Suites Arithmétiques

Suites Arithmétiques

1 - Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

2 - Comment montrer qu'une suite est ou n'est pas arithmétique ?

3 - Comment déterminer et utiliser la formule explicite d'une suite arithmétique ?

4 - Comment calculer la somme de termes d'une suite arithmétique ?

Crée par Cécile Bertrand - Lycée Lafayette Brioude

5 - Modéliser une situation concrète par une suite arithmétique.

1 - Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est obtenu en additionnant au terme précédent un même nombre (appelé la raison). Une suite arithmétique (un) de raison r est donc définie par son premier terme et par la relation de récurrence un+1 = un + r.

Exemples

A toi de jouer !

(un ) est une suite arithmétique de raison 5 telle que u4 = 11.

Que vaut u5 ?

Que vaut u3 ?

Que vaut u8 ?

La relation de récurrence est un+1 = un + ......

Que vaut u28 - u27 ?

(vn ) définie par v1 = 35 et vn+1 = vn - 3,2 est une suite arithmétique de raison r = ......

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2 - Comment montrer qu'une suite est ou n'est pas arithmétique ?

Méthode On calcule les 3 premiers termes u0 ; u1 et u2. Si u1 – u0 ≠ u2 – u1 alors (un) n'est pas arithmétique. Si u1 – u0 = u2 – u1 = r alors (un) semble arithmétique. Pour le prouver, on montre que un+1 – un = r.

Exemple en vidéo

A toi de jouer !

Complète les deux démonstrations ci-dessous :

1. Pour tout entier naturel n : un = n2 + 1.

• 1
• 0
• 2
• 3
• 4
• 5

• 2
• 0
• 1
• 3
• 4
• 5

• 5
• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

uo = ; u1 = ; u2 =

u2 - u1 u1 - u0

• n'est pas
• est
• semble

donc (un) arithmétique

• ≠
• =
• <

2. Pour tout entier naturel n : vn = 7 - 9n .

• -2
• -11
• 7
• -9
• -4
• 0

• 7
• -11
• -2
• -9
• -4
• 0

• -11
• -2
• 7
• -9
• -4
• 0

vo = ; v1 = ; v2 =

• semble
• est
• n'est pas

donc (vn) arithmétique

vn+1 - vn = =

• -9
• -18n+1
• -1
• -18n-9
• 9

• 7 - 9n - 9 - 7 + 9n
• 7 - 9n + 1 - 7 - 9n
• 7 - 9n - 1 - 7 + 9n
• 7 - 9n - 9 - 7 - 9n
• 7 - 9n + 9 - 7 + 9n

donc (vn) arithmétique de raison

• est
• n'est pas
• semble

• -9
• 1
• 7
• 9
• -7

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3 - Comment déterminer et utiliser la forme explicite d'une suite arithmétique ?

un = u0 + nr

"Formule explicite" ou "Expression de un en fonction de n"

un = u1 + (n -1)r

A toi de jouer !

(un) est une S.A de 1er terme u0 = 15 et de raison -3.

la formule explicite est un =

Que vaut u8 ?

(vn) est une S.A de 1er terme v1 = 8 et de raison 1,5.

la formule explicite est vn =

Que vaut v4 ?

(wn) est une suite S.A telle que w6 = 30 et w11 = 34.

la raison de la suite est r =

Que vaut w1 ?

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4 - Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

Formule

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Exemples

1 + 2 + 3 + ...... + 33 = ?

25 + 26 + 27 + ...... + 85 = ?

30 + 33 + 36 + ...... + 264 = ?

A toi de jouer !

1 + 2 + 3 + ...... + 150 =

5 + 10 + 15 + ...... + 500 =

113 + 114 + 115 + ...... + 199 =

22 + 33 + ...... + 275 =

Combien faut-il de canettes pour construire une pyramide de 30 rangées de canettes ?

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5 - Modéliser une situation concrète par une suite arithmétique.

A toi de jouer !