cifras iniciando de derecha a izquierda. 8’54’95 Así el primer número debe ser 95, a su izquierda 54 y finalmente 8, separándose cada uno por (’).
Raíz Cúbica.
Procedimiento para extraer la raíz cúbica de un número ¿Cómo sacar la raíz cúbica de un número? PRIMER PASO. (Color negro) Comenzamos por dividir el número en periodos. Cada periodo estará formado por tres números. En los números enteros se contarán a partir del punto decimal, hacia la izquierda en los números enteros, y hacia la derecha en los números decimales. Calcularemos la raíz cúbica de 12326391. Dividimos el número en periodos y lo colocamos dentro del símbolo de radical. SEGUNDO PASO. (color azul) Calculamos la raíz cúbica del primer periodo (que es el que está más a la izquierda), buscando el número que elevado al cubo sea igual o se acerque más al número que buscamos, sin pasarse y lo restamos. TERCER PASO. (color morado) Bajamos el siguiente periodo y lo colocamos junto al resultado de la resta. Separamos los dos últimos números de la derecha. elevamos al cuadrado el número que tenemos como raíz, y lo multiplicamos por tres. Dividimos el número que quedó separado hacia la izquierda en el resultado entre el número que acabamos de obtener, y el resultado entero de la división es el siguiente número de la raíz. CUARTO PASO. (color verde) Del número que tenemos como raíz, separamos las unidades (que serán el valor u de nuestra ecuación) y los números restantes serán las decenas. A continuación, determinamos los valores de 3d2u, 3du2 y u3, los sumamos y restamos el resultado. QUINTO PASO. (color marrón). Bajamos el siguiente periodo junto al resultado de la resta y separamos las dos últimas cifras. Elevamos al cuadrado la raíz y multiplicamos por tres. Dividimos el número que quedó entre el resultado de la multiplicación que acabamos de hacer y el resultado entero es el siguiente número de la raíz. SEXTO PASO. (color rojo). Volvemos a separar las unidades y las decenas. Si la raiz tiene tres o más cifras, al separar las unidades, el valor de d (las decenas) pueden contener dos o más cifras. Determinamos los valores de 3d2u, 3du2 y u3, sumamos sus resultados y restamos. Los pasos quinto y sexto se repiten hasta que el resultado sea cero si la raíz es exacta o se llegue al residuo si es inexacta. Se sigue el mismo procedimiento cuando el número al que se extrae la raíz tiene números decimales.
Jerarquía de operaciones.
Este es un método utilizado para resolver operaciones matematicas que contengan más de 1 operaciones aritmética. Este método indica que: En una operación matemática con suma, división, resta potencia y raíces; las primeras operaciones aritméticas que se deben de resolver son la potencia y las raíces. Después, se deben de resolver la división y la multiplicación y por último la suma y la resta. Ejm: 20+(√100)-((30×(2²))÷4) = 20+ 10-30 × 4 ÷4= 20+10-120÷4= 20+10-30= 0
gRACIAS POR SU ATENCIÓN