Applicazioni matematiche alla fisica

Applicazioni matematiche alla fisica

• Velocità e accelerazione

• Intensità corrente

• Elettromagnetismo

Giandomenico Taurone

Applicazioni matematiche alla velocità e all'accelerazione

UTILIZZO DELLE DERIVATE

Velocità

Legge oraria

In meccanica classica, un'equazione del moto è un'equazione che descrive il moto di un sistema fisico in funzione della posizione nello spazio e del tempo. In particolare, l'equazione che esprime una coordinata generalizzata in funzione della variabile tempo è detta legge oraria.

Legge oraria moto rettilineo uniformente accellerato

Legge oraria moto rettilineo uniforme

Velocità media e istantanea

Legge velocità media

Velocità instantanea

La velocità istantanea è il limite del rapporto incrementale tra lo spazio percorso e il tempo impiegato

Accelerazione

Date le due leggi orarie s=f(t) e v=f'(t), l'accelerazione media è:

L'accelerazione istantanea è il limite del rapporto incrementale tra la variazione di velocita e il tempo impiegato

Problema

Risoluzione

Sostituisco v = 17 m/s e calcolo t:

Carmen Rubino

Applicazioni matematiche all'intensità di corrente elettrica

UTILIZZO DELLE DERIVATE

CORRENTE ELETTRICA

La corrente elettrica è il movimento ordinato degli elettroni all'interno di un conduttore metallico

INTENSITA' DI CORRENTE ELETTRICA

L'intensità di corrente I elettrica è il rapporto tra la quantità di corrente elettrica Q che passa in una determinata sezione di conduttore in un intervallo di tempo e il tempo stesso

APPLICAZIONE DELLA DERIVATA (INTENSITA' DI CORRENTE MEDIA)

La carica che passa attraverso S dall’istante iniziale fino all’istante t è una funzione di t, che indichiamo con Q(t). L’intensità di corrente media che attraversa la sezione di un filo è condizionata dall’intervallo di tempo ∆𝑡. Più piccolo è tale intervallo e più l’intensità media si avvicina a quella istantanea.

APPLICAZIONE DELLA DERIVATA (INTENSITA' DI CORRENTE INSTANTANEA)

L’intensità di corrente istantanea I(t) attraverso una sezione trasversale S di un conduttore è la derivata rispetto al tempo della carica Q(t) che passa per S al tendere a zero dell’intervallo di tempo.

APPLICAZIONE DELLA DERIVATA (PROBLEMA)

La quantità di carica q (in C) che passa attraverso una superficie di area 2, 0 cm2 varia nel tempo secondo l’equazione q(t) = 4t^3 + 5t + 6 dove t è espresso in secondi. a) Qual è la corrente istantanea attraverso la superficie a t = 1, 0 s? b) Dopo quanto tempo il valore della corrente elettrica è pari a 53,0 A?

RISOLUZIONE

ANTONINO AVALLONE

Applicazioni matematiche nell'eletromagnetismo

UTILIZZO DELLE DERIVATE NELL'INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Sappiamo che il flusso Φ(B) è la grandezza fisica legata al numero di linee di campo che attraversano una superficie.

Data una superficie S ed un vettore S perpendicolare alla superficie. Se il vettore B rappresenta in campo magnetico, allora il flusso è definito da tale prodotto scalare:

Come possiamo vedere dalla formula del Flusso; quest'ultimo può assumere valori diversi a seconda delle tre variabili:

1. B (campo magnetico).
2. S (Superficie attraversata dalle linee di campo).
3. α (variazione dell'orientamento della superficie, quindi dell'angolo).

Per un esperienza interattiva:

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Potremo quindi affermare che:

Quando in un circuito si verifica una variazione di flusso in un intervallo di tempo, si genera una corrente elettrica indotta.

∆Φ(B)/∆t → I(i)

Variazione di flusso in un intervallo di tempo

Corrente indotta

Faraday e Neumann elaborarono una legge grazie alla quale osserviamo che: ogni volta che il flusso subisce una variazione si genera una forza elettromotrice indotta.

*Il meno è dato dalla legge di Lenz

∆Φ(B)/∆t non è altro che un rapporto incrementale.Dunque se consideriamo un intervallo di tempo ∆t→0, trovando il limite del rapporto incrementale, non farò altro che calcolare la derivata prima; se non altro la forza elettromotrice indotta instantanea (Fi)

ESERCIZIO

Il flusso attraverso una spira è dato da Φ(t) = 0, 10t^2 − 0, 40t, dove Φ è espresso in weber e t in secondi. Determinare la f.e.m. indotta in funzione del tempo e, successivamente, i suoi valori al tempo t = 4, 0 s e t = 6, 0 s.

La f.e.m. indotta in funzione del tempo si ottiene derivando Φ(t) rispetto a t. −Φ'(t) => -(0.1t^2 - 0.4t) => -(2∙0.10t - 0.4) = -(0.2t - 0.4) = -0.2t + 0.4 Adesso calcolo il valore della f.e.m indotta negli istanti t = 4 s e t = 6 s. −Φ'(4, 0s) = −0, 2 · 4, 0 + 0, 40 = −0, 4V −Φ'(6, 0s) = −0, 20 · 6, 0 + 0, 40 = −0, 8V

Grazie!