transformaciones geométricas

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS I

Traslación Giro Simetría axial Simetría central Homotecia Semejanza Equivalencia Afinidad

Transformaciones Isométricas: son las que conservan las medidas y los ángulos.(giros, traslaciones y simetrías).

Transformaciones Geométricas

Transformaciones Isomórficas: son las que conservan la forma pero no necesariamente las medidas.(homotecias y semejanzas).

Son el conjunto de operaciones geométricas que permiten obtener una figura plana a partir de otra dada. Es una correspondencia biunívoca entre dos puntos del plano: A A.

Transformaciones Anamórficas: no conservan ni la forma ni las longitudes (equivalencia, afinidad, inversión). Transformaciones Directas: conservan el sentido de los puntos en el plano. Transformaciones Indirectas: no conservan el sentido de los puntos en el plano. Elementos Dobles: son los elementos que se transforman en ellos mismos.

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TRASLACIÓN

Es aquella transformación geométrica que permite obtener una figura F´ a partir de otra F dada aplicando a todos sus puntos un desplazamiento igual, de la misma magnitud, dirección y sentido. Para realizar la traslación de un elemento gráfico, necesitamos conocer el vector de dirección y la magnitud de la traslación. La traslación es una transformación isométrica e isomórfica: el resultado es exactamente igual que el elemento gráfico original, solo que en otro lugar.

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es aquella transformación geométrica que permite obtener una figura F´ a partir de otra F dada aplicando a todos los puntos de ésta un giro igual, de la misma amplitud y en el mismo sentido.

GIRO

Es una transformación isomórfica e isométrica, porque se mantienen todas las dimensiones, ángulos y formas, pero cambian de posición.

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SIMETRÍA AXIAL

Es aquella transformación geométrica que permite obtener una figura F´ a partir de otra F dada, de modo que a cualquier punto de ésta le corresponde otro punto de F´ situado al otro lado de un eje de simetría, a la misma distancia de éste y perpendicularmente a él. Es una transformación isométrica e isomórfica porque el elemento gráfico mantiene sus dimensiones y ángulos, pero la figura aparece como un reflejo con respecto al eje.

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Simetría central

Simetría desde un punto O es aquella transformación geométrica que permite obtener una figura F´ a partir de otra F dada de tal forma que a cada punto de ésta le corresponde otro punto de F´ situado al otro lado del centro de simetría O, a la misma distancia y alineados con éste. La transformación es isométrica e isomórfica, porque conserva sus dimensiones, ángulos y forma, pero aparece reflejada con respecto al centro de simetría como si fuera un giro de 180º.

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Homotecia

Dado un centro de Homotecia, a cada punto del plano le corresponde otro punto, siendo la razón de sus distancias al centro un valor constante que denominamos Razón de la homotecia (K). Los puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de la homotecia, y situados en la misma dirección respecto de éste cuando el valor K es positivo, ó en direcciones opuestas si K es negativo. Las rectas homotéticas siempre son paralelas. Los segmentos homotéticos son paralelos y proporcionales. Los ángulos homotéticos son iguales. Dos circunferencias son siempre homotéticas, siendo los centros de homotecia directa e inversa los puntos donde las rectas tangentes cortan la recta que pasa por los centros.

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Semejanza

Es el producto de una homotecia por un movimiento, o dicho de otra manera: el resultado se traslada o se gira, o incluso puede ser simétrico del original.

Se dice también que una semejanza es una homotecia en la que no se aportan datos, como el centro de homotecia o la razón: puede ser que tengamos que obtener una figura semejante que cumpla determinada condición o que ocupe un espacio concreto.

Razón de semejanza 3/2

Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Propiedades

1. Reflexiva: toda figura es semejante a sí misma
2. Simétrica: Si una figura es semejante a otra, ésta lo es a la 1ª
3. Transitiva: Si una figura es semejante a otra, y ésta a una 3ª, la 1ª lo es a la 3ª.

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Equivalencia

Es una transformación geométrica anamórfica, en la que dos figuras son equivalentes cuando tienen el mismo área. Se aplican fórmulas en función de la figura origen y la que se pretende. La fórmula del área de los triángulos es base por altura dividido entre 2. Si se conservan las dimensiones de la base y de la altura, se obtiene la equivalencia. Por norma general si triangulamos cualquier polígono regular o irregular, podemos obtener un triángulo final de mismo área. En el caso de los paralelogramos, la fórmula para el área es base por altura, así que para hallar el equivalente de un paralelogramo se debe respetar la altura siempre. Para hallar un cuadrado equivalente a un rectángulo, nos basamos en el teorema de la altura y la media proporcional. Para hallar un cuadrado equivalente a un polígono regular, sabiendo que el área de un polígono regular es igual al semiperímetro por la apotema, obtenemos la raid cuadrada de ambos, o dicho de otra manera: su media proporcional. En el caso de una circunferencia, debemos rectificar la semicircunferencia, y hallar la media proporcional entre el radio y la semicircunferencia. El resultado es el lado del cuadrado equivalente.

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afinidad

Es una transformación geométrica anamórfica, ya que no mantiene ni la forma ni las dimensiones. Se trata de un tipo de homología con centro situado en el infinito, por lo que todos los rayos de proyección serán paralelos. La afinidad conserva los paralelismos, las proporciones entre segmentos y también conserva las areas. La afinidad siempre cumple que dos puntos afines están alineados, y que las rectas afines se cortan siempre en una recta que es el eje de afinidad. Los elementos de la afinidad son el eje, que es el lugar geométrico de los puntos dobles o que son afines a ellos mismos, y es donde se cortan las rectas afines; y una dirección de afinidad, que es la dirección que siguen las líneas formadas por puntos afines. La dirección puede ser perpendicular al eje, y se denomina afinidad ortogonal, o puede ser oblicua, que son el resto de los casos.

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