Lucrare grad

LUCRARE METODICO-ȘTIINTIFICĂ PENTRU OBTINEREA GRADULUI DIDACTIC I

RAPOARTE SI PROPORŢII. CONSIDERAŢII METODICE

COORDONATOR ŞTIINŢIFIC : Conf.univ. dr. Marcelina Mocanu CANDIDAT : Prof. Creţu Ostafe Cătălina (Manaz)

INTRODUCERE

A şti matematică nu înseamnă doar a reuşi să rezolvi exerciţii şi probleme cu un grad mare de dificultate sau a calcula perimetre şi arii, ci înseamnă a şti să interpretezi realul în mod raţional, a găsi rezolvarea problemelor practice în modelele matematice, a dezvolta capacitatea de a analiza, sintetiza şi critica. Matematica este folosită în viaţa de zi cu zi în cele mai banale lucruri, chiar şi atunci când spunem cât este ora sau când facem cumpărăturile. Există o multitudine de domenii în care tema ”Rapoarte și proporții” îşi are aplicabilitatea în viaţa reală: de la bănci, unde folosim procentele, dobânzile etc, la agricultură, politică şi chiar în industria farmaceutică unde medicamentele au în componenţă diferite substanţe a căror dozaj trebuie calculat cu foarte mare precizie. Tema prezentei lucrări este o provocare spre autoperfecţionare şi spre valorificarea valenţelor formative ale învăţării combinate (blended learning), ce conduce la însuşirea temeinică şi conştientă a tuturor noţiunilor. Am ales să dezvolt această temă deoarece noțiunile de raport și proporție apar zilnic, atât la algebră cât și la geometrie. Cu toţii am observat şi am rămas plăcut surprinşi câtă simetrie şi ordine există în natură. Mulţi dintre noi am dedus deja că natura a folosit în "hazardul" ei, pentru a crea tot ce ne înconjoară, formule matematice. Chiar şi în unele amprente umane apar rapoartele şi proporţiile, de aceea se vehiculează că, secţiunea de aur este " semnătura a lui Dumnezeu în creaţie".

Exemplu

CUPRINS

Capitolul APLICAŢII ALE RAPOARTELOR ŞI PROPORŢIILOR

Capitolul RAPOARTE DE NUMERE

Capitolul CERCETAREA APLICATIVĂ

Capitolul PROCENTE

Capitolul PROPORŢII

Capitolul MĂRIMI

Capitolul I. RAPOARTE DE NUMERE

I.1 Raportul numerelor I.2 Proprietățile termenilor raportului I.3 Raportul măsurilor a două mărimi

Capitolul I. RAPOARTE DE NUMERE

În capitolul I este prezentată noțiunea de raport. Termenul provine din limba franceză și este ortografiat ”rapport”. Vechii egipteni foloseau rapoartele la împărțirea terenurilor agricole și a cantităților de cereale sau la divizarea unui segment. În papirusul Rhind, în cartea I se găsesc următoarele hieroglife intitulate fracțiuni (fracții cu numărătorul 1): Una dintre metodele folosite pentru a compara doua numere reale, nenule, oarecare, de exemplu 𝑎 și 𝑏, constă în efectuarea împărțirii unuia la celălalt. Câtul obținut arată de câte ori este mai mare numărul 𝑎 față de numărul 𝑏. Dacă, de exemplu, dorim să știm de câte ori este mai mare 5 față de numărul 2,5, putem efectua împărțirea dintre 5 și 2,5 și obținem că 5 este de două ori mai mare decât 2,5. Câtul neefectuat dintre cele doua numere se poate scrie de forma 5/2,5, scriere introdusă de către L.P. Fibonacci și numită raport. Luăm a, b două numere raționale. Raportul numerelor 𝒂 ș𝒊 𝒃 , 𝒄𝒖 𝒃 ≠ 𝟎 , reprezintă numărul rațional 𝒂: 𝒃 , notat 𝒂/b. Observație: fracția ordinară este un raport cu numărătorul număr natural și numitorul număr natural nenul.

Capitolul II. PROCENTE

II.1 Procente II.2 Aflarea unui procent p% dintr-un număr dat II.3 Aflarea unui număr când se cunoaște un procent din el II.4 Creșteri și scăderi cu procente II.5 Aflarea raportului procentual II.6 Procente din procente

Capitolul II PROCENTE

Este suficient să deschizi ziarul, să asculți radioul sau să te uiți la televizor pentru a înțelege importanța cuvântului procent ( pe o sută – în latină) în informațiile noastre din viața de zi cu zi. Apărut la mijlocul secolului al XIX-lea, cuvântul procent, fie că reprezintă un rezultat statistic, o modificare, o rată a inflației, fie că reprezintă voturile date unui candidat, exprimă întotdeauna un raport cu numitorul 100. Dacă se enunță, de exemplu, că actualmente în România sunt 980000 de șomeri, nu vor fi mulți care vor înțelege dramatismul situației. Dacă, însă, același rezultat este exprimat sub forma unui procentaj și astfel aflăm că 9,33% dintre românii apți nu au loc de muncă, atunci situația șomajului apare mult mai clară. Definiție: Un raport de forma 𝑝/100, 𝑝∈ℚ+, 𝑝 ≥ 0, se numește raport procentual. Scrierea 𝑝% înseamnă 𝑝/100 și se citește ”p la sută” sau ”p procente”. Un procent poate fi scris și ca un număr zecimal sau ca o fracție ordinară. O jumătate poate fi scrisă matematic ca: - un procent: 50% - o fracție ordinară: 𝟏/𝟐 - o fracție zecimală: 0,5

Capitolul II PROCENTE

În subcapitolele II.2, II.3, II.4, II.5 și II.6 am prezentat modalități de rezolvare a problemelor cu procente. II.2 Aflarea unui procent p% dintr-un număr dat Aflarea unui procent p% dintr-un număr dat când se cunoaște p% și x și se cere y se realizeaza cu ajutorul formulei: 𝒑% 𝒅𝒊𝒏 𝒙 = 𝒑/𝟏 𝟎𝟎 ∙ 𝒙 II.3 Aflarea unui număr când se cunoaște un procent din el Aflarea unui număr când se cunoaște un procent p% și y și se cere x se realizează folosind formula: II.4 Creșteri și scăderi cu procente Fie x un număr rațional pozitiv dat. Dacă numărul x crește cu p% atunci, în urma măririi, el devine: Dacă numărul x scade cu p% atunci, în urma micșorării, el devine:

Capitolul II PROCENTE

Exemplu: Doi colegi au ieșit simultan din bloc. Unul are cu 20% mai lung pasul decât celălalt, în schimb celălalt face în același timp cu 20% mai mulți pași decât primul. Care dintre ei ajunge primul la școală? Soluție: Fie p lungimea pasului primului elev și n numărul de pași într-un interval de timp, iar 𝑝2 = 0,8 ∙𝑝 și 𝑛2 = 1,2 ∙ 𝑛 lungimea pasului și respectiv numărul de pași făcut în același interval de timp. Avem 𝑝2 ∙ 𝑛2 = 0,8 ∙ 𝑝 ∙ 1,2 ∙ 𝑛 și 𝑝2 ∙ 𝑛2 = 0,96 ∙ 𝑝 ∙ 𝑛 . Așadar primul elev ajunge mai repede la școală. II.5 Aflarea raportului procentual Aflarea raportului procentual când se cunoaște x și y și se cere p% se realizează folosind formula: Exemplu: Latura unui pătrat se mărește cu 20% din ea. Cu ce procent se mărește perimetrul lui? Dar aria? Soluție:

Capitolul II PROCENTE

II.6 Procente din procente În diverse probleme se cere aflare unui procent dintr-un număr care, la rândul său, reprezintă un procent dintr-un alt număr. Procente particulare În practică se folosește și un alt tip de raport, scris sub forma , care se citește 𝑝 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑒 . Prin dintr-o cantitate se înțelege 𝑝/1000 din acea cantitate. De exemplu, apa din straturile superioare ale Mării Negre are o salinitate de circa , ceea ce înseamnă că în 1000kg de apă se află 17kg de sare. Calculele cu rapoartele de tipul se fac la fel ca la procente. De ce e bine să lucrăm cu procentele: pentru ca să putem acționa în cunoștință de cauză și atunci când cumpărăm un obiect, dar și atunci când ne facem un plan de afaceri. Dacă dobânda plătită pentru un împrumut este mai mare decât procentul pe care-l obținem deschizând o afacere, pe termen scurt suntem falimentari! Pe termen lung trebuie făcute niște analize... pertinente și documentate.

p 0⁄00

p 0⁄00

17 0⁄00

p 0⁄00

Capitolul III. PROPORȚII

III.1 Proporția III.2 Proprietatea fundamentală a proporțiilor III.3 Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție III.4 Proporții derivate III.4.1 Proporții derivate cu același termen III.4.2 Proporții derivate cu alți termeni III.5 Șir de rapoarte egale

Capitolul III. PROPORȚII

În matematica veche, studiul rapoartelor și proporțiilor a ocupat un loc fruntaș deoarece o mare diversitate de probleme conduceau la rapoarte și proporții. Grecii considerau proporțiile drept simetrie (acordarea părților cu întregul). SIMETRIE - ORGANIZARE - ARMONIE – PROPORȚIE Celebre și astăzi au rămas proporțiile: a/a=(a-b)/(b-c), a/b=(a-b)/(b-c), (a-b)/(b-c)=a/c unde, în fiecare caz în parte, 𝑏 este media aritmetică, geometrică sau armonică a celorlalte două numere 𝑎 și 𝑐 . Definiție: Se numește proporție egalitatea a două rapoarte. Contraexemplu: 4/2 = 2 nu este o proporție deoarece nu este alcătuită din patru termeni. Dacă scriem 2 = 2 /1 , atunci 4 /2 = 2 /1 formează o proporție cu 4 și 1 extremi, iar 2 și 2 mezi.

Exemplu

Capitolul III. PROPORȚII

III.2 Proprietatea fundamentală a proporțiilor Teorema: Într-o proporție produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Dacă 𝑎/𝑏 = 𝑐/𝑑 , atunci 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐, unde 𝑏 ≠ 0 și 𝑑 ≠ 0 Teorema reciprocă: Dacă numerele 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , verifică relația 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 , atunci ele pot fi termenii unei proporții. Teorema de mai sus și reciproca sa, numită proprietatea fundamentală a proporțiilor, ne permite să: a) Verificăm dacă două rapoarte sunt egale, adică pot forma o proporție fără a calcula valorile lor. b) Aflăm un termen necunoscut dintr-o proporție. De regulă, realizăm acest lucru scriind egalitatea dintre produsul extremilor și produsul mezilor și rezolvând ecuația obținută. III.4 Proporții derivate Considerăm proporția a/b=c/d, a ,b ,c ,d Q, b ,d ≠ 0. Cu termenii acestei proporții, putem obține alte proporții, numite proporții derivate. Proporțiile derivate sunt de două tipuri: Proporții derivate cu același termen și Proporții derivate cu alți termeni.

Exemplu

Exemplu

Exemplu

Capitolul III. PROPORȚII

III.5 Șir de rapoarte egale Dacă avem cel puțin trei rapoarte care au aceeași valoarea, atunci putem spune că s-a format un șir de rapoarte egale. În general, dacă 𝑎1/𝑏1 = 𝑘, 𝑎2/𝑏2 = 𝑘, 𝑎3/𝑏3 = 𝑘, … , 𝑎𝑛/𝑏𝑛 = 𝑘, atunci aceste n rapoarte formează șirul de rapoarte egale Observație: Dacă avem un șir de rapoarte egale, oricare două dintre ele formează o proporție. Proprietatea șirului de rapoarte egale. P1. Într-un șir de rapoarte egale, raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor este egal cu fiecare dintre celelalte rapoarte. P2. Amplificând succesiv un raport cu mai multe numere diferite de zero, se obține un șir de rapoarte egale.

Exemplu

Capitolul IV. MĂRIMI

IV.1 Proporționalitate directă. Mărimi direct proporționale IV.1.1 Împărțirea unui număr în părți direct proporționale cu mai multe numere IV.1.2 Reprezentarea grafică a dependenței direct proporționale IV.2 Proporționalitate inversă sau indirectă. Mărimi invers proporționale IV.2.1 Împărțirea unui număr în părți invers proporționale cu mai multe numere IV.2.2 Reprezentarea grafică a dependenței invers proporționale IV.3 Regula de trei simplă. Regula de trei compusă IV.3.1. Regula de trei simplă IV.3.2. Regula de trei compusă

Capitolul IV. MĂRIMI

IV.1 Proporționalitate directă. Mărimi direct proporționale Definiție. Mulțimea ordonată este direct proporțională cu mulțimea ordonată , nenulă, dacă Raportul măsurilor a două mărimi direct proporționale este constant și se numește coeficient de proporționalitate. El se notează, de regulă, cu k , unde k ≠ 0. Putem concluziona că : Două mărimi variabile se numesc mărimi direct proporționale dacă depind una de alta astfel: daca una crește (descrește) de un număr de ori, atunci și cealaltă măsură crește (descrește) de același număr de ori.

Capitolul IV. MĂRIMI

IV.2 Proporționalitate inversă sau indirectă. Mărimi invers proporționale Definiție. Mulțimea ordonată este indirect proporțională cu mulțimea ordonată , nenulă, dacă Raportul măsurilor a două mărimi invers proporționale este constant și se numește coeficient de proporționalitate. El se notează, de regulă, cu k , unde k ≠ 0. Putem concluziona că : Două mărimi variabile care depind una de cealaltă astfel încât dacă măsura uneia crește (descrește) de un număr de ori, atunci și măsura celeilalte descrește (crește) de același număr de ori, se numesc mărimi invers proporționale.

Capitolul IV. MĂRIMI

IV.3.1. Regula de trei simplă Regula de trei simplă este procedeul folosit în rezolvarea unor probleme pentru a determina termenul necunoscut dintr-o mulțime de două elemente, dacă între mulțimea dată și o altă mulțime, ale cărei elemente sunt cunoscute, există o relație de directă proporționalitate sau de invers proporționalitate. Există două modalități de rezolvare a acestor tipuri de probleme: metoda proporției și metoda reducerii la unitate. Exemplul 1. Scuterul lui Sergiu consumă 1,8𝑙 de carburant pentru a parcurge 50𝑘𝑚. Sergiu are de parcurs 75𝑘𝑚 . Câți litri va consuma? Metoda proporției Metoda reducerii la unitate

Exemplu

Capitolul IV. MĂRIMI

IV.3.2. Regula de trei compusă Regula de trei compusă este o metodă de aflare a unui număr necunoscut într-o problemă în care apar mai multe mărimi cu câte două valori, între unele existând fie o proporționalitate directă, fie o proporționalitate inversă. Algoritmul de rezolvare a regulii de trei compusă a fost determinat de aplicarea succesivă a regulii de trei simplă. Există trei modalități de rezolvare a acestor tipuri de probleme: reducerea la regula de trei simplă, metoda reducerii la unitate și metoda regulii de trei compusă. Exemplul 1. Pentru a strânge 18 hl de apă, prin 4 robinete trebuie să curgă apă timp de 360 minute. Pentru a strânge 12 hl de apă, cât timp trebuie să fie deschise 6 robinete, cu același debit? Metoda reducerii la unitate Metoda regulii de trei compusă

Capitolul V. APLICAȚII ALE RAPOARTELOR ȘI PROPORȚIILOR

V.1 Proporția de aur. Șirul lui Fibonacci V.2 Exemple de rapoarte utilizate în practică V.2.1 Scara unui plan V.2.2 Scara unei hărți V.2.3 Concentrația soluției V.2.4 Titlul unui aliaj V.2.4.1 Probleme de amestec și aliaj V.3 Medii V.4 Statistica în viața de toate zilele. V.4.1 Probabilitatea producerii unui eveniment V.4.1.1 Probabilitatea unor evenimente aleatoare

V.5. Elemente de calcul financiar V.5.1 Dobânda V.5.2 Taxa pe Valoare Adăugata (TVA) V.6. Aplicații ale rapoartelor și proporțiilor în geometria din gimnaziu V.6.1. Segmente proporționale V.6.2. Teorema lui Thales și reciproca V.6.3. Teorema asemănării V.6.4. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea V.6.5. Relații metrice în triunghiul dreptunghic V.6.5.1 Rapoarte constante în tr. dreptunghic

Capitolul V. APLICAȚII ALE RAPOARTELOR ȘI PROPORȚIILOR

V.1 Proporția de aur. Șirul lui Fibonacci Vechii greci, artiștii Renascentiști, arhitecții din secolul 21 au folosit în mod obsesiv Proporția de Aur, cunoscută și sub numele de Proporția Divină. Aceasta este reprezentată de numărul 1,61803399, fiind notată cu litera grecească 𝑃ℎ𝑖 și care este considerat ca fiind unic prin proprietățile sale matematice, prin utilitatea sa în întreaga natură și prin potențialul său de a reda o compoziție estetică perfectă. Spunem că două numere se află în proporția de aur dacă îndeplinesc următoarea condiție:

Începând cu secolul XX proporția este reprezentată cu ajutorul literei grecești Phi, fiind un omagiu adus sculptorului Phidias care a folosit-o la decorarea Parthenonului din Atena. Ea a condus la construirea Dreptunghiului de aur, unde 𝐿/𝑙 = 𝜑, un dreptunghi intens folosit în arhitectură și artă, fiind considerat unul deosebit de estetic.

Numărul de Aur este căutat în cele mai diverse și neașteptate situații. Se observă că, începând cu al 14-lea termen din șirul lui Fibonacci, dacă împărțim un element al șirului cu precedentul său obținem numărul 1,61803. Numerele lui Fibonacci în natură

Capitolul V. APLICAȚII ALE RAPOARTELOR ȘI PROPORȚIILOR

V.2 Exemple de rapoarte utilizate în practică

V.2.1 Scara unui plan

Prin scara unui plan înțelegem raportul dintre distanța din plan și distanța din realitate dintre aceleași două puncte, ambele distanțe fiind exprimate cu aceeași unitate de măsură.

V.2.1 Scara unei hărți

Scara unei hărți este definită ca fiind raportul dintre distanța de pe hartă și distanța din realitate dintre aceleași două puncte, ambele distanțe fiind exprimate cu aceeași unitate de măsură. Remarcă: De obicei, numărătorul raportului prin care se exprimă scara este 1. Cele două distante, de pe hartă și din realitate, sunt direct proporționale.

Exemplu

Chiar dacă ar părea o problemă de fizică, calcularea concentrației unei soluții este o problemă de calcul, deci de matematică, la fel ca și calcularea titlului unui aliaj.

Capitolul V. APLICAȚII ALE RAPOARTELOR ȘI PROPORȚIILOR

Proporțiile sunt întalnite și în calcularea mediilor. La școala lui Pitagora, media aritmetică a numerelor 𝑎 și 𝑏 se afla calculând 𝑥 din proporția: (𝑎−𝑥)/(𝑥 −𝑏) = 𝑎/𝑎 , media geometrică aflând pe 𝑥 din proporția (𝑎−𝑥)/(𝑥−𝑏) = 𝑎/𝑥 , iar media armonică din proporția (𝑎−𝑥)/(𝑥−𝑏) = 𝑎/b. Media geometrică este o proporție în care mezii sau extremii sunt egali. V.4 Statistica în viața de toate zilele

Exemplu

Exemplu

Astăzi statistica influențează viața cotidiană a fiecăruia prin nenumărate căi: alegeri locale, parlamentare, buletine meteorologice, programe de televiziune, publicitate etc. Dar, una din provocările de zi cu zi este informarea greșită – dezinformarea – ca rezultat al manipulării cu abilitate a datelor statistice. Pentru o mai bună vizualizare a datelor statistice și formarea unei imagini intuitive și imediate asupra fenomenului studiat, putem organiza datele cu ajutorul graficelor

Capitolul V. APLICAȚII ALE RAPOARTELOR ȘI PROPORȚIILOR

V.6. Aplicații ale rapoartelor și proporțiilor în geometria din gimnaziu Rapoartele și proporțiile sunt intâlnite și în geometrie. Legenda spune că Thales ar fi aplicat proprietățile teoremei ce-i poartă numele în timpul unui voiaj la piramide, când a dorit să afle înălțimea piramidei lui Keops. Plutharh povestește că, măsurând cu un baston umbra acestuia și umbra marii piramide, ar fi aflat imediat înălțimea piramidei din proporția încântându-l astfel pe regele Egiptului. Teorema lui Thales: O paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau pe prelungirile lor, segmente proporționale. Dacă 𝑫 ∈ 𝑨𝑩 , 𝑬 ∈ 𝑨𝑪 și 𝑫𝑬 ∥ 𝑩𝑪 , atunci 𝑫𝑨/𝑫𝑩 = 𝑬𝑨/𝑬𝑪 . Lungimea unui segment depinde de unitatea de măsură aleasă pentru segment, în schimb, câtul lungimilor a două segmente nu depinde. Acest cât se numește, după cum s-a învățat la Algebră, ”raportul lungimilor celor două segmente”. Este unul din primele locuri în care noțiunea de raport ”spune ceva” în Matematică.

Capitolul V. APLICAȚII ALE RAPOARTELOR ȘI PROPORȚIILOR

Întâlnim noțiunea de raport și în capitolul ”Asemnarea triunghiurilor” sau în ”Relații metrice” în triunghiul dreptunghic. Relațiile care au loc între raportul a două laturi ale unui triunghi dreptunghic și măsura unui unghi ascuțit al acestui triunghi se numesc relații trigonometrice în triunghiul dreptunghic dat.

Un exemplu care trebuie amintit este noțiuna de fractal. Fractalul reprezintă o figură geometrică care poate fi împărțită în părți, astfel încât fiecare parte să fie copie miniaturală a întregului. Un model cunoscut de fractali este Triunghiul lui Sierpinski. Acesta poate fi obținut astfel: pornim cu un triunghi echilateral și trasăm liniile mijlocii ale triunghiului. Care este raportul de asemănare? Dar raportul ariilor?

Capitolul VI. CERCETAREA APLICATIVĂ

VI.1 Ipoteza și obiectivele cercetării VI.2. Metodele și etapele cercetării VI.3. Testele de evaluare, analiza rezultatelor și interpretarea lor . VI.3.1 Testul de evaluare inițial VI.3.2 Testul de evaluare formativă VI.3.3 Testul de evaluare finală VI.3.4 Statistica evaluării comparative și concluziile

Capitolul VI. CERCETAREA APLICATIVĂ

VI.1 Ipoteza și obiectivele cercetării În acest capitol mi-am propus să evidențiez importanța introducerii instruirii mixte (blended learning) în cadrul procesului instructiv-educativ. Acest tip de instruire se bazează pe combinarea metodelor tradiționale de învățare în sala de clasă cu instrumente și soluții de e-learning. Deși cercetarea mea a început cu mult timp înainte ca întregul glob să spună stop tuturor activităților, situația trăită în această perioadă mi-a întărit convingerea că educația asistată de calculator, combinată cu educația față în față reprezintă viitorul educației. Obiectivele cercetării: O1 - Cunoașterea nivelului de pregătire intelectuală a elevilor, pe baza evaluării inițiale; O2 -Identificarea celor mai eficiente metode moderne care pot favoriza creșterea performanțelor școlare; O3 -Formarea unor noțiuni cu bază științifică și dezvoltarea unei gândiri matematice creatoare, moderne (gândire rapidă, flexibilă, o capacitate mare de transfer); O4 -Cultivarea și educarea creativității și inventivității în rezolvarea sarcinilor propuse; O5 - Aplicarea testelor de evaluare, analiza și interpretarea rezultatelor; O6 -Descoperirea celor mai eficiente modalități de corelare a cunoștințelor de matematică cu cele întâlnite în practică; O7 -Realizarea de conexiuni și transferuri între matematică și alte domenii.

Capitolul VI. CERCETAREA APLICATIVĂ

Dorința mea de a introduce calculatorul în procesul de predare-învățare-evaluare a pornit de la aplicarea capitolului ”Rapoarte și proporții” la o clasa de elevi de nivel scăzut. Pentru acești elevi a fost necesar să îmi adaptez și să îmi reconfigurez toate cunoștințele didactice. Având și ore de TIC la această clasă, am observat că erau mult mai atenți și chiar dornici să învețe conținuturile predate. Am folosit aceeași tehnică și pentru orele de matematică. Am sperat că atracția elevilor către tot ce înseamnă tehnologie mă va ajuta să îmi ating obiectivele propuse în acest experiment. Am realizat o cercetare cu caracter formativ-ameliorativ. Prin tema de cercetare abordată voi încerca să descriu modalități prin care, elevii de nivel scăzut, au reușit să-și însușească noțiunile matematice despre rapoarte și proporții. Am aplicat strategii variate atât în lecțiile de predare-învățare cât și în cele de evaluare. Pentru a demonstra eficiența metodelor folosite în activarea elevilor am organizat o cercetare experimentală, bazată pe teste de evaluare, prin care am urmărit determinarea nivelului de cunoștințe dobândite de către aceștia. Cercetarea mea a fost realizată la capitolul ”Rapoarte și proporții”, iar pentru a evidenția progresul elevilor, ca urmare a utilizării metodelor de instruire mixte, s-au parcurs următoarele etape de cercetare:

Capitolul VI. CERCETAREA APLICATIVĂ

Etapa constatativă (28 octombrie-8 noiembrie 2019): are rolul de a stabili nivelul de pregătire al elevilor clasei a VI-a, adică punctul de plecare în această cercetare. Utilizând programa școlară, manualul și culegerea folosite la clase, am realizat un test inițial pe care l-am aplicat eșantionului de elevi. Discuțiile avute cu elevii asupra testului inițial m-au determinat să caut o altă abordare asupra lecțiilor viitoare. Rezultatele testului m-au ajutat să proiectez activitatea instructiv–educativă folosind metodele de instruire mixte (blended learning). Obiectivele operaționale cognitive urmărite: OC1 – să identifice noțiunea de raport și proporție în contexte variate; OC2 - să determine un termen necunoscut dintr-o proporție; OC3 – să aplice proprietățile rapoartelor și proporțiilor în contexte variate; OC4 - să recunoască și să aplice noțiunea de procent în probleme cu nivel scăzut de dificultate; OC5 – să transpună în limbaj matematic probleme cu caracter practic.

Capitolul VI. CERCETAREA APLICATIVĂ

2. Etapa formativ-ameliorativă (9-20 decembrie 2019) a constat în introducerea, pe baza rezultatelor obținute în etapa constatativă, a metodelor de instruirea mixtă, pe lângă metodele activ-participative, în proiectarea lecțiilor, cu scopul de a activa procesul de învățare și, bineînțeles, de a crește randamentul școlar. La sfârșitul etapei, elevii au fost evaluați cu ajutorul unui test de evaluare formativă, iar rezultatele au fost folosite atât pentru determinarea progresului cât și pentru a întocmi planul de măsuri ameliorative. Obiectivele operaționale cognitive urmărite sunt: OC1 – să identifice noțiunea de raport, procent și proporție în contexte variate; OC2 - să determine termenul necunoscut dintr-o proporție; OC3 – să rezolve probleme cu exemple de rapoarte aplicate în practică; OC4 – să identifice și să aplice în probleme noțiunea de mărime direct și invers proporțională; OC5 - să rezolve probleme în care intervine regula de trei simplă; OC6 - să recunoască și să aplice noțiunea de probabilitatea producerii unui eveniment; OC7 – să transpună în limbaj matematic probleme cu caracter practic;

Capitolul VI. CERCETAREA APLICATIVĂ

3. Etapa finală ( 9-12 iunie 2020) - a avut ca scop determinarea gradului de asimilare a cunoștințelor dobândite după parcurgerea capitolului ”Rapoarte, procente și proporții”. Având în vedere condițiile excepționale în care s-au desfășurat cursurile, elevii au fost evaluați online, cu ajutorului metodei webquest. Pentru ca activitatea să fie atractivă, am realizat un website, https://gatim-cu-matematica.webnode.ro/, în care le-am explicat povestea acestui test. Prin intermediul său am determinat deprinderile formate de elevi la capitolul evaluat cât și capacitatea acestora de a aplica cunoștințele însușite în practică. Elevii și-au amintit, individual, cunoștințele predate, urmărind link-urile date în etapa a III-a – Resurse informaționale și, pe baza acestora, au rezolvat problemele din webquest. Obiectivele operaționale cognitive urmărite sunt: OC1 – să recunoască și să aplice corect noțiunile studiate legate de proporționalite; OC2 - să determine termenul necunoscut dintr-o proporție; OC3 – să utilizeze corect instrumentele TIC în activitățile date; OC4 – să colaboreze în realizarea sarcinilor de lucru; OC 5 - să selecteze și să utilizeze corect informațiile obținute cu ajutorul internetului în vederea realizării și prezentării produsului final; OC 6 – să transpună în limbaj matematic problemele cu caracter practic;

Capitolul VI. CERCETAREA APLICATIVĂ

VI.3.4 Statistica evaluării comparative și concluziile Comparea rezultatelor între etapa evaluării inițiale, formative și finale este prezentată în tabelul de mai jos:

Scopul acestei cercetări a fost creșterea randamentului școlar prin aplicarea metodelor de instruire mixtă (blended learning). Staker spunea ca învățarea mixtă este definită ca ”orice situație în care elevul învață cel puțin o parte din timp într-o instituție propriu-zisă de învățământ și altă parte din timp cu ajutorul mediului online, controlându-și timpul, calea și/sau ritmul propriu”.

Capitolul VI. CERCETAREA APLICATIVĂ

La testul inițial am aplicat o instruire bazată pe metode clasice de învățare și rezultatele au fost nesatisfăcătoare. 50% din elevi au obținut note sub 5. Aceștia nu au fost interesați de informațiile predate și nu au reușit, majoritatea, să acumuleze nici cunoștințele elementare. După testul inițial, observând de la orele de TIC înclinația lor spre tehnologie, am hotărât să schimb metodele de predare clasice în favoarea celor de tip blended learning. Înainte de fiecare lecție nouă elevii au primit link-uri și filmulețe despre aplicațiile practice ale lecției viitoare, iar la final au fost evaluați cu ajutorul aplicației kahoot!. Mergând pe principiul - învăț doar ce-mi folosește=, a fost necesar să le explic, pe înțelesul lor, importanța lecțiilor predate. Pentru a realiza acest lucru m-am folosit de mediul online. Reprezentarea datelor colectate în urma celor trei teste evidențiază progresul elevilor. Având o clasă de elevi de nivel scăzut am observat, pe parcursul cercetării, dorința lor de a asimila diferite cunoștințe, dar lacunele acumulate fac învățarea greoaie și asta îi determină să renunțe. Chiar dacă, uneori, nu au reușit să ducă la bun sfârșit un exercițiu, faptul că au aplicat algoritmul corect pentru rezolvare arată un progres semnificativ. La întrebarea mea ”De unde ai știu să aplici acest algoritm?”, mulți dintre elevi mi-au răspuns că au reținut din aplicațiile și filmulețele vizionate la clasă. Acest lucru demonstrează, încă o dată, utilitatea aplicării metodelor de instruire mixtă. Eu consider că în fiecare elev există un mic geniu. Trebuie doar să găsești metoda potrivită să îl scoți la suprafață. De cele mai multe ori poate nu am găsit această cale, dar atunci când o fac satisfacția este imensă și îmi amintesc de ce am ales meseria de dascăl.

Noi, profesorii, avem nevoie de dorință, răbdare, curaj, să încercăm și iar să încercăm, să nu renunțăm… deoarece, drumul spre educarea elevilor are suișuri și coborâșuri, ocolișuri, dar destinația călătoriei este clară și consecvent urmărită!

MULȚUMESC!

prof. Manaz Cătălina