elaborato Fermat e luce

COSTRUZIONE E TEST DI MODELLI MATEMATICI DMMM

Chiancone MelaniaMustafi Sara Russo Maridora LICEO SCIENTIFICO, G.B.VICO LATERZA, 5^A, 2020/2021

FERMAT E LA PROPAGAZIONE DELLA LUCE

INDICE

1. Esposizione della traccia: Fermat

2. Spunti di teoria

3. Riflessione e rifrazione

4. Enunciato di Fermat

5-9. Dimostrazione del teorema di Fermat

10. Ipotesi e tesi

11-12. La luce si propaga in linea retta, dimostrazione

13. Problema di Erone

14. Traccia

15-16-17. Teorema e spiegazione del teorema

18-19-20-21. Dimostrazione del teorema

22-23-24. Principio di Erone per l riflessione della luce

25. Bibliografia

26. Ringraziamenti

TRACCIA

Principio variazionale di Fermat: La luce si propaga seguendo un percorso che minimizza il tempo di percorrenza. Dedurre dal principio di Fermat il fatto che nel vuoto la luce si propaga in linea retta.

Per poter risolvere il problema bisogna partire dallo studio e dalla definizione di luce.

• L'ottica è la scienza che studia le proprietà della luce e dei dispositivi che permettono di modificarne il comportamento.

Diversi fenomeni legati alla luce possono essere descritti immaginando che la luce sia costituita da raggi, simili a quelli emessi da un laser che nel vuoto si propagano con velocità c = 2,99792458 x 10 m/s (che di solito si approssima con 3,00 x 10 ° m/s).

• Un raggio luminoso è un fascio di luce molto sottile che viene rappresentato con una retta.

RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DELLA LUCE

La riflessione e la rifrazione della luce si possono spiegare supponendo che la luce si propaghi sotto forma di raggi rettilinei (ottica geometrica). Quando un raggio di luce che viaggia in un mezzo materiale trasparente incontra una superficie di separazione con un altro mezzo trasparente si divide normalmente in due raggi: uno viene riflesso dalla superficie e l'altro entra nel secondo mezzo variando la sua direzione di propagazione, cioè viene rifratto. La rifrazione è la deviazione che un raggio luminoso subisce nel passare da un mezzo trasparente a un altro, per la differenza della velocità di propagazione nei due mezzi.

Prendendo un singolo raggio (ad es.un raggio luminoso) esso viene riflesso di un angolo uguale a quello d'incidenza ma viene rifratto di un angolo minore rispetto alla normale. Il matematico francese Pierre de Fermat propose una visione alternativa di questo fenomeno.

La formulazione esatta di tale principio è: Il percorso seguito da un raggio di luce per andare da un punto ad un altro attraverso un qualsiasi insieme di mezzi è tale da rendere il suo cammino ottico uguale, in prima approssimazione, agli altri cammini immediatamente adiacenti a quello effettivo.

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI FERMAT

Consideriamo una sorgente S di onde e un punto P, posti nello stesso mezzo di propagazione dove la velocità delle onde è v. Consideriamo inoltre una superficie riflettente come in figura. Tra tutti i possibili cammini che un raggio d'onda può fare per andare da S a P passando per la superficie riflettente, il cammino reale, cioè quello effettivamente percorso dal raggio e caratterizzato dal fatto che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione, è anche caratterizzato dal minor tempo di percorrenza: si tratta del cosiddetto "Principio di Fermat". In questo caso in cui sia il raggio incidente che quello riflesso viaggiano nello stesso mezzo, il cammino di minor tempo è anche il cammino più breve in termini di lunghezza.

80%

Per la dimostrazione si considera la figura seguente:

Con evidente significato dei simboli, il tempo t impiegato dall'onda per andare da S a P è dato da:

Per la derivata di questa funzione si ottiene:

Uguagliando a zero si trova subito che cosα=cosβ, cioè α=β. Da questo discende che il cammino di minimo tempo è quello per cui gli angoli di incidenza e di riflessione (che sono i complementari di α e β rispettivamente) sono uguali. Un discorso sostanzialmente identico si può fare per il problema della rifrazione, in cui l'onda passa da un mezzo con velocità di propagazione v1 a uno con velocità di propagazione v2. Con le stesse notazioni di prima avremo ora, come unica differenza, il fatto che l'onda viaggia con velocità diverse nei due mezzi, per cui avrà "convenienza" a percorrere, a parità di altre condizioni, tratti più lunghi nel mezzo dove è più veloce, e più brevi nell'altro.

Nel calcolo del "tempo di volo" tra S e P, l'unica differenza sarà ora che le velocità di propagazione saranno diverse, diciamole v1 e v2.

La nuova formula per il tempo sarà:

Per la derivata si avrà:

Uguagliando a zero si trova o anche che è la nota legge della rifrazione di Snell. Puoi vedere un'animazione con Cabri del principio di Fermat. Naturalmente la rifrazione si può spiegare anche con il principio di Huygens.

IPOTESI

La luce si propaga seguendo un percorso che minimizza il tempo di percorrenza.

TESI

DEDURRE DAL PRINCIPIO DI FERMAT IL FATTO CHE NEL VUOTO LA LUCE SI PROPAGA IN LINEA RETTA.

DIMOSTRAZIONE

Dato che la luce è formata da raggi luminosi provenienti dalle sorgenti, possiamo ricorrere a un modello in cui i raggi di luce sono schematizzati con delle rette. Se la sorgente è estesa e lontana, come nel caso del Sole, abbiamo dei segmenti rettilinei paralleli, mentre se la sorgente è puntiforme, come accade quando proviene da una lampadina, rappresentiamo la luce con delle semirette disposte radialmente e con origine nella sorgente.

Se ricorriamo a una sorgente estesa posta non molto distante da un corpo opaco, osserviamo sullo schermo una zona centrale di ombra netta e due laterali di penombra. Per capire come si formano basta tracciare da ciascuno degli estremi AB della sorgente i raggi passanti per gli estremi del corpo. Si può verificare che in un punto qualsiasi P della zona d'ombra non giunge nessun raggio proveniente da A o da B (infatti i raggi AP e BP sono intercettati dal corpo). Invece, in un punto della penombra arriva il raggio proveniente da B, ma non quello da A. Infine, un punto R della zona illuminata riceve i raggi provenienti sia da A sia da B.

PROBLEMA DI ERONE

TRACCIA

Determinare il cammino più breve tra un punto A e un punto B nello stesso semipiano generato da una retta r toccando una volta la retta r. Determinare la soluzione del problema di Erone per via geometrica e dimostrare la legge di riflessione per i raggi luminosi.

TEOREMA

l'area di un triangolo di cui si conoscono le misure dei lati, è uguale alla radice quadrata del prodotto del semiperimetro del triangolo per le singole differenze tra il semiperimetro stesso e i lati del triangolo.

IN TEORIA

Erone, problema di in geometria, consiste nella determinazione del percorso minimo da un punto A a un punto B, passando per un punto C appartenente a una retta r non passante per A e B. Il punto C della retta r che rende minima la somma AC + CB è quel punto tale che gli angoli formati da AC e CB con r risultino uguali e si ottiene intersecando r con la retta che passa per B e per A′, simmetrico di A rispetto a r. Per qualsiasi altro punto C′ di r si ha infatti: AC + CB < AC′′ + C′′B. Erone utilizzò il teorema per dimostrare che un raggio di luce che da A giunge a B riflettendosi su uno specchio piano sceglie il percorso minimo tra tutti quelli che toccano lo specchio, formulando così una prima legge di riflessione.

IN PRATICA

La formula di Erone viene utilizzata per calcolare l’area di un triangolo conoscendo il perimetro e i lati:

DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione seguente riconduce la formula di Erone direttamente al teorema di Pitagora, utilizzando soltanto strumenti elementari.

prendiamo in cosiderazione un triangolo rettangolo di cateti a e b, ipotenusa c e altezza h, con perimetro p.

La formula di Erone può assumere anche forma:

elevando al quadrato ambo i membri e moltiplicando poi per 4

il primo membro dell'espressione precedente si può scrivere come:

oppure

perché per il teorema di Pitagora si ha:

A destra, la formula di Erone si riduce, per mezzo dell'identità

Basta perciò mostrare che

e che

La prima si ottiene immediatamente sostituendo

al posto di p e semplificando. Facendo questo all'interno della seconda, si ottiene

se inoltre sostituiamo con

con

entrambe da Pitagora, semplificando si ottiene infine cd come richiesto.

IL PROBLEMA DI ERONE

PRINCIPIO DI ERONE

Un raggio di luce congiunge la sorgente con un ipotetico bersaglio seguendo il percorso più corto.Da ciò segue che se tra sorgente e bersaglio non ci sono ostacoli allora il raggio luminoso traccia il segmento che li congiunge,se invece deve riflettersi in uno specchio traccerà la spezzata più corta.

Erone, ipotizzando che la luce scegliesse il percorso più breve come distanza, riuscì a dimostrare la legge della riflessione. Dimostrò che fra tutti i cammini possibili per andare dall’oggetto all’osservatore passando per lo specchio il cammino più breve era quello per cui gli angoli di incidenza e di riflessione erano uguali. Si vuole determinare il percorso lungo il quale la luce impiega il minor tempo possibile per andare da A a B riflettendosi sullo specchio. Dal momento che tutta la traiettoria è nello stesso mezzo ottico il tempo minore coincide con la distanza più breve poiché la velocità della luce rimane costante nello stesso mezzo.

Si potrebbe pensare di scegliere il cammino ACB. In tal caso il segmento AC sarebbe effettivamente molto breve, ma il segmento EB risulterebbe molto lungo. Spostando leggermente a destra il punto d’impatto con lo specchio il secondo segmento diminuisce, mentre il primo aumenta. Per trovare il percorso più breve bisogna ricorrere a una costruzione geometrica. Si costruisce dall’altra parte dello specchio un punto artificiale A’ simmetrico di A rispetto allo specchio, distante quindi dallo specchio quanto A. I triangoli ACO e A’CO sono congruenti poiché sono rettangoli e hanno un cateto in comune e l’altro cateto uguale per costruzione. Da ciò segue che A’C è congruente a AC. Il problema si riduce quindi a trovare il percorso più breve per andare da B fino ad A’. Ma in questo caso il percorso più breve per unire due punti è una linea retta. Se indichiamo con D il punto in cui tale linea retta incontra lo specchio, dalla congruenza dei triangoli ADO e A’DO si deduce che l’angolo ADO è congruente all’angolo A’DO e quindi all’angolo BDE che è opposto al vertice di A’DO. Quindi l’angolo d’incidenza è uguale all’angolo di riflessione in quanto complementari di angoli uguali.

BIBLIOGRAFIA

UGO AMALDI- Dalla mela di Newton al bosone di Higgs, vol.1

La riflessione, la rifrazione e il principio di Fermat

La propagazione della luce

Teorema di Erone

Erone e il minimo cammino

My Zanichelli- problema di Erone

GRAZIE PER L'ATTENZIONE