TEMA 11 GEOMETRÍA

TEMA 11

GEOMETRÍA

ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA

En el espacio geométrico existen tres elementos básicos: puntos, rectas y planos. Un punto queda determinado por: Una recta queda determinada por: Un plano puede quedar determinado por:

Los puntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C… Las rectas se nombran con letras minúsculas: r, s, t… Los planos se nombran con letras minúsculas (a veces griegas): a, b, α, β, π… Las rectas y los planos no se pueden representar en su totalidad. Para hacernos una idea de su posición, representamos solo una parte de ellos

POSICIONES RELATIVAS Posiciones relativas de dos rectas: Posiciones relativas de una recta y un plano: Posiciones relativas de dos planos:

POSICIONES RELATIVAS Posiciones relativas de dos planos: Ten en cuenta: Dos rectas paralelas o secantes determinan un plano, dos rectas que se cruzan no. Una recta es perpendicular a un plano cuando es perpendicular a cualquier recta contenida en ese plano

ÁNGULOS DIEDROS Cuando dos planos se cortan, su intersección es una recta y determinan cuatro regiones en el espacio. Un ángulo diedro es la región del espacio que queda determinada por dos semiplanos que comparten una recta. Los elementos de un diedro son: Caras del diedro: los semiplanos que lo forman. Arista del diedro: la recta común a los dos planos.

ÁNGULOS DIEDROS La medida de un ángulo diedro es la misma que la de cualquier ángulo formado por dos semirrectas contenidas en las caras y perpendiculares a la arista. Una recta contenida en un plano lo divide en dos semiplanos.

POLIEDROS

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos. Los elementos de un poliedro son: Caras: Son los polígonos que lo forman. Aristas: Son los lados de los polígonos que lo forman. Vértices: Son los vértices de los polígonos que lo forman. En cada vértice pueden concurrir tres o más aristas.

Un poliedro es convexo cuando todos sus ángulos diedros son menores de 180º. Si tienen algún ángulo diedro mayor de 180º, es cóncavo. NOTA: Los poliedros convexos se pueden apoyar en el plano sobre todas sus caras. En caso contrario, es cóncavo. El número de ángulos diedros de un poliedro coincide con el número de aristas

TEOREMA DE EULEREn cualquier poliedro convexo se verifica que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. C+V = A+2 EJEMPLOS:

POLIEDROS REGULARES Y SEMI REGULARESUn poliedro es regular o platónico cuando es convexo, todas sus caras son polígonos regulares iguales y en todos sus vértices concurren el mismo número de aristas o de caras. Solo existen cinco poliedros regulares:

PRISMAS

EJEMPLOS DE PRISMAS:

Un prisma es un poliedro que cumple que: Tiene dos caras paralelas e iguales denominadas bases. El resto de caras son paralelogramos y se denominan caras laterales.

Los prismas se nombran según el número de lados de sus bases: triangular, cuadrangular, pentagonal…Pueden ser:

• Rectos u oblicuos según que sus caras laterales sean o no rectángulos.
• Convexos cuando todos sus ángulos diedros son menores de 180° o cóncavos si alguno de ellos es mayor de 180°.
• Regulares cuando son rectos y sus bases son polígonos regulares

DESARROLLO PLANO DE UN PRISMA: Desarrollo plano de un prisma pentagonal recto, convexo y regular Sus bases son dos polígonos regulares: pentágonos Sus caras laterales son cinco rectángulos iguales

ELEMENTOS DE UN PRISMA Los elementos de un prisma regular son:

• Altura: h
• Lado de la base: l
• Apotemade la base: ab
• Radio de la base: r

PARALELEPÍPEDOS Y ORTOEDROS Un paralelepípedo es un prisma convexo cuyas bases también son paralelogramos. Por tanto, tiene por caras seis paralelogramos que son paralelos dos a dos. Cuando un paralelepípedo es recto se denomina ortoedro y está formado por seis rectángulos paralelos dos a dos.

ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA Para calcular las áreas lateral y total de un prisma consideramos su desarrollo plano. EJEMPLO

PIRÁMIDES

EJEMPLOS DE PIRÁMIRDES

Una pirámide es un poliedro que cumple las siguientes propiedades: Tiene como única base un polígono cualquiera. Las caras laterales son triángulos. Las caras laterales concurren en un punto común: el vértice de la pirámide.

Las pirámides se nombran según el número de lados de sus bases: triangular, hexagonal, decagonal… Las pirámides pueden ser: Cóncavas o convexas, según sea cóncavo o convexo el polígono de la base. Rectas u oblicuas, si sus caras laterales son o no todas triángulos isósceles. Regulares, si son rectas y su base es un polígono regular.

DESARROLLO PLANO DE UNA PIRÁMIDE Desarrollo plano de una pirámide hexagonal recta, convexa y regular. Su base es un polígono regukar Sus caras laterales son triángulos isósceles

ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE Los elementos de una pirámide regular son

• Altura: h
• Lado de la base: l
• Radio de la base: r
• Apotema de la base: ab
• Apotema de la pirámide: aP

TRONCOS DE PIRÁMIDE Si se corta una pirámide por un plano paralelo a la base y se prescinde de la parte superior, se obtiene un tronco de pirámide. Un tronco de pirámide está formado por: Dos bases, que son polígonos semejantes. Las caras laterales, que son trapecios.

Desarrollo plano de un tronco de pirámide hexagonal recto, convexo y regular

ÁREA Y VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE EJEMPLO

CUERPOS REDONDOS. CILINDROS

EJEMPLOS CUERPOS REDONDOS. CILINDROS

Un cuerpo redondo es la figura que se obtiene al hacer girar una figura plana alrededor de una recta situada en el mismo plano y llamada eje. La generatriz es la línea de la figura plana que genera el cuerpo redondo

CILINDROS Un cilindro recto es el cuerpo redondo que se genera al hacer girar un rectángulo en torno a uno de sus lados. El lado sobre el que gira el rectángulo es el eje y el lado opuesto, que genera el cilindro, se llama generatriz. Los cilindros rectos están formados por dos bases circulares paralelas y una superficie lateral.

ELEMENTOS DE UN CILINDRO Sus elementos son:

• Radio de la base: r
• Altura: h
• Generatriz

En el desarrollo plano de un cilindro recto, la longitud de la circunferencia de la base y el largo del rectángulo que forma la superficie lateral son iguales.

ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO Para calcular el área total de un cilindro debemos calcular el área lateral y el área de los dos círculos que forman las bases. EJEMPLO

CONOS

EJEMPLOS DE CONOS

CONO Un cono recto es un cuerpo redondo que se genera al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. La hipotenusa es el lado del triángulo que genera el cono y se llama generatriz, y el cateto sobre el que gira es el eje

Los conos rectos están formados por una base circular y una superficie lateral Sus elementos son: Vértice: V Altura: h Generatriz: g Como la altura, el radio de la base y la generatriz forman un triángulo rectángulo, se verifica que En el desarrollo plano de un cono, las longitudes de la circunferencia de la base y el arco del sector circular son iguales y valen 2πr. EJEMPLO

TRONCO DE CONO Si se corta un cono recto por un plano paralelo a la base y se prescinde de la parte superior, se obtiene un tronco de cono. Un tronco de cono está formado por: Dos bases circulares con distinto radio: R y r Una cara lateral Altura: h Generatriz: g

ÁREA Y VOLUMEN DE UN CONO Para calcular las áreas lateral y total de un cono consideramos su desarrollo plano. EJEMPLO

ESFERAS

EJEMPLOS DE ESFERAS

Una esfera es un cuerpo redondo que se genera al girar un semicírculo sobre su diámetro. La superficie que lo delimita se llama superficie esférica.

PARTES DE UNA ESFERA TEN EN CUENTA: La esfera no admite ningún tipo de desarrollo plano

ÁREA Y VOLUMEN DE UNA ESFERA EJEMPLO