Suites Géométriques

Suites Géométriques

1 - Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

2 - Comment montrer qu'une suite est ou n'est pas géométrique ?

3 - Comment déterminer et utiliser la formule explicite d'une suite géométrique ?

4 - Comment calculer la somme de termes d'une suite géométrique ?

Crée par Cécile Bertrand - Lycée Lafayette Brioude

5 - Modéliser une situation concrète par une suite géométrique.

1 - Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même nombre (appelé la raison). Une suite géométrique (un) de raison q est donc définie par son premier terme et par la relation de récurrence un+1 = un × q.

Exemples

A toi de jouer !

(un ) est une suite géométrique de raison 2 telle que u5 = 512.

Que vaut u6 ?

Que vaut u4 ?

Que vaut u0 ?

La relation de récurrence est un+1 = un × ......

Que vaut u15 ÷ u14 ?

(vn ) définie par v1 = 35 et vn+1 = 0,8vn est une suite géométrique de raison q = ......

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2 - Comment montrer qu'une suite est ou n'est pas géométrique ?

Méthode On calcule les 3 premiers termes u0 ; u1 et u2. Si u1 ÷ u0 ≠ u2 ÷ u1 alors (un) n'est pas géométrique. Si u1 ÷ u0 = u2 ÷ u1 = q alors (un) semble géométrique. Pour le prouver, on montre que = q.

un+1

______

un

Exemple en vidéo

A toi de jouer !

Complète les deux démonstrations ci-dessous :

1. Pour tout entier naturel n : un = n2 + 1.

• 5
• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

• 2
• 0
• 1
• 3
• 4
• 5

• 1
• 0
• 2
• 3
• 4
• 5

uo = ; u1 = ; u2 =

u2 ÷ u1 u1 ÷ u0

• ≠
• =
• <

donc (un) géométrique

• n'est pas
• est
• semble

2. Pour tout entier naturel n : vn = 7×3n .

donc (vn) géométrique

vo = ; v1 = ; v2 =

• semble
• est
• n'est pas

• 21
• 7
• 3
• 1
• 0
• 63

• 7
• 3
• 1
• 21
• 0
• 63

• 63
• 7
• 3
• 1
• 0
• 21

• n+1
• n

• n+1
• n

vn 7×3 3

= = = 3

vn+1 7×3 3

______

________

_____

• n
• n+1

• n
• n+1

donc (vn) géométrique de raison

• est
• n'est pas
• semble

• 3
• n
• 1
• 7

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3 - Comment déterminer et utiliser la forme explicite d'une suite géométrique ?

un = u0 × qn

"Formule explicite" ou "Expression de un en fonction de n"

un = u1 × qn -1

A toi de jouer !

(un) est une S.G de 1er terme u0 = 2 et de raison -3.

la formule explicite est un =

Que vaut u5 ?

(vn) est une S.G de 1er terme v1 = 200 et de raison 0,8.

la formule explicite est vn =

Que vaut v4 ?

(wn) est une suite S.G de raison q > 0

telle que w4 = 10 125 et w6 = 22 781,25.

la raison de la suite est q =

Que vaut w0 ?

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4 - Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Exemples

1 - 3 + 9 - 27 + ...... + 59 049 = ?

3 + 6 + 12 + ...... + 3 072 = ?

A toi de jouer !

5 + 25 + 125 + ...... + 390 625 =

1 + 2 + 4 + 8 + ...... + 8 192 =

4 - 8 + 16 - 32 + ...... + 4 096 =

Combien faut-il de grains de riz pour remplir les 12 cases de ce plateau ?

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5 - Modéliser une situation concrète par une suite géométrique.

A toi de jouer !