USO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA EN LAS TELECOMUNICACIONES

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE

GRUPO Nro. 2

USO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA EN LAS TELECOMUNICACIONES

Nombres: 1. ALLAUCA CEPEDA ERICK OMAR 2. CRIOLLO ÑACATA CRISTOPHER DAVID 3. YUGSI TAPIA MARIA PAMELA

ÍNDICE

Fundametación teorica

Introduccion

Objetivos

Desarrollo

Conclusiones

Enlace a slideshare

Bibliografía

1. Introducción

En el presente taller analizaremos varios conceptos que favorecerán al aprendizaje referente a la materia de Cálculo Diferencial e Integral sabiendo cada método significado y reglas de derivación para poner a prueba en dos problemas que se han relacionados a la Carrera de Electrónica en Telecomunicaciones, analizaremos estos ejercicios con uno de los temas de Cálculo Diferencial e Integral como es la primera y segunda derivada donde tenga más su aplicación empleadas en esta la ingeniería. Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Además de saber calcular la derivada de una función en un punto es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado.

2. Objetivos

• Determinar la finalidad de las derivadas en las Telecomunicaciones.
• Usar las herramientas de la primera y segunda derivada en experimentos realizados por ingenieros electrónicos en telecomunicaciones.
• Analizar el uso de las derivadas que suelen usarse para análisis de funciones.

3. Fundamentación Teórica

¿Qué es derivada?

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto.

3. Fundamentación Teórica

TEOREMA DE VALOR MAXIMO Y RELATIVO

Primera Derivada:

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto (Kevin Johel Bilarcs Sub Coy, 2016).

Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)). Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

3. Fundamentación Teórica

Teorema

Segunda Derivada:

Es un teorema o método científico del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simplemente correspondiente a los máximos y mínimos relativos del criterio de la segunda derivada. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f (prima) es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo y hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f.

Sea f una función tal que f'(x)=0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a x. Si f''(x) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (x,f(x)). Si f''(x)>0}, entonces f tiene un mínimo relativo en (x,f(x)). Si f''(x)=0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en x, un mínimo relativo en (x, f(x)) o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada. F'' (+): cuando la segunda derivada sea positiva, resulta cóncava hacia arriba (mínimo relativo). F'' (-): cuando la segunda derivada sea negativa, resulta cóncava hacia abajo (máximo relativo). (Kevin Johel Bilarcs Sub Coy, 2016)

4. Desarrollo

Un ingeniero en telecomunicaciones está observando en la pantalla del osciloscopio un fenómeno electrónico; la función que describe dicha partícula en el tiempo es: f(t)=2t^3-3t^2

Imagen de un osciloscopio que usa un ingeniero electrónico en telecomunicaciones

Él quiere determinar matemáticamente si hay un máximo o un mínimo y luego comprobar en la pantalla del osciloscopio dicho experimento.

Resolución del problema 1

Estudiemos los extremos relativos de la función f(t)=2t^3-3t^2 Calculamos la función derivada de f: f^' (t)=6t^2-6t y resolvemos la ecuación f^' (t)=0: 6t^2-6t=0 6t(t-1)=0 t_1=0 t_2=1 Calculamos la función derivada segunda de f:f^'' (t)=12t-6 Analizamos el signo de f^'' en cada uno de los puntos en que se anula f^': f^'' (0)=12(0)-6=-6<0→f tiene un máximo relativo en t=0 f^'' (1)=12(1)-6=6>0→f tiene un mínimo relativo en t=1

Gráfica en GeoGebra de la función f(t)=2t^3-3t^2

Problema 2

Otro experimento similar que está realizando un colega del ingeniero electrónico, pero en este caso el desea determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad o convexidad de la siguiente función: f(t)=5t^(2/3)-t^(5/3)

Gráfica en GeoGebra de la función f(t)=2t^3-3t^2

Resolución del problema 2

Calculamos la función derivada de f: f^' (t)=10/(3∛t)-(5t^(2/3))/3 y resolvemos la ecuación f^' (t)=0: 10/(3∛t)-(5t^(2/3))/3=0 10-5t=0 t=2 Otro punto crítico es para t=0 Calculamos la función derivada segunda de f: f^'' (t)=-10/(9∛(t^4 ))-5/3∙2/(3∛t) y resolvemos la ecuación f^'' (t)=0 se obtiene -10/(9∛(t^4 ))-10/(9∛t)=0 -1/(t∛t)-1/∛t=0 (-1-t)/(t∛t)=0 1+t=0 t=-1

5. Conclusiones

1) El gráfico observado en la pantalla del osciloscopio coincide con los gráficos obtenidos en Geogebra

2) La primera derivada representa la tangente de la recta en cualquier punto de la función.

3) El criterio de la primera derivada utilizamos para determinar la monotonía y extremos relativos de la función.

4) El criterio de la segunda derivada utilizamos para determinar la concavidad y los puntos de inflexión en la función.

5) Mediante el osciloscopio se puede visualizar los fenómenos electrónicos de un circuito y mediante geogebra se puede observar el grafico de la función en el sistema de coordenadas (x, y), donde x = t.

6) Las derivadas en las telecomunicaciones nos ayudan a resolver análisis de curvas, máximos y mínimos de ondas, problemas de transmisión y recepción de señales e interconexión de redes, análisis de potenciales electrónicos y magnéticos en antenas.

6. Enlace a slideshare https://www.linkedin.com/feed/update/urn:li:activity:6766033215204458496/ 7. Bibliografía Mi portafolio-Calculo2. (s.f). Criterio de la Primera y Segunda derivada. Recuperado el 11 de Enero de 2021, de https://sites.google.com/site/miportafoliocalculo2/temas/criterio-de-la-primera-y-segunda-derivada El Blog de Pedro. (2017, Febrero 13).El osciloscopio es un instrumento electrónico que registra los cambios de tensión. Recuperado el 11 de Enero de 2021, de https://www.pcalero.com/Blog/el-osciloscopio-es-un-instrumento-electronico-que-registra-los-cambios/

¡GRACIAS!

Creado por el Grupo N°2