Tspé - Ch 9 - Convexité

Term Spé.Maths

Chapitre 9

La Convexité

Analyse - Compléments sur la dérivation (2ème partie)

J. Rothiot - DLS Metz

INDEX

Convexité

Dérivée seconde

Point d'inflexion

Méthodologie

QCM d'auto-évaluation

Parcours différenciés

Carte mentale

Dérivée seconde d'une fonction

1. Dérivée seconde d'une fonction

Définition :Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que f ' est dérivable sur I.On appelle dérivée seconde de f sur I la fonction dérivée de f ', que l'on note f ''. f '' se lit "f seconde"

Exemple :Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)= x4 - 3x3 + x2 + 1.La fonction f est dérivable sur ℝ et, pour tout réel x, f ' (x) = 4x3 - 9x2 + 2x La fonction f ' est dérivable sur ℝ et, pour tout réel x, f '' (x) = 12x2 - 18x + 2

II

Convexité d'une fonction

Convexité d'une courbe : utilité

Lorsqu'une fonction est croissante sur un intervalle, on ne sait pas forcément de quelle manière elle "monte"

Convexité d'une courbe : Définition

Définition :Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• f est convexe sur I signifie que sa courbe représentative est au dessus de chacune de ses tangentes.
• f est concave sur I signifie que sa courbe représentative est en dessous de chacune de ses tangentes.

Exemples

MANIPULER

VIDEO

Convexité d'une courbe : sens de variation

Découvrons le lien entre une fonction convexe et le sens de variation de sa fonction dérivée

Convexité d'une courbe : sens de variation

Propriétés:Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

• La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée est croissante sur I, c'est à dire si et seulement si f '' (x) ≥ 0 pour tout x de I.
• La fonction f est concave sur I si et seulement si sa dérivée est décroissante sur I, c'est à dire si et seulement si f '' (x) ≤ 0 pour tout x de I.

DéMO a savoir

III

Point d'inflexion d'une courbe

Point d'inflexion d'une courbe : Définition

Définition :Un point d'inflexion d'une courbe est un point où la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente.Au point d'inflexion, la fonction change de convexité.

Exemple :On considère la fonction cube.Cette fonction admet un point d'inflexion en O.En ce point, la courbe représentative de la fonction traverse sa tangente. Avant O, la fonction cube est concave ; après O, elle est convexe.

VIDEO

Point d'inflexion d'une courbe : Propriété

Propriété : Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. La courbe représentative de f sur cet intervalle admet un point d'inflexion au point d'abscisse a si et seulement si f '' s'annule en changeant de signe en a.

Démonstration :f '' s'annule en changeant de signe en a ssi f' change de sens de variation en a.Donc f change de convexité en a et la fonction f admet alors un point d'inflexion en a.

Déterminer le(s) point(s) d'inflexion d'une courbe

Compétences à maitriser : - Etablir la convexité d'une fonction- Déterminer l'abscisse d'un point d'inflexion d'une courbe Regarde l'AM 2 p 217 puis entraîne-toi sur des exercices

Méthodologie rapide :

Conjecturer à partir d'un graphique

Etudier les variations d'une fonction f

Etudier la convexité d'une fonction f

Evaluation rapide en auto-verification

QCM maths-lycee.fr

QCM et problèmes : LLS p 219

Parcours différenciés d'exercices

75 p 228

85 p 229

70 p 227

Parcours vert

74 p 228

78 p 228

88 p 230

Parcours orange

83 p 229

87 p 230

Type bac

Parcours rouge

94 p 232

95 p 232

96 p 232

Approfondissements

Carte mentale de synthèse

Merci :)

On passe au ch 10 ?