Les solidesen Mathématiques
Vues, patrons, perspectives
Démarrer
Objectifs etcompétences visées
Rappels avantde commencer
Le travail de 5e
Pour préparer la 3e
Les pyramides
Les prismes droits
Les sphères
Les cônes de révolution
Les cylindres de révolution
Objectifs
Les objectifs de cette séquence sont :
- Tracer en perspective cavalière un cube, un pavé droit, un prisme droit, un cylindre, un cône, une pyramide
- Tracer le patron d'un prisme droit, d'un cylindre
- Calculer le volume d'un prisme droit
Compétences visées
- Utiliser et produire des représentations des solides (perspectives cavalières et patrons)
- Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides et de situations spatiales
- Utiliser la calculatrice
- Volumes
- Grandeurs produits
- Convertir, utiliser les unités
- Contrôler la vraisemblance de ses résultats, notamment en estimant des ordres de grandeur
- Connaître et utiliser le vocabulaire spécifique
RAPPELS
Un solide est un objet en trois dimensions. Un polyèdre est un solide ayant des faces planes polygonales qui se rencontrent selon des segments de droite qu'on appelle arêtes. Le volume d'un solide est la mesure de l'espace occupé par ce solide.
Les prismes droits
Un prisme droit est un solide qui a :
- deux faces parallèles et superposables qui sont des polygones, appelées bases ;
- des faces rectangulaires perpendiculaires aux bases, appelées faces latérales.
Définition
Remarque : les pavés droits et les cubes sont des prismes droits particuliers.
Représentations desprismes droits
Perspective cavalière
Patron
- Les arêtes parallèles restent parallèles
- Les arêtes parallèles et de même longueur restent de même longueur
- Les milieux restent des milieux, les points alignés restent alignés
- Les arêtes cachées sont représentées en pointillés
Le patron d'un solide est une représentation en deux dimensions du solide, que l'on peut découper puis plier pour obtenir le solide.
Pour mieux comprendre :
Pour mieux comprendre :
Cas particuliers
Le parallélépipède rectangle (aussi appelé pavé droit)
Le cube
Toutes les faces sont des rectangles
Toutes les faces sont des carrés
Volume d'un prisme droit
Pour mieux comprendre :
Exemple :
Ce prisme est à base triangulaire, il faut donc d'abord calculer l'aire du triangle de base :
La hauteur du prisme mesure 6 cm. Donc le volume du prisme est :
Cas particuliers
Les cylindres de révolution
Un cylindre de révolution est un solide qui a :
- deux disques superposables, appelées bases ;
- une surface "entourant" les bases, appelée surface latérale.
Définition
Remarque : on obtient un cylindre de révolution en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés.
Représentations descylindres de révolution
Patron
Perspective cavalière
Le patron de la surface latérale est un rectangle, dont la longueur est le périmètre d'une base, et la largeur est la hauteur du cylindre.
En perspective cavalière, les disques sont représentés par un ovale.
Pour mieux comprendre :
Pour mieux comprendre :
Volume d'un cylindre de révolution
Pour mieux comprendre :
Exemple :
Pour calculer le volume du cylindre, il faut d'abord calculer l'aire de la base :
La hauteur du cylindre mesure 14 cm. Donc le volume du prisme est :
Les pyramides
Une pyramide est un solide qui a :
- pour faces latérales des triangles qui ont un sommet commun.
Définition
Remarque : la distance entre le sommet de la pyramide et sa base est appelée hauteur de la pyramide.
Représentations despyramides
Patron :
Perspective cavalière :
Pour mieux comprendre :
Pour mieux comprendre :
Cas particuliers
Une pyramide régulière est une pyramide dont toutes les faces sont des triangles isocèles égaux.
Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle.
Volume d'une pyramide
Pour mieux comprendre :
Cette pyramide est à base carrée, il faut donc d'abord calculer l'aire de la base :
Exemple :
La hauteur de la pyramide mesure 5 cm. Donc le volume de la pyramide est :
Les cônes de révolution
Définition
Un cône de révolution est un solide qui obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l'un de ses côtés adjacents à l'angle droit.
Animation Geogebra :
Représentations d'un cône
Perspective cavalière :
- Un disque est représenté par un ovale.
- Le pied de la hauteur est le centre de l'ovale.
Pour mieux comprendre :
Représentations d'un cône
Patron :
Traçons le patron d'un cône de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm.
Remarque :
Explication de la méthode :
On obtient donc le patron suivant :
Volume d'un cône
Pour mieux comprendre :
Ce cône a pour rayon de base 4 cm, et pour hauteur 9 cm.
Exemple :
La hauteur du cône mesure 9 cm. Donc le volume de la pyramide est :
Les sphères
Définition
Un cône de révolution est un solide qui obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l'un de ses côtés adjacents à l'angle droit.
Représentation en perspective cavalière d'une sphère
Remarque : On ne peut pas réaliser le patron d'une sphère.
Volume d'une boule
Se repérer sur une boule :l'exemple de la Terre
Pour se repérer sur une boule comme la Terre, on utilise trois coordonnées : la longitude, la latitude, et l'altitude.
Pour mieux comprendre :
Félicitations !
Tu as terminé le chapitre !
5e - Les solides
alexandre.delplanque
Created on January 12, 2021
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Rappels avantde commencer
Le travail de 5e
Pour préparer la 3e
Les pyramides
Les prismes droits
Les sphères
Les cônes de révolution
Les cylindres de révolution
Objectifs
Les objectifs de cette séquence sont :
Compétences visées
RAPPELS
Un solide est un objet en trois dimensions. Un polyèdre est un solide ayant des faces planes polygonales qui se rencontrent selon des segments de droite qu'on appelle arêtes. Le volume d'un solide est la mesure de l'espace occupé par ce solide.
Les prismes droits
Un prisme droit est un solide qui a :
Définition
Remarque : les pavés droits et les cubes sont des prismes droits particuliers.
Représentations desprismes droits
Perspective cavalière
Patron
Le patron d'un solide est une représentation en deux dimensions du solide, que l'on peut découper puis plier pour obtenir le solide.
Pour mieux comprendre :
Pour mieux comprendre :
Cas particuliers
Le parallélépipède rectangle (aussi appelé pavé droit)
Le cube
Toutes les faces sont des rectangles
Toutes les faces sont des carrés
Volume d'un prisme droit
Pour mieux comprendre :
Exemple :
Ce prisme est à base triangulaire, il faut donc d'abord calculer l'aire du triangle de base :
La hauteur du prisme mesure 6 cm. Donc le volume du prisme est :
Cas particuliers
Les cylindres de révolution
Un cylindre de révolution est un solide qui a :
Définition
Remarque : on obtient un cylindre de révolution en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés.
Représentations descylindres de révolution
Patron
Perspective cavalière
Le patron de la surface latérale est un rectangle, dont la longueur est le périmètre d'une base, et la largeur est la hauteur du cylindre.
En perspective cavalière, les disques sont représentés par un ovale.
Pour mieux comprendre :
Pour mieux comprendre :
Volume d'un cylindre de révolution
Pour mieux comprendre :
Exemple :
Pour calculer le volume du cylindre, il faut d'abord calculer l'aire de la base :
La hauteur du cylindre mesure 14 cm. Donc le volume du prisme est :
Les pyramides
Une pyramide est un solide qui a :
Définition
Remarque : la distance entre le sommet de la pyramide et sa base est appelée hauteur de la pyramide.
Représentations despyramides
Patron :
Perspective cavalière :
Pour mieux comprendre :
Pour mieux comprendre :
Cas particuliers
Une pyramide régulière est une pyramide dont toutes les faces sont des triangles isocèles égaux.
Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle.
Volume d'une pyramide
Pour mieux comprendre :
Cette pyramide est à base carrée, il faut donc d'abord calculer l'aire de la base :
Exemple :
La hauteur de la pyramide mesure 5 cm. Donc le volume de la pyramide est :
Les cônes de révolution
Définition
Un cône de révolution est un solide qui obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l'un de ses côtés adjacents à l'angle droit.
Animation Geogebra :
Représentations d'un cône
Perspective cavalière :
Pour mieux comprendre :
Représentations d'un cône
Patron :
Traçons le patron d'un cône de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm.
Remarque :
Explication de la méthode :
On obtient donc le patron suivant :
Volume d'un cône
Pour mieux comprendre :
Ce cône a pour rayon de base 4 cm, et pour hauteur 9 cm.
Exemple :
La hauteur du cône mesure 9 cm. Donc le volume de la pyramide est :
Les sphères
Définition
Un cône de révolution est un solide qui obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l'un de ses côtés adjacents à l'angle droit.
Représentation en perspective cavalière d'une sphère
Remarque : On ne peut pas réaliser le patron d'une sphère.
Volume d'une boule
Se repérer sur une boule :l'exemple de la Terre
Pour se repérer sur une boule comme la Terre, on utilise trois coordonnées : la longitude, la latitude, et l'altitude.
Pour mieux comprendre :
Félicitations !
Tu as terminé le chapitre !