Sucesión de Goodstein

SUCESIÓN DE GOODSTEIN

Marcos Caínzos Rodríguez y Antón Barca

Índice

Explicación

Introducción

Pasos

Gracias

Bibliografía

Teorema

Introducción de la sucesión de Goodstein

Las sucesiones consideradas en esta viñeta fueron introducidas por el lógico británico R.L. Goodstein en 1944 y muestran un tipo diferente de comportamiento inusual. El es sobre todo conocido por el llamado teorema de Goodstein, enunciado de lógica matemática, con importantes aplicaciones en informática teórica, aunque también estaba interesado en la filosofía y en la enseñanza de las matemáticas. Fue editor de la Mathematical Gazette de 1956 a 1962 y conferenciante invitado en el International Congress of Mathematicians (ICM) celebrado en Estocolmo en 1962.

Información de la sucesión de Goodstein

EXPLICACIÓN DE LA SUCESIÓN

Información teórica inicial

Sucesión de Goodstein:

Una sucesión de Goodstein es una sucesión matemática que se obtiene por la aplicación de un operador de salto de base sobre una número natural cualquiera.

Quizás, antes de entrar a definir la propia sucesión de Goodstein, debiéramos aclarar lo que se entiende por operador de salto de base. El operador de salto de base es el resultado de la sustitución, en la representación de un número en su forma normal de Cantor en base b, de las ocurrencias de b por b+1.

Pasos de explicación

01

Este número natural es 252

Numero natural

02

Descomposición en base 2

03

Salto base

04

...

Continuación

Escoger un número natural y lo descomponemos

Introducción

Expresemos ahora cada uno de los exponentes también en base 2:

Tomamos un número natural cualquiera, por ejemplo el 252. Vamos a expresarlo en base 2:

Esto que hemos hecho se denomina expresar un número natural en su forma normal de Cantor en base b.

Salto base

Ahora aplicamos lo que podríamos llamar un salto de base, que en una situación así es básicamente sustituir todas las ocurrencias de b por b+1, y después restamos 1 al resultado. Por tanto, en este caso sustituimos todas las apariciones del número 2 por el 3 y restamos 1:

Utilizando que obtenemos:

El resultado es un número de 15 cifras, concretamente el 854066918318651. La cosa ha crecido bastante.

Continuación de la sucesión:

Sucesivamente volvemos a realizar la misma operación: ahora sustituimos todas las apariciones del número 3 por el 4 (los números menores que 3 quedan igual) y restamos 1:

Obtenemos que tiene 156 cifras.

Otro paso más: ahora saltamos a base 5 y restamos 1: Llegamos al número que tiene 2189 cifras.

Realizamos la misma operación una vez más (sustituimos cada 5 por un 6 y restamos 1), obtenemos el número que alcanza la cantidad de 36311 cifras.

Si continuamos realizando la misma operación los números resultantes son cada vez más grandes, hasta que empiezan a decrecer hasta el 0.

Teorema de Goodstein

Explicación del teorema

Explicación del teorema de Goodstein

¿Cómo? ¿Que toda sucesión de Goodstein, comience en el número que comience, termina en el número cero? Pues sí, todas terminan en cero.

Aclaración

Para imaginar por qué ocurre esto podéis coger un número pequeño, por ejemplo el 3, y crear su correspondiente sucesión de Goodstein. Quedaría algo así: Ejemplo: 2 + 1 Sustituimos cada 2 por un 3 y restamos 1: 3+1-1=3 Sustituimos cada 3 por un 4 y restamos 1: 4-1=3 Sustituimos cada 4 por un 5 y restamos 1: 3-1=2 Sustituimos cada 5 por un 6 y restamos 1: 2-1=1 Sustituimos cada 6 por un 7 y restamos 1: 1-1=0 Si escogemos para comenzar el número 4 la cosa se alarga bastante más. La secuencia comenzaría con los resultados 4,26,41,60 y llegaría hasta un número de ¡121210695 cifras! desde donde comenzaría a decrecer hasta terminar irremediablemente en el cero.

Vídeo

Bibliografía

Sobre la sucesión

Sobre la historia

Sobre curiosidades

• https://www.ecured.cu/Reuben_Louis_Goodstein
• https://en.wikipedia.org/wiki/Reuben_Goodstein
• https://ztfnews.wordpress.com/2012/12/15/centenario-del-nacimiento-de-reuben-louis-goodstein/

• https://elpais.com/elpais/2018/01/24/el_aleph/1516812203_870138.html
• http://blog.kleinproject.org/?p=4415&lang=es
• https://enciclopedia_universal.esacademic.com/19132/Sucesión_de_Goodstein

• https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesión_de_Goodstein
• http://delta.cs.cinvestav.mx/~gmorales/complex/node115.html
• https://www.gasianos.com//la-sucesion-de-goodstein/

Gracias