La aritmetica de coxeter permutahedra (Poster)

El matemático francés Eugene Ehrhart estudió la enumeración de puntos enteros en politopos cuyos vértices tiene coordenadas enteras. El francés mostró apartir de una función matematica que expone la existencia de un polinomio o cuasipolinomio para cualquier politopo entero. Este matematicó que termino su doctorado a los 60 años tambien demostró que el coeficiente principal P(x) es igual al volumen de P, y el segundo coeficiente principal es igual a la mitad de la superficie (adecuadamente normalizada).Para medir los politopos se observa la combinatoria que estudia las posibilidades de una situación discreta por eso un ejemplo es el permutahedron, un politópo cuyos vértices son las n! permutaciones de {1,2,...,n}. Mirando esto es la estrategia general de la combinatoria geométrica es modelar problemas discretos continuamente, Otro matematicó pionero en este tema fue Stanley que demostro problemas y teoremas apartir de lo realizado por Ehrhart.

1.

LA ARITMETICA DE Coxeter Permutahedra

INTRODUCCIÓN

Sobre un articulo de Federico Ardila, Metthias Beck y Jodi McWhirter

IDEAS PRINCIPALES

REFERENCIAS

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RESUMEN

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ ANDRES FELIPE ESPEJO

Un politopo es definido como aquella figura geometrica con alto grado de simetría y es la generalización del concepto de Polígono (2D), o de poliedro (3D) a cualquier otra dimensión. De esta forma se genera la teoria de Ehrhart donde muestra una función que cuenta el número de puntos enteros en la n-ésima dilatación de un politopo entero de n grados de dimención( P ) que es llamado polinomio de Ehrhart. Usualmente se suele medir los politopos por medio de volumen o apartir de su superficie, pero para cuantificar su tamaño se coloca el politopo P en una cuadricula , se descompone y se pregunta cuantos puntos de la cuadrícula contienen sus dilataciones. Con este mismo enfoque ehrhart mostró que cuanto existen polotopos P que tienen vértices enteros entonces forma un polonomio o un cuasipolinomio (los cuales involucran potencias tanto positivas como negativas).

Federico Ardila, Federico Castillo, Christopher Eur, and Alexander Postnikov, Coxeter submodular functions and deformations of Coxeter permutahedra, Adv. Math. 365 (2020), 107039.

Federico Ardila, Mariel Supina, and Andres R Vindas-Melendez, The equivariant Ehrhart theory of the permutahedron, Proceedings of the American Mathematical Society (To appear.), arXiv:1911.11159.

Matthias Beck and Sinai Robins, Computing the Continuous Discretely: Integerpoint Enumeration in Poly- hedra, second ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2015, electronically available at http://math.sfsu.edu/beck/ccd.html.

Harold Scott Macdonald Coxeter, Regular Polytopes, Courier Corporation, 1973.

Juan Camilo Auzero, Unimodalidad y Teor´ıa de Ehrhart. Universidad de los Andes, Bogotá, mayo 2017 . Recuperado de: https://repositorio.unian des. edu.co/bitstream/handle/1992/38989/u806750.pdf?sequence=1

CONCLUCIÓN

2.

figura 2: Una descomposición de un hexágono en paralelepípedos semiabiertos.

figura 1: Ejemplo medición de un politopo en una cuadricula.

figura 3: Permutahedron

1.

3.

Apartir de la descomposición de politopo de n dimenciones en una cuadricula bidimencional se puede medir el mismo apartir de sus vertices.

Un politopo es medible apartir de su volumen, superfice , sus vertices o sus dilataciones.

La teoría de Ehrhart es la base fundamental de los politopos utilizando combinatoria y demas resultados matematicos.

Los politopos son utilizados en diferentes areas de las matematicas abarcan desde la geometria algebraica, la combinatoria hasta la optimización. Siendo una pieza esencial de la matema´tica moderna.

La geometria de los politopos juega un papel muy importante en las matemáticas tales como la clasificacion de los politopos regulares, y los grupos semisimples .