Combinatoria 4º ESO

COMBINATORIA

Índice

1. Introducción

2. Permutaciones

3. Variaciones

4. Combinaciones

5. Esquema resumen

6. Ejercicios

INTRODUCCIÓN

¿Qué es y para qué sirve?Definiciones. Tipos.

O1

introducción

• ¿Qué es?La combinatoria estudia los métodos para contar las distintas configuraciones de los elementos de un conjunto.
• Definiciones
• Población (m): Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Se pueden ver como el número de elementos disponibles para hacer la configuración.
• Muestra (n): Es un subconjunto de la población. Son el número de elementos que emplearemos en cada configuración.

introducción

• Tipos:
• Combinaciones
• Permutaciones
• Variaciones
• Nos fijaremos en...
• Orden
• Uso de todos los elementos
• Repetición

introducción

PERMUTACIONES

O2

Sin repetición.

Con repetición.

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

• ¿Qué son?Son configuraciones en las que sí importa el orden y sí intervienen todos los elementos (n=m) pero sin poder repetirse.También son llamadas “ordenaciones de un conjunto” ya que son las posibles formas distintas de ordenar un conjunto de elementos distintos sin repetirlos.

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

• ¿Qué son?Son configuraciones en las que sí importa el orden y sí intervienen todos los elementos (n=m) pero sin poder repetirse.También son llamadas “ordenaciones de un conjunto” ya que son las posibles formas distintas de ordenar un conjunto de elementos distintos sin repetirlos.

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Diagramas en árbol

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Fórmula

_ _ _ _ ... _

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Fórmula

_ _ _ _ ... _

m-1

m-2

m-3

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Fórmula

_ _ _ _ ... _

m-1

P = m · (m-1) · (m-2) · ... · 1

m-2

m-3

P = m !

ejercicio

¿Cuántas palabras de cuatro letras, sin repetir ninguna letra, con o sin sentido, podemos formar con las letras de la palabra MESA?

Solución

¿De cuántas formas podemos ordenar una baraja de cartas española (40 cartas)?

Solución

PERMUTACIONES

O2

Sin repetición.

Con repetición.

PERMUTACIONES con REPETICIÓN

• ¿Qué son?Son configuraciones de m elementos en los que importa el orden y usamos todos los elementos, pero algunos de esos elementos están repetidos.

PERMUTACIONES con REPETICIÓN

• ¿Qué son?Son configuraciones de m elementos en los que importa el orden y usamos todos los elementos, pero algunos de esos elementos están repetidos.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Fórmula

PR =

a,b,...

m!

a! · b! · ...

ejercicio

Solución

¿Cuántas palabras de tres letras, con o sin sentido, podemos formar con las letras del nombre ANA?

Un espía consigue ver qué teclas de un código secreto de 9 huecos se han pulsado gracias a las huellas dactilares: O (4 veces),R (3 veces), H (1 vez), S (1 vez). ¿Cuántas configuraciones posibles existen? ¿Se te ocurre alguna que forme una palabra que tenga sentido?

Solución

variaciones

O3

Sin repetición.

Con repetición.

variaciones SIN REPETICIÓN

• ¿Qué son?Son configuraciones en las que sí importa el orden y no intervienen todos los elementos (n<m), y además no pueden repetirse.Son variaciones sin repetición los diferentes grupos de m elementos diferentes tomados de n en n que se diferencian los unos de los otros bien por los elementos que lo componen, bien por el orden en que aparecen.

variaciones SIN REPETICIÓN

• ¿Qué son?Son configuraciones en las que sí importa el orden y no intervienen todos los elementos (n<m), y además no pueden repetirse.Son variaciones sin repetición los diferentes grupos de m elementos diferentes tomados de n en n que se diferencian los unos de los otros bien por los elementos que lo componen, bien por el orden en que aparecen.

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Diagramas en árbol

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Fórmula

_ _ _ _ ... _

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Fórmula

_ _ _ _ ... _

m-1

m-2

m-3

m-n+1

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Fórmula

_ _ _ _ ... _

m-1

m-2

m-3

m-n+1

V = m · (m-1) · (m-2) · ...

n factores

V =

m!

(m-n)!

EJERCICIO

Se van a sortear los cargos de Presidencia, Secretaría y Tesorería en una Asociación entre 4 personas. ¿De cuántas maneras puede estar formada la junta?

Solución

EJERCICIO

¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con las 9 cifras significativas del sistema decimal?

Solución

variaciones

O3

Sin repetición.

Con repetición.

variaciones con REPETICIÓN

• ¿Qué son?Son variaciones con repetición las diferentes secuencias de longitud n que se pueden formar con un conjunto de m elementos diferentes que se repiten, importándome el orden.

VARIACIONES con REPETICIÓN

Fórmula

_ _ _ _ ... _

VARIACIONES con REPETICIÓN

Fórmula

_ _ _ _ ... _

VARIACIONES con REPETICIÓN

Fórmula

_ _ _ _ ... _

m,n

VR = m

Con dos símbolos, 0 y 1, ¿cuántas tiras de 4 símbolos se pueden escribir?

Solución

EJERCICIO

Lanzamos una moneda siete veces consecutivas y anotamos el resultado (cara o cruz) en el orden en el que aparecen. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?

Solución

combinaciones

O4

Sin repetición.

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

• ¿Qué son?Son configuraciones en las que no importa el orden.Son combinaciones de m elementos diferentes tomados de n en n de modo que cada grupo se diferencia de los demás por los elementos que lo forman, pero no por el orden en que aparecen.

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

Fórmula

m!

C =

m,n

(m-n)! · n!

EJERCICIO

¿De cuántas formas puedo elegir 6 preguntas de un examen de 10 para aprobar?

Solución

Quiero mezclar 2 colores diferentes de 4 pinturas que tengo. ¿Cuántos colores distintos me saldrán?

Solución

esquema resumen

O5

n=m

n=m

n≠m

n<m

n<m

ejercicios

O6

En una clase de 10 alumnos, van a distribuirse 3 premios. ¿De cuántos modos pueden hacerse si los premios son iguales y sólo se puede recibir un premio por persona?

En una clase de 10 alumnos, van a distribuirse 3 premios. ¿De cuántos modos pueden hacerse si los premios son diferentes y sólo se puede recibir un premio por persona?

En una clase de 10 alumnos, van a distribuirse 3 premios. ¿De cuántos modos pueden hacerse si los premios son diferentes y sí se puede recibir más de un premio por persona?

¿Cuántas letras de 5 signos, con 3 rayas y 2 puntos, podría tener el alfabeto Morse?

Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres idénticas en una fila. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas formas puede hacerse?

Pág. 131, ejercicio 1

Se va a celebrar la final de salto de longitud en un torneo de atletismo. Participan 8 atletas. ¿De cuántas formas pueden repartirse las tres medallas: oro, plata y bronce?

Pág. 131, ejercicio 2

El sistema de matrículas de vehículos consiste en un número de 4 dígitos seguido de un bloque de 3 letras consonantes (sólo se usan 21 letras). Ejemplo: 0474-KTK ¿Cuántas placas hay con un determinado bloque de letras?

Pág. 131, ejercicio 2

El sistema de matrículas de vehículos consiste en un número de 4 dígitos seguido de un bloque de 3 letras consonantes (sólo se usan 21 letras). Ejemplo: 0474-KTK ¿Cuántas placas hay con la misma parte numérica?

Pág. 131, ejercicio 2

El sistema de matrículas de vehículos consiste en un número de 4 dígitos seguido de un bloque de 3 letras consonantes (sólo se usan 21 letras). Ejemplo: 0474-KTK ¿Cuántas placas se pueden formar en total con este sistema?

Pág. 132, ejercicio 3

El alumnado de 4º ESO del Colegio Brains está viciado al ajedrez. Se pasan todas las clases y los patios jugando partidas entre ellos. En una clase, 23 estudiantes han organizado un campeonato. En la primera ronda, cada participante debe jugar contra todos los demás una sola partida. ¿Cuántas partidas se disputarán?

Pág. 132, ejercicio 4

¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

Pág. 132, ejercicio 5

Con las letras de la palabra LIBRO se van a construir palabras, con o sin sentido.a) ¿Cuántas palabras de cuatro letras distintas se pueden formar?b) ¿Cuántas palabras de cinco letras distintas se pueden formar?

Pág. 132, ejercicio 6

Con los 7 colores del arcoíris, ¿cuántas banderas de franjas verticales diferentes se pueden hacer con 4 de ellos?

Pág. 135, ejercicio 17

¿Cuántos triángulos quedan determinados por 6 puntos, tales que no haya 3 alineados?

Pág. 135, ejercicio 17

¿Cuántos triángulos quedan determinados por 6 puntos, tales que no haya 3 alineados?

Ejercicio

¿Cuántas diagonales tiene un cuadrado? ¿Y un pentágono? ¿Y un dodecágano?

Ejercicio

¿Cuántos patrones de desbloqueo de móvil diferentes existen si constan de 9 puntos?

Ejercicio

¿Cuántas contraseñas de desbloqueo de móvil distintas existen si...? a) La contraseña es de 4 dígitos. b) La contraseña es de 6 dígitos.¿Qué relación existe entre ellos? Es decir, ¿por cuánto se multiplican las distintas posibilidades?

Ejercicio

Seis personas están jugando a la botella en octubre de 2019 (era pre-covid). ¿Cuántas posibles parejas hay?

Pág. 141, ejercicio 37

¿De cuántas maneras se pueden ordenar 6 discos en un estante?

Pág. 138, ejercicio 31

¿De cuántas maneras se pueden colocar 10 libros en un estante, si 4 deben ocupar los mismos lugares, aún cuando estos 4 pueden intercambiarse entre sí?

Pág. 138, ejercicio 29

¿De cuántas maneras pueden alinearse 10 personas, si 3 de ellas deben estar juntas?

Pág. 137, ejercicio 26

En una urna, hay 5 bolas del mismo tamaño y peso, de las cuales 3 son rojas y 2 son azules. ¿De cuántas maneras se pueden extraer una a una las bolas de la urna?

Pág. 136, ejercicio 21

¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BANANA?

Pág. 136, ejercicio 22

Un marino tiene 4 banderas distintas para hacer señales. ¿Cuántas señales diferentes puede hacer si colocar 3 banderas en un mástil, una sobre otra?

Pág. 135, ejercicio 18

Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene 5 pisos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de una persona?

Pág. 137, ejercicio 28

¿De cuántas maneras se pueden bajar de un ascensor 4 personas, en un edificio que tiene 7 pisos?

Pág. 133, ejercicio 9

En un juego de azar, se tienen que elegir seis números entre cuarenta y nueve totales. ¿Cuántas posibles elecciones de números se pueden hacer?