Circuitos digitales

Circuitos combinacionales. Álgebra de Boole

01

SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS

circuito combinacional y un circuito secuencial.

Circuito combinacional es aquel que en cada instante presenta un estado de salida que depende únicamente del estado de sus entradas. Se observa, pues, que un circuito combinacional es, en realidad, una función lógica. Circuito secuencial es aquel en que la consideración de sus salidas no solo depende del estado de sus entradas en el momento dado, sino también del historial de las salidas anteriores. Para ello se requiere una memoria.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Los circuitos digitales funcionan mediante la aplicación a sus entradas de señales que toman un número finito de valores. Un componente físico puede construirse de manera que pueda presentar dos estados diferentes, que es el número de valores utilizados en las señales binarias. El sistema de numeración utilizado normalmente utiliza la base 10 o sistema decimal. Los circuitos digitales utilizan para su trabajo el sistema de numeración binario o en base dos. Cualquier información que va a ser tratada por un circuito digital ha de ser codificada en el sistema binario. La representación de un número N en un sistema de base b, se desarrolla por:

Para pasar de binario a decimal, se expresa el binario en su polinomio equivalente, al operar el polinomio se obtiene como resultado el número decimal correspondiente.

Sistema binario. Código binario natural

Este sistema utiliza para su representación dos símbolos: 0 (cero) y 1 (uno). A cada uno de estos símbolos se le denomina bit. La utilización en sistemas de control y cálculo se debe a la respuesta de sistemas físicos que poseen dos estados diferentes.

Para pasar de un número decimal entero a binario, se divide sucesivamente entre dos hasta que el último cociente sea inferior a dos. El último cociente será el bit más significativo, seguido de los restos de la división comenzando del último al primero. Para pasar de un número decimal fraccionario a uno binario, se multiplica este por dos y se toma la parte entera. La parte decimal del número obtenido se vuelve a multiplicar por dos, y el proceso se repite hasta que el resultado sea cero o lleguemos a la precisión necesaria.

Sistema hexadecimal

Para pasar de binario a hexadecimal, en primer lugar se hacen grupos de cuatro bits, partiendo de la coma hacia la izquierda y hacia la derecha . Si el último grupo de cada lado de la coma está incompleto se añaden ceros por la izquierda o por la derecha, según estemos a un lado o a otro de la coma. En segundo y último lugar se realiza la equivalencia entre el número binario y el hexadecimal correspondiente.

Es el que tiene base 16. para su representación se utilizan los diez primeros dígitos decimales (del 0 al 9) y las letras del alfabeto (A, B, C, D, E y F).

+ INF

Equivalencia entre los códigos decimal, hexadecimal y binario

Ejemplo. Transforma el binario 10111011101,101101 en hexadecimal. 0101 . 1101 . 1101 , 1011 . 0100 se han añadido un cero a la izquierda y dos ceros a la derecha, para completar los grupos de 4 bits. Utilizando la tabla tenemos: 5 D D , B 4

códigos binarios

Un código es una representación de cantidades, de forma que a cada una de éstas se le asigna una combinación de símbolos determinada, y viceversa. Los más utilizados dentro de los binarios son los códigos BCD. Con n cifras binarias o bits se pueden obtener 2^n combinaciones diferentes, a cada combinación se le puede asignar una cantidad diferente. Para codificar un número decimal mediante este sistema, cada una de sus cifras se representa por separado. El número de bits necesarios para representar cada cifra es de cuatro y, por tanto, se pueden efectuar 2^4 = 16 combinaciones distintas.

El código mas utilizado es el BCD natural, que emplea las diez primeras combinaciones. El código BCD Aiken utiliza las cinco primeras y las cinco últimas que pueden formarse con 4 bits. El BCD exceso 3, no toma las tres primeras ni las tres últimas sino las 10 centrales. Otra clase de códigos binarios son los progresivos, en los que una combinación difiere de la anterior y de la siguiente en un solo bit. Los códigos detectores y correctores de error detectan y corrigen el error en la información binaria.

El código de paridad añade 0 o 1 a la derecha del número binario según la cantidad de unos de este. Si el número de unos es par se añade un cero y si es impar, un uno. Hay códigos que se emplean para representar información de letras y símbolos especiales el más importante es el ASCII y sque se utiliza en ordenadores e impresoras.

Ejemplo. Codifica el número decimal 342,75 utilizando los distintos códigos BCD.

ÁLGEBRA DE BOOLE. DEFINICIONES

02

El álgebra de Boole opera con variables que admiten únicamente los valores 0 y 1. Estos representan dos estados diferentes de un dispositivo activado 1 o desactivado 0.

LÓGICA DE NIVELES

En los circuitos digitales se utiliza la lógica de niveles para establecer una correspondencia entre los niveles de tensión y los elementos de información binaria. En lógica positiva, al nivel más elevado se le asigna el estado 1, y al más bajo el estado 0. En lógica negativa es al revés. Al hablar de operaciones y funciones lógicas hay que tener en cuenta el tipo de lógica con la que trabajamos.

¿Qué es una función lógica? Una función lógica F es un conjunto de variables lógicas A, B, C, relacionadas por los símbolos de las operaciones permitidas: suma, producto y negación. Por ejemplo: Una función lógica acepta sólo dos posibles entradas (0 y 1) y produce un solo valor (salida).

El comportamiento de las funciones lógicas se expresa mediante las tablas de la verdad. Éstas son unas tablas donde se recoge el valor de la función para las diferentes combinaciones posibles de las variables. Si hay n variables, tendremos 2n combinaciones posibles. Por ejemplo:

OPERACIONES BÁSICAS EN ÁLGEBRA DE BOOLE

Tabla de la verdad

SUMA LÓGICA O UNIÓN (PUERTA OR)

Suponiendo dos variables de entrada a y b. La suma lógica S = a + b toma el valor lógico 1 cuando las dos o al menos una de ellas toma el valor 1. Los circuitos electrónicos que realizan esta operación se denominan puertas O.

Puerta lógica SUMA

Circuito eléctrico

OPERACIONES BÁSICAS EN ÁLGEBRA DE BOOLE

Tabla de la verdad

Puerta lógica

PRODUCTO LÓGICO O FUNCIÓN INTERSECCIÓN (PUERTA AND)

La función lógica aplicada a dos variables a y b será S = a . b tomará el valor 1 cuando a y b presenten un 1.

Circuito equivalente

OPERACIONES BÁSICAS EN ÁLGEBRA DE BOOLE

Tabla de la verdad

FUNCIÓN NEGACIÓN O INVERSORA (PUERTA NOT)

Puerta lógica

Se aplica a una sola variable de entrada que equivale a invertir el estado lógico anterior, se conoce como inversora.

Circuito equivalente

Video de explicación puertas lógicas - AND, OR, NOT, NAND, NOR

03

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE.

PROPIEDADES

01

CONMUTATIVA

Tabla de la verdad

02

ASOCIATIVA

Circuito equivalente

03

+ INF

DISTRIBUTIVA

Teorema de morgan

El teorema de Morgan declara que la suma de n variables globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas individualmente, y que inversamente, el producto de n variables globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente.

PUERTAS LÓGICAS COMPLEJAS

PUERTA NOR

Esta función se obtiene al invertir la salida de la función OR. El resultado es la negación de la función suma. Para dos variables su expresión matemática es: Si se aplica el teorema de Morgan, resulta:

Símbolos de las puertas NOR

Tabla de la verdad NOR

+ INF

Circuito integrado 7402 de cuatro puertas NOR con dos entradas.

PUERTAS LÓGICAS COMPLEJAS

PUERTA NAD

Es la puerta AND seguida de una negación. Si se aplica el teorema de Morgan, resulta:

Símbolos de las puertas NAND

Tabla de la verdad NAND

¿Qué es una función lógica?

Circuito integrado 7400 de cuatro puertas NAND de dos entradas.

PUERTAS LÓGICAS COMPLEJAS

PUERTA O-EXCLUSIVA (EXOR)

Presenta a su salida el valor 1 cuando ambas variables son distintas y 0 si son iguales.

Tabla de la verdad EXOR

Símbolos de las puertas EXOR

PUERTAS LÓGICAS COMPLEJAS

PUERTA O-EXCLUSIVA (EXNOR)

Presenta a su salida el valor 0 cuando ambas variables son distintas y 1 si son iguales.

Tabla de la verdad EXNOR

Símbolos de las puertas EXNOR

Video de explicación Puertas lógicas - XOR y XNOR

OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN LÓGICA A PARTIR DE LA TABLA DE LA VERDAD

04

A partir de la tabla de la verdad se puede obtener a función lógica de dos formas canónicas. La forma canónica de una función es todo producto de sumas o toda suma de productos en las que aparecen todas las variables, bien en forma directa, bien en forma complementaria.

Primera forma canónica (minterms)

Segunda forma canónica (maxterms)

Se obtiene SUMANDO todos los productos lógicos que dan salida 1, asignando el estado 0 a la variable inversa y el estado 1 a al variable directa. En la tabla de verdad de la figura para tres variables, la salida S será:

La salida en forma de PRODUCTOS de sumas será igual a 2n -1- i, donde i es el lugar que ocupan los términos que dan salida 0. En la tabla las combinaciones que hacen S = 0, son las combinaciones 0, 2 y 5

Forma canónica de una función

Simplificación de funciones

Normalmente se emplea hasta con seis variables. Su fundamento se basa en la determinación, a partir de la tabla de la verdad, de unas tablas denominadas tablas de Karnaugh, cuya forma depende del número de variables de entrada que se utilicen.

Tabla para tres variables

Tabla para cuatro variables

Tabla para dos variables

El número dentro del cuadro indica el equivalente decimal de la combinación correspondiente. El lugar que ocupan estos números depende del peso que tomen las variables, en nuestro caso son d, c, b y a de mayor a menor.

Los cuadros correspondientes a los términos canónicos que forman parte de la función se indican mediante un 1, y los correspondientes a los términos que no forman parte de ella se dejan en blanco. En el caso que existan combinaciones con términos indefinidos (X), estos términos se representan como más interese 1 o 0.

El procedimiento para agrupar es el siguiente: -Se toman los unos sueltos que no puedan formar parte de un grupo de dos. -Se toman los grupos de dos unos que no puedan formar parte de un grupo de cuatro. -Se toman los grupos de cuatro que no puedan formar parte de un grupo de ocho. -Cuando se cubren todos los unos el proceso se termina. -Tener en cuenta que un 1 puede estar incluido en tantos grupos como sea necesario.

Ejemplo. El circuito tendrá salida 1 cuando se cumpla la ecuación: Obtener la función lógica

Ejemplo de 4 variables

Ejemplo

Una lámpara debe accionarse mediante la combinación de tres pulsadores (c, b y a); cuando se cumplan las condiciones siguientes: 1)Se accione un solo pulsador. 2)Se accionen dos pulsadores simultáneamente que no sean a y b.Planteamos la solución por suma de productos. La ecuación será: Hacemos la tabla de la verdad y la ecuación canónica es: Señalamos las salidas en el mapa de Karnaugh y se obtiene la función simplificada:

FUNCIONES CON PUERTAS NAND Y NOR

Funciones básicas con puertas NORD y NAND de dos entradasRecordar la tabla de la verdad de ambas puertas (NAND y NOR). En ambas, cuando las dos entradas valen lo mismo, 1 o 0, la salida es 0 o 1 respectivamente.

Las puertas NAND y NOR son puertas universales ya que todas las funciones se pueden construir con ellas. Para ello se deberá aplicar el teorema de Morgan las veces necesarias hasta que toda la función se exprese en forma de productos o sumas negadas.

Video explicación puertas NAND y NOR

Ejemplo

Realiza el circuito que responda a la tabla de la verdad de la figura con puertas NAND de dos entradas. a) La salida responde a la ecuación de la primera forma canónica: b) Llevamos las salidas al mapa de Karnaugh La expresión final está formada por la suma lógica de los tres grupos c) Implementación por puertas NAND Se da a la función una doble inversión: Se opera con una de las inversiones para transformar las sumas en productos.

Teroremas De Morgan

circuitos combinacionales INTEGRADOS

05

¿Qué es un circuito integrado?

https://es.wikibooks.org/wiki/Circuito_integrado_7408

Para realizar circuitos electrónicos que realicen las operaciones lógicas, los fabricantes de componentes electrónicos construyen circuitos integrados basados en transistores, en cuyo interior implementan varias puertas. Las patillas del mismo constituirán las entradas, salidas y alimentación.Cada CI tiene un código que identifica el número y el tipo de puertas que incorpora. Las distintas puertas van a tener unas “entradas lógicas” serán los valores binarios que puede tener la entrada. Y un valor de “salida” cuyo resultado será 0 ó 1. A las entradas las designaremos con las letras a, b, c, d, etc... y a la salida con la letra s. Igualmente la salida sólo puede tomar dos valores 0 ó 1.

Decodificadores

Un codificador es un circuito combinacional que posee n salidas y 2n entradas, de tal forma que, al accionarse una de sus entradas, en la salida aparece la combinación binaria correspondiente al número decimal asignado a esa entrada. Los codificadores pueden ser con prioridad y sin prioridad.

Codificadores

En los codificadores sin prioridad no puede activarse mas de una entrada al mismo tiempo. Los más utilizados son los decodificadores con prioridad, en los que se produce una acción simultanea de varias de sus entradas, en la salida se representa el código de aquella entrada que tenga signado mayor peso significativo, que normalmente es la de mayor valor decimal.

Un codificador es un circuito combinacional que posee n salidas y 2n entradas, de tal forma que, al accionarse una de sus entradas, en la salida aparece la combinación binaria correspondiente al número decimal asignado a esa entrada. Los codificadores pueden ser con prioridad y sin prioridad.

Demultiplexor

Son circuitos lógicos con binacionales con una sola entrada , N salidas y n entradas de control. Su misión es trasmitir la información desde la entrada a la salida seleccionada mediante las entradas de control.

Multiplexor

Es un circuito lógico combinacional que canaliza varias fuentes de información binaria hasta una línea común de salida. En general posee 2n entradas de información denominadas Do a Dm n entradas de selección, y una sola salida de información W. El funcionamiento es el siguiente: cuando se presenta una combinación binaria en las entradas de selección en la salida aparece un solo dato, correspondiente a la entrada que lleve asignada esta combinación binaria.

Comparador

Es un circuito capaz de detectar las relaciones mayor (>), igual (=) y menor (<) entre dos magnitudes binarias. Un comparador digital presenta: Dos grupos (A y B) de n líneas de entrada. Cada grupo de líneas canaliza hacia la entrada del comparador una palabra binaria de n bits. Tres líneas de salida. Al comparar las dos palabras binarias introducidas en el comparador, el sistema combinacional responderá activando una de las tres salidas siguientes: A > B, A = B o A < B.