Matematica

Operazioni coi segmenti

SOTTRAZIONE

ADDIZIONE

CONFRONTO

Dati i segmenti AB e AC (AC > AB) la differenza tra AC e AB e il segmento che, addizionato ad AB, da come somma AC.

Dati due segmenti adiacenti la loro somma è il segmento che ha per estremi i loro estremi non comuni.

Sovrapporre i segmenti in modo che un estremo dell'uno coincida con un estremo dell'altro.

• Somme di segmenti ordinatamente congruenti sono congruenti.
• Somme di segmenti disuguali nel loro stesso senso sono disuguali nello stesso senso.

• Se il secondo estremo coincide allora i segmenti sono congruenti.
• Se il secondo estremo di uno risulta all'interno dell'altro allora i segmenti non sono congruenti.

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI

• b = na (n = 1) allora il multiplo di a è a stesso. b = na (n = 0) b è il segmento nullo.
• a è sottomultiplo di B se (n ≠ 0) a = ½ × b

PUNTO MEDIO

POSTULATO Esiste sempre il punto medio di un segmento ed è unico.

Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti.

Operazioni con angoli

CONFRONTO

SOTTRAZIONE

ADDIZIONE

Sovrapporre un angolo all'altro, in modo che coincidano i due vertici e un lato.

Due angoli consecutivi, la loro somma è l'angolo che ha per lati i loro lati non comuni.

Dati gli angoli α e β (α > β) la differenza tra α e β è l’angolo che, addizionato ad β, da come somma α.

• Se anche secondo lato risulta sovrapposto, i due angoli sono congruenti.
• Se il secondo lato di un angolo risulta interna l'altro, i due angoli non sono congruenti.

• Somme di segmenti ordinatamente congruenti sono congruenti.
• Somme di segmenti disuguali nel loro stesso senso sono disuguali nello stesso senso.

• Differenze di angoli ordinatamente congruenti sono congruenti.
• Differenza di due angoli congruenti è l'angolo nullo.

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI

POSTULATO Dato un angolo, esiste il suo sottomultiplo secondo un qualsiasi numero naturale.

• β = nα (n = 1) allora il multiplo di α è α stesso.
• β = nα (n = 0) β è il segmento nullo.

BISETTRICI

POSTULATO Per un qualsiasi angolo esiste una sola bisettrice.

La bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l'angolo in due angoli congruenti.

ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE

Metà di un angolo piatto è un angolo retto.

Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno in comune il vertice e i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell'altro.

TIPI DI ANGOLI

Minore di un angolo retto è un angolo acuto.

Maggiore di un angolo retto è minore di un angolo piatto è ottuso.

Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto. Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro.

Monomi

Un monomio è un'espressione letterale in cui compaiono soltanto moltiplicazioni fra numeri e potenze di lettere con numeri naturali ed esponenti.

DEFINIZIONE

La riduzione di un monomio a forma normale

Un monomio è ridotto a forma normale quando è scritto come un prodotto fra un numero e una o più lettere, diverse fra loro, con eventuali esponenti.

Come si scrivono

Il grado di un monomio

6 a²bc²

parte letterale

Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l'esponente che la lettera ha nel monomio. Il grado complessivo di un monomio è la somma dei gradi rispetto a tutte le lettere del monomio.

coefficiente

Operazioni con i monomi

DEFINIZIONE

Monomi che hanno la stessa parte lettrale si dicono simili.

SOMMA

REGOLA

La somma algebrica di due o più mnomi simili è un monomio che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e la stessa parte letterale.

COEFFICIENTE

Il coefficiente è il prodotto dei coefficienti.

PRODOTTO

LETTERA

Nella parte letterale ogni lettera ha per esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare nei fattori.

Eleviamo a esponente n il suo coefficiente.

POTENZA

Moltiplichiamo per n ognuno degli esponenti delle sue lettere.

COEFFICIENTE

Il coefficiente è il quoziente dei coefficienti.

QUOZIENTE

LETTERA

Nella parte letterale ogni lettera ha per esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare nei fattori.

DEFINIZIONE

Monomi che hanno la stessa parte lettrale si dicono simili.

DIFFERENZA

REGOLA

La somma algebrica di due o più mnomi simili è un monomio che ha per coefficiente la differenza tra gli esponenti con la stessa base.

MCD & MCM

COEFFICIENTE

Il coefficiente:

• Il MCD dei valori assoluti dei coefficienti se sono tutti interi
• Il numero 1 se qualche monomio non ha coefficiente intero

MCD

LETTERA

Come parte letterale il prodotto delle lettere comuni a tutti i monomi, ognuna presa una sola volta e con l'esponente minimo.

COEFFICIENTE

Il coefficiente:

• Il MCM dei valori assoluti dei coefficienti se sono tutti interi
• Il numero 1 se qualche monomio non ha coefficiente intero

MCM

LETTERA

Come parte letterale il prodotto di tutte le lettere presenti in almeno uno dei monomi, ognuna presa una sola volta e con l'esponente massimo.

Le rette perpendicolari

due rette incidenti sono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti.

DEFINIZIONE

esistenza e unicità

per un punto P del piano passa una è una sola retta β di perpendicolare a una retta data α.

proiezioni ortogonali di un segmento

la proiezione ortogonale di un segmento su una retta, il segmento appartenente alla retta e compreso fra le proiezioni degli estremi del segmento dato sulla retta.

distanza di un punto da una retta

la distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto stesso e il piede della perpendicolare condotta dal punto alla retta.

Le rette parallele

due rette si dicono parallele se coincidono o se non hanno alcun punto in comune.

DEFINIZIONE

• gli angoli 2 e 8, oppure 3 e 5 si dicono alterni interni.

• gli angoli 4 e 6, oppure 1 e 7 si dicono alterni esterni.

• gli angoli 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7 si dicono corrispondenti.

• gli angoli 2 e 5, oppure 3 e 8 si dicono coniugati interni.

• gli angoli 1 e 6, oppure 4 e 7 si dicono coniugati esterni.

teorema rette parallele

se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele.

l'inverso del teorema delle rette parallle

se due rette sono parallele, formano tagliate da una trasversale angoli alterni interni congruenti.

angoli con lati paralleli

se due angoli hanno i lati paralleli e concordi sono uguali. se hanno i lati paralleli e discordi sono pure uguali. se hanno due lati paralleli e concordi e due paralleli e discordi sono supplementari.

teorema dell'angolo esterno (somma)

in un triangolo qualsiasi, l'angolo esterno corrispondente ad uno degli angoli interni è congruente alla somma degli altri due angoli interni.

somma degli angoli interni di un triangolo

la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180°

somma degli angoli interni di un poligono convesso

la somma degli angoli interni di un poligono di lati vale ( n - 2 ) π

somma degli angoli esterni di un poligono convesso

la somma degli angoli esterni di un poligono convesso è uguale ad un angolo giro (360°), qualunque sia il numero dei suoi lati.

criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

la mediana relativa all'ipotenusa

nel caso particolare del triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è metà dell'ipotenusa stessa.

DEFINIZIONE

la distanza tra due rette parallele

se due rette r e s sono parallele, la distanza di un punto di R da S e la distanza di un punto di S da R sono congruenti.

DEFINIZIONE