Técnicas de conteo By Daniel

TECNICAS DE CONTEO

ESTADISTICA

I N T E G R A N T E S

DEL EQUIPO

ISLASGARCIA DANIEL

MATEO BERNAL ESMIRNA LIZETH

BARRERA CARRILLO MARIA FERNANDA

NAVA VILLANUEVA AMERICA ABIGAIL

FACUNDO CASANOVA GRISELDA YARETH

SANCHEZ LOEZA JESUS

INTRODUCCION

En esta exposicion encontraremos algunos puntos referentes a las técnicas de conteo, las cuales son aplicadas en la probabilidad y estas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que puede ocurrir un evento, eh ahí su importancia.Como decía con anterioridad, esta exposicion esta dedicada a las técnicas de conteo y por consecuente esta compuesto por los siguientes puntos que forman parte de las técnicas de conteo, estas incluyen:

• Principio multiplicativo
• Principio aditivo
• Permutacion
• Permutaciones con repeticion
• Combinaciones

También daremos algunos ejemplos de cada uno de ellos, esto con el fin de dejar claro como se llevan acabo cada una de estas operaciones por medio de la practica representada en los ejemplos. Pero bueno sin más que agregar, sigamos con el contenido de este tema el cual espero que les sea de gran utilidad ya que es muy aplicable para la vida cotidiana.

¿QUE SON LAS

TECNICAS DE

CONTEO?

Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de resultados que pueden haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos.

Este tipo de técnicas se utilizan cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual combinaciones de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles.

OBJETIVO DE LAS TECNICAS DE

FUNCION DE LAS TECNICAS DE

CONTEO

CONTEO

La funcion de estas es que te permiten determinar el número total de resultados que pueden haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos.

El objetivo de las tecnicas como ya lo dijimos es para poder enumerar eventos, asi sean numeros, personas, defunciones etc. los cuales sean de cantidades grandes, dificiles, laboriosas de cuantificar o minorizar.

Tambien son usadas para enumerar eventos que son difíciles de cuantificar. La enumeración de puntos muestrales en un espacio muestral, en ocasiones es difícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar, ocasionando que se comentan errores al realizar esta tarea.

P R I N C I P O M U L T I P L I C A T I V O

1.º TECNICA DE CONTEO

¿Que son los

PRINCIPIOS MULTIPLICATIVOS?

El principio multiplicativo es una técnica que se utiliza para resolver problemas de conteo, para hallar la solución sin que sea necesario enumerar sus elementos.

Es conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio; se basa en la multiplicación sucesiva para determinar la forma en la que puede ocurrir un evento.

Este principio establece que, si una decisión (d1) puede ser tomada de n maneras y otra decisión (d2) puede tomarse de m maneras, el número total de maneras en las que pueden ser tomadas las decisiones d1 y d2 será igual a multiplicar de n * m. Según el principio, cada decisión se realiza una tras otra: número de maneras

= N1 * N2… * Nx

maneras.

E J E M P L O

Mario estaba muy seguro, así que fue a la panadería a comprar jugo. Luis se encuentra con él y dice que tiene dos tamaños: grande y pequeño; y cuatro sabores: manzana, naranja, limón y uva. ¿De cuántas maneras puede Mario elegir jugo?

Solución

En el diagrama, se puede observar que Mario tiene 8 maneras diferentes de elegir jugo y que, como en el principio multiplicativo, este resultado se obtiene multiplicando n m. La única diferencia es que, a través de este diagrama, se puede saber cómo están las formas en que Mario elige el jugo.*

Por otro lado, cuando el número de posibles resultados es muy grande, es más práctico utilizar el principio multiplicativo.

P R I N C I P O S A D I T I V O S

2.º TECNICA DE CONTEO

¿Que es el

PRINCIPIO ADITIVO?

El principio aditivo es una técnica de conteo en probabilidad que permite medir de cuántas maneras se puede realizar una actividad que, a su vez, tiene varias alternativas para ser realizada, de las cuales se puede elegir solo una a la vez.

Un ejemplo clásico de esto es cuando se quiere escoger una línea de transporte para ir de un lugar a otro. En este ejemplo, las alternativas corresponderán a todas las líneas de transporte posibles que cubran el recorrido deseado, bien sea aéreas, marítimas o terrestres. No podemos ir a un lugar usando dos medios de transporte simultáneamente; es necesario que elijamos solo uno.

¿Cuando se debe de usar el

¿Cual es el metodo

Aditivo?

Metodo Aditivo?

El metodo aditivo son todas las operaciones matematicas que se realizan, consisten en sumar o restar.

Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

El procedimiento consiste en generar una secuencia de soluciones parciales añadiendo en cada interacción una variable y considerando la soluciones complementarias (resto de soluciones posibles) . De esta forma, podemos por enumeración implícita, eliminar conjuntos de soluciones sin necesidad de evaluar los exhaustivamente

E J E M P L O

A su vez, la primera alternativa tiene a1 maneras de ser realizada, la segunda alternativa tiene a2 maneras de ser realizada, y así sucesivamente, la alternativa número n se puede realizar de an maneras.

Si una librería vende libros de literatura, biología, medicina, arquitectura y química, de los cuales posee 15 tipos diferentes de libros de literatura, 25 de biología, 12 de medicina, 8 de arquitectura y 10 de química, ¿cuántas opciones tiene una persona para escoger un libro de arquitectura o un libro de biología?

El principio aditivo establece que el evento A se puede realizar de

El principio aditivo nos dice que la cantidad de opciones o maneras de hacer esta elección es 8+25=33.

a1+ a2+…+ an

maneras.

Este principio también se puede aplicar en el caso de que sea un único evento el involucrado, que a su vez tenga diferentes alternativas para ser realizado.Supongamos que se quiere realizar cierta actividad o evento A, y que existen varias alternativas para ello, digamos n.

P E R M U T A C I O N E S

3.º TECNICA DE CONTEO

PERMUTACIONES

¿Que son las

La permutación es una técnica de conteo que permite calcular las posibles ordenaciones de los elementos de un conjunto o número de elementos del espacio muestral de un experimento aleatorio.

En una permutación, habría un arreglo de varios elementos en los que sí es importante tenerse en cuenta su orden o posición.En las permutaciones, hay n cantidad de elementos distintos y se selecciona una cantidad de ellos, que sería r. Dado un experimento aleatorio con una población N y una muestra n, si en la muestra existe orden, pero no repetición, el número de elementos del espacio muestral corresponde a la permutación de n en N, la cual se simboliza NPn.

La fórmula que se utilizaría sería la siguiente:

nPr = n!/(n-r)!

PERMUTACIONES

tipos de

Permutaciones de “n” objetos “r” a la vez.

De “n” objetos tomados todos a la vez.

Y se denota con la fórmula:

Y se denota con la fórmula:

nPn= n!

Permutaciones circulares.

Permutaciones con repetición.

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra. Y se denota por la fórmula:

Y se denota por la fórmula:

Pc= (n-1)!

Pr=

EJEMPLO

Eduardo, Carlos y Sergio se han presenta'do a un concurso de pintura. El concurso otorga $200 al primer lugar y $100 al segundo. ¿De cuántas formas se pueden repartir los premios de primer y segundo lugar?

Solución:

En este caso, si importa el orden, ya que no es lo mismo quedar en primer lugar que en segundo, además, los premios son diferentes. Por ejemplo, un arreglo o disposición, es que Carlos ocupe el primer lugar y Sergio el segundo. Otro arreglo, sería que Sergio ocupe el primer lugar y Eduardo el segundo. El número total de arreglos o formas lo calculamos con la fórmula:

P E R M U T A C I O N E S C O N

R E P E T I C I O N

4.º TECNICA DE CONTEO

¿Que son las

PERMUTACIONES CON

REPETICION?

Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite nk veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación.

Se representa por

Pnn1,n2,...,nk.

¿QUE

¿Cuántas

son?

hay?

Hemos calculado el número de permutaciones con repetición de seis elementos en las que el primer elemento se repite dos veces y el segundo se repite cuatro veces: P62,4 . Si el elemento que se repite dos veces fuera distinto, obtendríamos a partir de cada permutación, 2! permutaciones distintas. De la misma forma si el elemento que se repite cuatro veces fuera distinto, obtendríamos también 4! permutaciones distintas, obteniendo de esta forma todas las permutaciones posibles con seis elementos distintos, por tanto:

son formas de agrupar elementos de un conjunto en las que:

• se toman todos los n elementos de un conjunto
• se repiten los elementos
• el primer elemento se repite a veces
• el segundo elemento se repite b veces
• el tercer elemento se repite c veces
• ...
• donde a + b + c + ... = n

el orden importa ({A, B} y {B, A} se consideran grupos diferentes)

Esta fórmula se puede generalizar a la fórmula general que nos permitirá calcular el número de permutaciones con repetición en cualquier caso

EJEMPLO

tenemos los siguientes números: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, ¿cuántos números diferentes se pueden formar con estos 7 números

Solución:

Primero verificamos que estamos ante una Permutación con Repetición:

• Se toman todos los elementos del grupo → correcto
• Se repiten elementos (hay un número que se repite tres veces y otro dos) → correcto
• El orden importa (no es lo mismo 1112234 que 4322111) → correcto
• Después de comprobar que efectivamente se trata de una permutación con repetición, calculamos la cantidad de números diferentes:

n = 7 cifras números PR73,2,1,1 = 7! / (3! · 2! · 1! · 1!) = (7·6·5·4·3·2·1) / (3·2·1·2·1·1·1) = = 420 permutaciones

C O M B I N A C I O N E S

5.º TECNICA DE CONTEO

¿QUE SON LAS

COMBINACIONES?

Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: NO influye el orden en que se colocan. Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

Cr= Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

BINACIONES

TIPOS DE COM

Combinación sin repetición

Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, las combinaciones son subconjuntos de r objetos, en donde una combinación es distinta de otra si difiere en al menos un elemento, sin importar el orden de éstos.

Combinación con repetición

Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, se forman conjuntos de r objetos, en donde se permite la repetición, sin importar el orden de los elementos; aquí también, una combinación es distinta de otra si difieren en al menos un elemento

EJEMPLO

G R A C I A S