Desarrollo histórico y epistemológico de la derivada, vista desde la razón de cambio
Desarrollo histórico
El concepto de derivada tuvo un largo camino histórico. Fue un concepto que no se construyó rápidamente, sino que fue desarrollado a lo largo de varios siglos. Un primer concepto que llevó a la razón de cambio, fue precisamente el estudio entre razones y proporciones, el cual fue desarrollado inicialmente por los Griegos con trabajos geométricos.
Pitágoras (540 a. C )
Euclides de Alejandría (300 aC)
Arquimedes (287-212 aC)
Jordano de Nemorario (¿?– 1237 dC)
Nicolas de Oresmes (1323 - 1382 dC)
“Todo lo que varía, se sepa medir o no, (escribia Oresmes), lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo"
Galileo Galilei (1564 - 1642 dC)
Rene Descartes (1596 - 1650 dC)
Toda curva se puede repesentra mediente una ecuacion y toda ecuacion tiene su curva
f(x+e)-f(x)
Pierre Fermat (1601 - 1665 dC)
Isaac Newton 1643 - 1721 dC)
Gottfried Leibniz 1646 - 1716)
Línea de tiempo
Acontecimientos importantes para el Desarrollo de la derivada(Prácticas matemáticas - intuición y formalización)
GALILEO GALILEI (1564 d.C - 1642 d. C)
Abordo problemas de velocidad desde una perspectiva geométrica, donde para él las magnitudes se podían representar mediante segmentos.
¿En quien se basó Galileo ?
Pitágoras : Razones directas entre cantidades directas.
Thales de Mileto : Proporción entre medidas.
Euclides : Razón en cuanto al tamaño de las magnitudes del mismo tipo.
Teorema I, Proposición I: El tiempo en el cual un espacio dado es recorrido por un móvil que parte del reposo con movimiento uniformemente acelerado, es igual al tiempo en el que aquel mismo espacio habría sido recorrido por el mismo móvil con un movimiento uniforme cuyo grado de velocidad fuese la mitad del grado de velocidad máximo alcanzado al final del movimiento uniformemente acelerado precedente. (Galilei, 1974, pág. 292).
Donde el segmento CD es la magnitud para distancia, y el segmento AB es la magnitud para el tiempo. Aquí descartes relaciona la velocidad que llevaba un cuerpo en una distancia (CD) y un tiempo (AB). La velocidad instantánea que presentaba Galileo son todas esas rectas perpendiculares a AB, entonces como el habla de movimiento acelerado, es natural pensar que conforme aumente el tiempo (AB), estas rectas (que representan la velocidad), sean más grandes. En este sentido la recta EB, es la velocidad máxima que alcanza el cuerpo, y la recta AE, sirve para hallar las velocidades instantáneas.
Al final Galileo menciona: El triángulo AEB describe un movimiento acelerado del grave y el rectángulo AGFB describe un movimiento de velocidad constante BF (BE/2) y que sucede en el mismo tiempo que el anterior. Sobre el área del triángulo AEB podemos inferir que es igual al área de rectángulo AGFB.
Formalización e Intuición de Galileo
Intuición
Los problemas de la física, pueden tener un desarrollo matemático, lo que hoy llamaríamos como matematizar una situación. Él lo hace desde la geometría plana de la época, donde representa a las magnitudes por medio de segmentos. Desde allí establece las relaciones que encuentra y hace conjeturas.
Formalización e Intuición de Galileo
Fomalización
De acuerdo a las relaciones que él encuentra entre las magnitudes. Por ejemplo en la imagen anterior, el considera los segmentos de la siguiente manera: CD = Distancia, EB = La velocidad máxima, AB = Tiempo. Por lo cual puede trazar la magnitud de aceleración AE dónde puede determinar en cualquier punto una velocidad instantánea.
El hace una relación entre conceptos geométricos (razones, proporciones, ángulos), con conceptos de movimiento (un cuerpo que acelera uniformemente, tendrá una velocidad que aumente uniformemente también), por eso el puede hacer este tratamiento desde una perspectiva geométrica, ya que las razones que hay entre las velocidades instantáneas que propone, se pueden construir gracias a las dos rectas de tiempo (AB) y de aceleración (AE), usando al parecer el teorema de tales.
Réne Descartes (1596 d.C - 1650 d.C
Implementó la notación matemática cartesiana, y le dió el significado y la importancia que tiene la notación sencilla, pues "a las cosas que no requieren mucha atención es mejor designarlas por medio de signos que por figuras completas, pues así el pensamiento no se distraerá al retenerlas cuando necesite deducir otras"..
Descartes tomó en cuenta a:
Jordano Nemorario : Razón entre "trayecto recorrido" y la "subida realizada".
Galileo : Razón y proporción entre velocidad y camino recorrido, además ver el mundo en cantidades medibles como el tiempo, la distancia, la fuerza y la masa.
Nicolas oresmes : geometría para representar magnitudes variantes.
De esta manera con una letra simbolizaba cada línea (a, b) y de esta forma se podrían sumar (a+b), restar (a-b), multiplicar (ab), dividir (a/b), potenciar (aa ó a^2) y sacar raíz(√a+b) a las diferentes líneas. De la misma forma, Descartes abrió pasó a las diferentes potencias diferentes a a^2 (cómo lado de un cuadrado) y a^3 (cómo arista de un cubo), pues ya no era necesaria verlas en figuras geométricas sino que se podían operar de diferentes maneras, es decir, Descartes superó la dependencia de las figuras en la geometría de los antiguos y la falta de transparencia del álgebra de los modernos.
Formalización e Intuición de Descartes
Intuición
Las representaciones de las curvas en el plano siempre fue algo que se trabajó desde la geometría, desde las civilizaciones antiguas que intentaban hallar la recta tangente a una curva. La idea que tuvo Descartes fue la de representar todas las construcciones bajo un mismo esquema. Es una idea intuitiva, pues lo que él buscó fue una manera de generalizar muchísimos procesos, usando coordenadas en el plano. Crear una unidad común a todas las representaciones.
Formalización e Intuición de Descartes
Formalización
La idea que tuvo fue intuitiva, ya las reglas o formas que desarrolló sí son un proceso de formalización, ya que unió muchos conceptos matemáticos de la época para hablar de esta representación cartesiana. La frase que usó en su libro de geometría: "a las cosas que no requieren mucha atención es mejor designarlas por medio de signos que por figuras completas, pues así el pensamiento no se distraerá al retenerlas cuando necesite deducir otras” ya tiene de por sí un pensamiento formal, pues se está basando en la representación que propone y además reconoce que no es necesario trabajar con cantidades específicas, sino que en el plano esto puede varias.
Newton tomó en cuenta a:
Descartes : simplificación del lenguaje matemático para priorizar objetivos.
Arquimedes : Derivar fórmulas para el área y el volumen.
Isaac Newton (1642 d.C. - 1727 d. C)
Método de fluxiones.
Newton inicia con su explicación a partir de un ejemplo particular, que está dada a partir de esta imagen: Dónde: AD es la curva
AB=x
BD=y
Lo que Newton pretende es hallar el valor de y. Primero considera un caso particular: z=x3 y dice:
Bb = o, si (o) disminuye, entonces bd, se acercara a (y).
BK=v
Luego Newton dice que si (x) tiene un incremento, es decir (x+o), entonces la ecuación de la curva Ad, estaría dada de la siguiente forma: z(x+o) = x^3 + 3x^2 o + 3xo^2 + o^3.
Lo que sigue es considerar el cambio que hay entre (x) y (x+o):
En este punto Newton dice que el área de (ov), es igual a 3x^2 o + 3xo^2 + o^3, esto para que BbdD=BbHK.
Si se considera que el punto b se mueve acercándose a B, es decir que (o) se hace cada vez más pequeño (que tiende a cero), entonces (v), también se irá acercando a Y, hasta el punto de ser iguales. Y como (o) sería igual a cero, entonces se cancelarían los términos que se multipliquen por (o):
De este procedimiento, se dieron estas dudas:
Formalización e intuición en el desarrollo de Newton.
Intuición
Newton parte de una representación geométrica, que pretende explicar un ejemplo particular sobre hallar la fluxión de una fluente luego de unos razonamientos matemáticos, logra definirla. El proceso intuitivo está en la idea que tiene de aproximar dos puntos sobre una recta hasta convertirlos en el mismo punto, lo que hoy diríamos como “tiende a “. En primer lugar es intuitivo porque es una idea que no estaba establecida en la comunidad matemática, y en segundo lugar porque esa idea es lo que le permite llegar a la conclusión que escribe.
Formalización e intuición en el desarrollo de Newton.
Formalización
Su idea intuitiva de lo que podría pasar si hacemos algo infinitamente cercano a cero, es lo que le permitió llegar a la conclusión que presentó. Que si algo es casi cero, entonces podemos prescindir de ese valor
conclusiones
La derivada tuvo un largo camino para llegar a ser lo que es hoy en día. Como vemos aborda muchos términos matemáticos, como razones, geometría, tangencia, cambio, movimiento. En este trabajo pretendemos centrarnos en lo que está relacionado con la razón de cambio, lo cual resultó difícil ya que como vemos esta concepción se relaciona mucho con las nociones de tangentes a una curva. Faltaron muchos matemáticos por mencionar que contribuyeron en este desarrollo, como Tales de mileto, Lagrange, Cauchy… Principalmente este último que le dio rigor al trabajo con la derivada, dando a conocer definiciones y demostraciones más precisas, las cuales son las bases del cálculo actual.
¡Gracias!
Desarrollo histórico y epistemológico de la derivada razón de cambio
kmiloamado123
Created on November 23, 2020
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Desarrollo histórico y epistemológico de la derivada, vista desde la razón de cambio
Desarrollo histórico
El concepto de derivada tuvo un largo camino histórico. Fue un concepto que no se construyó rápidamente, sino que fue desarrollado a lo largo de varios siglos. Un primer concepto que llevó a la razón de cambio, fue precisamente el estudio entre razones y proporciones, el cual fue desarrollado inicialmente por los Griegos con trabajos geométricos.
Pitágoras (540 a. C )
Euclides de Alejandría (300 aC)
Arquimedes (287-212 aC)
Jordano de Nemorario (¿?– 1237 dC)
Nicolas de Oresmes (1323 - 1382 dC)
“Todo lo que varía, se sepa medir o no, (escribia Oresmes), lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo"
Galileo Galilei (1564 - 1642 dC)
Rene Descartes (1596 - 1650 dC)
Toda curva se puede repesentra mediente una ecuacion y toda ecuacion tiene su curva
f(x+e)-f(x)
Pierre Fermat (1601 - 1665 dC)
Isaac Newton 1643 - 1721 dC)
Gottfried Leibniz 1646 - 1716)
Línea de tiempo
Acontecimientos importantes para el Desarrollo de la derivada(Prácticas matemáticas - intuición y formalización)
GALILEO GALILEI (1564 d.C - 1642 d. C)
Abordo problemas de velocidad desde una perspectiva geométrica, donde para él las magnitudes se podían representar mediante segmentos.
¿En quien se basó Galileo ?
Pitágoras : Razones directas entre cantidades directas.
Thales de Mileto : Proporción entre medidas.
Euclides : Razón en cuanto al tamaño de las magnitudes del mismo tipo.
Teorema I, Proposición I: El tiempo en el cual un espacio dado es recorrido por un móvil que parte del reposo con movimiento uniformemente acelerado, es igual al tiempo en el que aquel mismo espacio habría sido recorrido por el mismo móvil con un movimiento uniforme cuyo grado de velocidad fuese la mitad del grado de velocidad máximo alcanzado al final del movimiento uniformemente acelerado precedente. (Galilei, 1974, pág. 292).
Donde el segmento CD es la magnitud para distancia, y el segmento AB es la magnitud para el tiempo. Aquí descartes relaciona la velocidad que llevaba un cuerpo en una distancia (CD) y un tiempo (AB). La velocidad instantánea que presentaba Galileo son todas esas rectas perpendiculares a AB, entonces como el habla de movimiento acelerado, es natural pensar que conforme aumente el tiempo (AB), estas rectas (que representan la velocidad), sean más grandes. En este sentido la recta EB, es la velocidad máxima que alcanza el cuerpo, y la recta AE, sirve para hallar las velocidades instantáneas.
Al final Galileo menciona: El triángulo AEB describe un movimiento acelerado del grave y el rectángulo AGFB describe un movimiento de velocidad constante BF (BE/2) y que sucede en el mismo tiempo que el anterior. Sobre el área del triángulo AEB podemos inferir que es igual al área de rectángulo AGFB.
Formalización e Intuición de Galileo
Intuición
Los problemas de la física, pueden tener un desarrollo matemático, lo que hoy llamaríamos como matematizar una situación. Él lo hace desde la geometría plana de la época, donde representa a las magnitudes por medio de segmentos. Desde allí establece las relaciones que encuentra y hace conjeturas.
Formalización e Intuición de Galileo
Fomalización
De acuerdo a las relaciones que él encuentra entre las magnitudes. Por ejemplo en la imagen anterior, el considera los segmentos de la siguiente manera: CD = Distancia, EB = La velocidad máxima, AB = Tiempo. Por lo cual puede trazar la magnitud de aceleración AE dónde puede determinar en cualquier punto una velocidad instantánea.
El hace una relación entre conceptos geométricos (razones, proporciones, ángulos), con conceptos de movimiento (un cuerpo que acelera uniformemente, tendrá una velocidad que aumente uniformemente también), por eso el puede hacer este tratamiento desde una perspectiva geométrica, ya que las razones que hay entre las velocidades instantáneas que propone, se pueden construir gracias a las dos rectas de tiempo (AB) y de aceleración (AE), usando al parecer el teorema de tales.
Réne Descartes (1596 d.C - 1650 d.C
Implementó la notación matemática cartesiana, y le dió el significado y la importancia que tiene la notación sencilla, pues "a las cosas que no requieren mucha atención es mejor designarlas por medio de signos que por figuras completas, pues así el pensamiento no se distraerá al retenerlas cuando necesite deducir otras"..
Descartes tomó en cuenta a:
Jordano Nemorario : Razón entre "trayecto recorrido" y la "subida realizada".
Galileo : Razón y proporción entre velocidad y camino recorrido, además ver el mundo en cantidades medibles como el tiempo, la distancia, la fuerza y la masa.
Nicolas oresmes : geometría para representar magnitudes variantes.
De esta manera con una letra simbolizaba cada línea (a, b) y de esta forma se podrían sumar (a+b), restar (a-b), multiplicar (ab), dividir (a/b), potenciar (aa ó a^2) y sacar raíz(√a+b) a las diferentes líneas. De la misma forma, Descartes abrió pasó a las diferentes potencias diferentes a a^2 (cómo lado de un cuadrado) y a^3 (cómo arista de un cubo), pues ya no era necesaria verlas en figuras geométricas sino que se podían operar de diferentes maneras, es decir, Descartes superó la dependencia de las figuras en la geometría de los antiguos y la falta de transparencia del álgebra de los modernos.
Formalización e Intuición de Descartes
Intuición
Las representaciones de las curvas en el plano siempre fue algo que se trabajó desde la geometría, desde las civilizaciones antiguas que intentaban hallar la recta tangente a una curva. La idea que tuvo Descartes fue la de representar todas las construcciones bajo un mismo esquema. Es una idea intuitiva, pues lo que él buscó fue una manera de generalizar muchísimos procesos, usando coordenadas en el plano. Crear una unidad común a todas las representaciones.
Formalización e Intuición de Descartes
Formalización
La idea que tuvo fue intuitiva, ya las reglas o formas que desarrolló sí son un proceso de formalización, ya que unió muchos conceptos matemáticos de la época para hablar de esta representación cartesiana. La frase que usó en su libro de geometría: "a las cosas que no requieren mucha atención es mejor designarlas por medio de signos que por figuras completas, pues así el pensamiento no se distraerá al retenerlas cuando necesite deducir otras” ya tiene de por sí un pensamiento formal, pues se está basando en la representación que propone y además reconoce que no es necesario trabajar con cantidades específicas, sino que en el plano esto puede varias.
Newton tomó en cuenta a:
Descartes : simplificación del lenguaje matemático para priorizar objetivos.
Arquimedes : Derivar fórmulas para el área y el volumen.
Isaac Newton (1642 d.C. - 1727 d. C)
Método de fluxiones. Newton inicia con su explicación a partir de un ejemplo particular, que está dada a partir de esta imagen: Dónde: AD es la curva AB=x BD=y
Lo que Newton pretende es hallar el valor de y. Primero considera un caso particular: z=x3 y dice: Bb = o, si (o) disminuye, entonces bd, se acercara a (y). BK=v
Luego Newton dice que si (x) tiene un incremento, es decir (x+o), entonces la ecuación de la curva Ad, estaría dada de la siguiente forma: z(x+o) = x^3 + 3x^2 o + 3xo^2 + o^3.
Lo que sigue es considerar el cambio que hay entre (x) y (x+o):
En este punto Newton dice que el área de (ov), es igual a 3x^2 o + 3xo^2 + o^3, esto para que BbdD=BbHK.
Si se considera que el punto b se mueve acercándose a B, es decir que (o) se hace cada vez más pequeño (que tiende a cero), entonces (v), también se irá acercando a Y, hasta el punto de ser iguales. Y como (o) sería igual a cero, entonces se cancelarían los términos que se multipliquen por (o):
De este procedimiento, se dieron estas dudas:
Formalización e intuición en el desarrollo de Newton.
Intuición
Newton parte de una representación geométrica, que pretende explicar un ejemplo particular sobre hallar la fluxión de una fluente luego de unos razonamientos matemáticos, logra definirla. El proceso intuitivo está en la idea que tiene de aproximar dos puntos sobre una recta hasta convertirlos en el mismo punto, lo que hoy diríamos como “tiende a “. En primer lugar es intuitivo porque es una idea que no estaba establecida en la comunidad matemática, y en segundo lugar porque esa idea es lo que le permite llegar a la conclusión que escribe.
Formalización e intuición en el desarrollo de Newton.
Formalización
Su idea intuitiva de lo que podría pasar si hacemos algo infinitamente cercano a cero, es lo que le permitió llegar a la conclusión que presentó. Que si algo es casi cero, entonces podemos prescindir de ese valor
conclusiones
La derivada tuvo un largo camino para llegar a ser lo que es hoy en día. Como vemos aborda muchos términos matemáticos, como razones, geometría, tangencia, cambio, movimiento. En este trabajo pretendemos centrarnos en lo que está relacionado con la razón de cambio, lo cual resultó difícil ya que como vemos esta concepción se relaciona mucho con las nociones de tangentes a una curva. Faltaron muchos matemáticos por mencionar que contribuyeron en este desarrollo, como Tales de mileto, Lagrange, Cauchy… Principalmente este último que le dio rigor al trabajo con la derivada, dando a conocer definiciones y demostraciones más precisas, las cuales son las bases del cálculo actual.
¡Gracias!