Estrategias de RazonamientoUnidad 2
Proposiciones y valores de verdad
-ProposiciónLa proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y solo uno de los valores de verdad, que pueden ser: verdadero (V) o falso (F) , pero no ambos valores a la vez.
Por lo general, a las proposiciones se les representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, … etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:
p: La universidad Rafael Landivar está en la zona 16. Valor de verdad (V)
r: Quetzaltenango es un departamento de Guatemala. Valor de verdad (V)
s: Un quetzal es equivalente a 8 dólares. Valor de verdad (F)
Expresiones no proposicionalesSon aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos, imperativos y opiniones. Como por ejemplo tenemos:
- ¿Cómo te llamas?
¡Salvemos el planeta!
Borra el pizarrón.
-Enunciados abiertos
Si en la proposición: “cinco es mayor que tres” ( en símbolos 5>3) reemplazamos el número 5 por la letra x, se obtiene la expresión “x es mayor que 3” (x>3), y si convenimos que x no representa necesariamente al número 5 , sino a un número cualquiera, entonces el enunciado x>3 se le denomina enunciado abierto.
Una proposición abierta es un enunciado que da información que no se puede calificar como verdadera o falsa porque el sujeto no está específicado, por lo tanto no tiene valor de verdad. Como ejemplo tenemos:- Él nació en la ciudad de Guatemala. - 3+y=21
Clasificación de las proposiciones
Proposición simple:Aquellas proposiciones que se les puede representar por una sola variable, se les llama proposiciones simples o atómicas. Es un enunciado que da solamente una información verdadera o falsa. Por ejemplo:
p: El litro es una medida de capacidad q: El metro es mayor que la yarda
Proposiciones compuestas
Proposiciones compuestas
Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Una proposición es compuesta cuando se construye uniendo dos o más proposiciones simples, y por ello, nos da más de una información. Por ejemplo:
- Zacapa es departamento de Guatemala ypertenece a Centroamérica.
p q
Otros ejemplos de proposiciones compuestas
- La capacidad de un recipiente se mide en litros o en metros cúbicos. - Tales de Mileto afirmaba que llevaría una vida justa y buena sí y solo sí se abstenía de hacer lo que criticaba de los demás.
Conectivos lógicos
Negación
Negación
Dada una proposición p, se denomina negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee “no p”) que le asigna el valor de verdad opuesto al de p.
Por ejemplo:
p: El kilómetro tiene 100 metros (F) ~p: El kilómetro no tiene 100 metros (V)
Se observa aquí que al valor verdadero de (V) de p, la negación le hace corresponder un valor falso(F) y viceversa
Conjunción
Dadas dos proposiciónes p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p∧q (se lee p y q) cuya tabla de verdad es:
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera únicamente cuando p y q son verdaderas.
Conjunción
Ejemplo 1:
La Monja blanca es flor nacional y el Quetzal es ave símbolo nacional.
Esta proposición está compuesta por dos proposiciones que llamaremos p, q:
p: La Monja Blanca es flor nacional Valor de verdad (V)
q: El Quetzal es ave símbolo nacional Valor de verdad (V)
La proposición compuesta : p∧q
Y tiene valor de verdad: V∧V=V
Disyunción
Dadas las proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición : p∨q cuya tabla de valor de verdad es:
La proposición disyuntiva o disyunción, p V q, es falsa únicamente cuando las dos proposiciones simples son falsas.
Basta que uno de los enunciados sea verdadero para que la disyunción sea verdadera.
Disyunción
Ejemplo 2:
Miguel Angel Asturias escribió la novela El Señor Presidente o El Tigre.
p: Miguel Angel Asturias escribió la novela El Señor Presidente (V)
q: Miguel Angel Asturias escribió la novela El Tigre (F)
La proposición compuesta : p∨q
Y tiene valor de verdad: V∨F=V
Implicación o condicional
Condicional de las proposiciones p y q es la proposición p⇒q (si p entonces q) , cuya tabla de valores de verdad es.
La implicación es falsa cuando p es verdadera y q es falsa
Implicación o condicional
La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la condicional o implicación. La tabla nos muestra que la implicación solo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Ejemplo 3:
Si la distancia de la ciudad de Guatemala a la Antigua es de 42 km. , entonces las ruinas de Tikal están en Huehuetenango.
Esta proposición está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p , q :
p: La distancia de la ciudad de Guatemala a la Antigua es de 42 Km. (V)
q: Las ruinas de Tikal están en Huehuetenango (F)
La proposición compuesta : p⇒q
Y tiene valor de verdad: V⇒F=F
Variaciones de la condicional o implicación
Variaciones de la condicional o implicación
Existen otras proposiciones relacionadas con la implicación p⇒q Cualquier proposición condicional se halla conformada por un antecedente y un consecuente. Si se intercambian, se niegan, o las dos cosas, se forma una nueva proposición condicional.
Variaciones de la condicional o implicación
Ejemplo 4:
Dada la proposición directa
“Si Guatemala es un país, entonces Guatemala pertenece a Centroamérica”
El enunciado está compuesto por las proposiciones:
p: Guatemala es un país
q: Guatemala pertenece a Centroamerica
p⇒q
Si intercambiamos el antecedente “Guatemala es un país” y el consecuente “Guatemala pertenece a Centroamérica”, se obtiene una proposición condicional.
q⇒p
“Si Guatemala pertenece a Centroamérica, entonces Guatemala es un país”
~p⇒~q
“Si Guatemala no es un país, entonces Guatemala no pertenece a Centroamérica”
“Si Guatemala no es un país, entonces Guatemala no pertenece a Centroamérica”
Si el antecedente y el consecuente se intercambian y se niegan, Se obtiene la contrapositiva de la proposición dada.
~q⇒~p
"Si Guatemala no pertenece a Centroamérica, entonces Guatemala no es un país
Variaciones de la condicional
Ejemplo 5
Dada la proposición directa: “Si Daniel vive en Sumpango, entonces Daniel vive en Sacatepéquez”, escriba: a) La recíproca b) La inversa c) La contrapositiva.
La recíproca, q⇒p es:
“Si Daniel vive en Sacatepéquez, entonces Daniel vive en Sumpango”.
La inversa es, ~p⇒~q es:
“Si Daniel no vive en Sumpango, entonces Daniel no vive en Sacatepéquez”.
La contrapositiva, ~q⇒~p es:
“Si Daniel no vive en Sacatepéquez, entonces Daniel no vive en Sumpango”
Bicondicional o doble implicación
Bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición p⟺q (se lee “p si y solo si q) , cuya tabla de valores de verdad es
La doble implicación o bicondicional solo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
Ejemplo 6Una semana tiene 7 días si y solo si un año tiene 12 meses.
El enunciado está compuesto por proposiciones:
p: Una semana tiene 7 días (V)
q: Un año tiene 12 meses (V)
La proposición compuesta : p⟺q
Y tiene valor de verdad: V⟺V=V
Leyes de Algebra proposicional
Leyes de Morgan
Las Leyes de De Morgan son una parte de la lógica proposicional y analítica, creada por Augustus de Morgan De Morgan (Madura, 1806-Londres, 1871) .
Las Leyes de Morgan son muy útiles cuando se quiere encontrar equivalentes para proposiciones que se obtienen por negación de proposiciones compuestas.
“La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones”
~(p⋀q)≡~p∨∼q
Ejemplo 7:
Utilice la Ley de Morgan para escribir para escribir la negación de la proposición. “Un año tiene 12 meses y una semana tiene 5 días”.
El enunciado está compuesto por las proposiciones:
p: Un año tiene 12 meses
q: Una semana tiene 5 días
Proposición compuesta p∧q
Negación: ∼(p∧q)
Negación y su equivalente: ∼(p∧q)≡∼p∨∼q
La negación de la proposición es:
“Un año no tiene 12 meses o una semana no tiene 5 días”
“La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones”
~(p∨q)≡~p∧∼q
Ejemplo 8: Utilice la Ley de Morgan para escribir la negación de la proposición. “Un metro es una medida de longitud o la libra es una medida de peso”. El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: Un metro es una medida de longitud q: La libra es una medida de peso Proposición compuesta p∨q Negación: ∼(p∨q) Negación y su equivalente: ∼(p∨q)≡∼p∧∼q La negación de la proposición es: “Un metro no es una medida de no es una medida de longitud y la libra no es una medida de peso”
“La negación de la condicional y su equivalente"∼(p⇒q)≡p∧∼q
Ejemplo 9
Negar la proposición:
“Si la tierra es un planeta, entonces una estrella es un astro”
El enunciado está compuesto por las proposiciones:
p: La tierra es un planeta
q: Una estrella es un astro
Proposición compuesta: (p⟹q)
Negación: ~(p⟹q)
Negación y su equivalente: ~(p⟹q)≡p∧∼q
La negación de la proposición es:
“La Tierra es un planeta y una estrella no es un astro”.
“La negación de la bicondicional y su equivalente"~(p⟺q)≡(p∧∼q)∨(q∧∼p)
Ejemplo 10: Negar la proposición:
“Un triángulo tiene 3 ángulos si y solo si un cuadrado tiene 4 lados”. El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: Un triángulo tiene 3 ángulos q: Un cuadrado tiene 4 lados Proposición compuesta: (p⟺q) Negación: ~(p⟺q) Negación y su equivalente: ~(p⟺q)≡(p∧∼q)∨(q∧∼p) La negación de la proposición es: “Un triángulo tiene 3 ángulos y un cuadrado no tiene 4 lados, o un cuadrado tiene 4 lados y un triángulo no tiene 3 ángulos”
Proposiciones y valores de verdad
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Estrategias de RazonamientoUnidad 2
Proposiciones y valores de verdad
-ProposiciónLa proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y solo uno de los valores de verdad, que pueden ser: verdadero (V) o falso (F) , pero no ambos valores a la vez.
Por lo general, a las proposiciones se les representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, … etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:
p: La universidad Rafael Landivar está en la zona 16. Valor de verdad (V) r: Quetzaltenango es un departamento de Guatemala. Valor de verdad (V) s: Un quetzal es equivalente a 8 dólares. Valor de verdad (F)
Expresiones no proposicionalesSon aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos, imperativos y opiniones. Como por ejemplo tenemos:
- ¿Cómo te llamas?
¡Salvemos el planeta!
Borra el pizarrón.
-Enunciados abiertos Si en la proposición: “cinco es mayor que tres” ( en símbolos 5>3) reemplazamos el número 5 por la letra x, se obtiene la expresión “x es mayor que 3” (x>3), y si convenimos que x no representa necesariamente al número 5 , sino a un número cualquiera, entonces el enunciado x>3 se le denomina enunciado abierto.
Una proposición abierta es un enunciado que da información que no se puede calificar como verdadera o falsa porque el sujeto no está específicado, por lo tanto no tiene valor de verdad. Como ejemplo tenemos:- Él nació en la ciudad de Guatemala. - 3+y=21
Clasificación de las proposiciones
Proposición simple:Aquellas proposiciones que se les puede representar por una sola variable, se les llama proposiciones simples o atómicas. Es un enunciado que da solamente una información verdadera o falsa. Por ejemplo: p: El litro es una medida de capacidad q: El metro es mayor que la yarda
Proposiciones compuestas
Proposiciones compuestas Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Una proposición es compuesta cuando se construye uniendo dos o más proposiciones simples, y por ello, nos da más de una información. Por ejemplo:
- Zacapa es departamento de Guatemala ypertenece a Centroamérica. p q
Otros ejemplos de proposiciones compuestas
- La capacidad de un recipiente se mide en litros o en metros cúbicos. - Tales de Mileto afirmaba que llevaría una vida justa y buena sí y solo sí se abstenía de hacer lo que criticaba de los demás.
Conectivos lógicos
Negación
Negación Dada una proposición p, se denomina negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee “no p”) que le asigna el valor de verdad opuesto al de p. Por ejemplo: p: El kilómetro tiene 100 metros (F) ~p: El kilómetro no tiene 100 metros (V)
Se observa aquí que al valor verdadero de (V) de p, la negación le hace corresponder un valor falso(F) y viceversa
Conjunción
Dadas dos proposiciónes p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p∧q (se lee p y q) cuya tabla de verdad es:
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera únicamente cuando p y q son verdaderas.
Conjunción
Ejemplo 1: La Monja blanca es flor nacional y el Quetzal es ave símbolo nacional. Esta proposición está compuesta por dos proposiciones que llamaremos p, q: p: La Monja Blanca es flor nacional Valor de verdad (V) q: El Quetzal es ave símbolo nacional Valor de verdad (V) La proposición compuesta : p∧q Y tiene valor de verdad: V∧V=V
Disyunción
Dadas las proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición : p∨q cuya tabla de valor de verdad es:
La proposición disyuntiva o disyunción, p V q, es falsa únicamente cuando las dos proposiciones simples son falsas.
Basta que uno de los enunciados sea verdadero para que la disyunción sea verdadera.
Disyunción
Ejemplo 2: Miguel Angel Asturias escribió la novela El Señor Presidente o El Tigre. p: Miguel Angel Asturias escribió la novela El Señor Presidente (V) q: Miguel Angel Asturias escribió la novela El Tigre (F) La proposición compuesta : p∨q Y tiene valor de verdad: V∨F=V
Implicación o condicional
Condicional de las proposiciones p y q es la proposición p⇒q (si p entonces q) , cuya tabla de valores de verdad es.
La implicación es falsa cuando p es verdadera y q es falsa
Implicación o condicional
La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la condicional o implicación. La tabla nos muestra que la implicación solo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Ejemplo 3: Si la distancia de la ciudad de Guatemala a la Antigua es de 42 km. , entonces las ruinas de Tikal están en Huehuetenango. Esta proposición está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p , q : p: La distancia de la ciudad de Guatemala a la Antigua es de 42 Km. (V) q: Las ruinas de Tikal están en Huehuetenango (F) La proposición compuesta : p⇒q Y tiene valor de verdad: V⇒F=F
Variaciones de la condicional o implicación
Variaciones de la condicional o implicación Existen otras proposiciones relacionadas con la implicación p⇒q Cualquier proposición condicional se halla conformada por un antecedente y un consecuente. Si se intercambian, se niegan, o las dos cosas, se forma una nueva proposición condicional.
Variaciones de la condicional o implicación
Ejemplo 4: Dada la proposición directa “Si Guatemala es un país, entonces Guatemala pertenece a Centroamérica” El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: Guatemala es un país q: Guatemala pertenece a Centroamerica
p⇒q
Si intercambiamos el antecedente “Guatemala es un país” y el consecuente “Guatemala pertenece a Centroamérica”, se obtiene una proposición condicional.
q⇒p
“Si Guatemala pertenece a Centroamérica, entonces Guatemala es un país”
~p⇒~q
“Si Guatemala no es un país, entonces Guatemala no pertenece a Centroamérica”
“Si Guatemala no es un país, entonces Guatemala no pertenece a Centroamérica”
Si el antecedente y el consecuente se intercambian y se niegan, Se obtiene la contrapositiva de la proposición dada.
~q⇒~p
"Si Guatemala no pertenece a Centroamérica, entonces Guatemala no es un país
Variaciones de la condicional
Ejemplo 5 Dada la proposición directa: “Si Daniel vive en Sumpango, entonces Daniel vive en Sacatepéquez”, escriba: a) La recíproca b) La inversa c) La contrapositiva.
La recíproca, q⇒p es: “Si Daniel vive en Sacatepéquez, entonces Daniel vive en Sumpango”. La inversa es, ~p⇒~q es: “Si Daniel no vive en Sumpango, entonces Daniel no vive en Sacatepéquez”. La contrapositiva, ~q⇒~p es: “Si Daniel no vive en Sacatepéquez, entonces Daniel no vive en Sumpango”
Bicondicional o doble implicación
Bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición p⟺q (se lee “p si y solo si q) , cuya tabla de valores de verdad es
La doble implicación o bicondicional solo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
Ejemplo 6Una semana tiene 7 días si y solo si un año tiene 12 meses. El enunciado está compuesto por proposiciones: p: Una semana tiene 7 días (V) q: Un año tiene 12 meses (V) La proposición compuesta : p⟺q Y tiene valor de verdad: V⟺V=V
Leyes de Algebra proposicional
Leyes de Morgan
Las Leyes de De Morgan son una parte de la lógica proposicional y analítica, creada por Augustus de Morgan De Morgan (Madura, 1806-Londres, 1871) . Las Leyes de Morgan son muy útiles cuando se quiere encontrar equivalentes para proposiciones que se obtienen por negación de proposiciones compuestas.
“La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones” ~(p⋀q)≡~p∨∼q
Ejemplo 7: Utilice la Ley de Morgan para escribir para escribir la negación de la proposición. “Un año tiene 12 meses y una semana tiene 5 días”. El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: Un año tiene 12 meses q: Una semana tiene 5 días Proposición compuesta p∧q Negación: ∼(p∧q) Negación y su equivalente: ∼(p∧q)≡∼p∨∼q La negación de la proposición es: “Un año no tiene 12 meses o una semana no tiene 5 días”
“La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones” ~(p∨q)≡~p∧∼q
Ejemplo 8: Utilice la Ley de Morgan para escribir la negación de la proposición. “Un metro es una medida de longitud o la libra es una medida de peso”. El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: Un metro es una medida de longitud q: La libra es una medida de peso Proposición compuesta p∨q Negación: ∼(p∨q) Negación y su equivalente: ∼(p∨q)≡∼p∧∼q La negación de la proposición es: “Un metro no es una medida de no es una medida de longitud y la libra no es una medida de peso”
“La negación de la condicional y su equivalente"∼(p⇒q)≡p∧∼q
Ejemplo 9 Negar la proposición: “Si la tierra es un planeta, entonces una estrella es un astro” El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: La tierra es un planeta q: Una estrella es un astro Proposición compuesta: (p⟹q) Negación: ~(p⟹q) Negación y su equivalente: ~(p⟹q)≡p∧∼q La negación de la proposición es: “La Tierra es un planeta y una estrella no es un astro”.
“La negación de la bicondicional y su equivalente"~(p⟺q)≡(p∧∼q)∨(q∧∼p)
Ejemplo 10: Negar la proposición: “Un triángulo tiene 3 ángulos si y solo si un cuadrado tiene 4 lados”. El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: Un triángulo tiene 3 ángulos q: Un cuadrado tiene 4 lados Proposición compuesta: (p⟺q) Negación: ~(p⟺q) Negación y su equivalente: ~(p⟺q)≡(p∧∼q)∨(q∧∼p) La negación de la proposición es: “Un triángulo tiene 3 ángulos y un cuadrado no tiene 4 lados, o un cuadrado tiene 4 lados y un triángulo no tiene 3 ángulos”