Math-4ème

Cours de

Mathématiques 4ème

Mme Letroye

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Trigonométrie

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Les fonctions

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Trigonométrie

Le cercle trigonométrique et les nombres trigonométriques

Théorème de Pythagore généralisé (Al-Kashi) et les triangles quelconques

Les angles associés

Index

Le cercle trigonométrique

Caractéristiques

• Centre = origine du repère
• Rayon = 1
• Orienté positivement dans le sens contraire anti-horlogique

Chaque angle orienté...

• a son sommet en O
• a un côté confondu avec la partie positive de l’axe Ox
• est orienté dans le sens + s’il est + et inversément

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Résumé

Les angles associés

Angles supplémentaires

Angles anti-supplémentaires

Angles opposés

Angles complémentaires

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Résumé

Angles anti-supplémentaires

Angles supplémentaires

Angles opposés

Angles complémentaires

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Les triangles quelconques

Théorème de Pythagore généralisé

Règle des sinus

Formules des aires

Exercice 1

Exemple 1

Exercice 2

Exemple 2

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Les fonctions

Notion de fonction

Domaine et image

Représentation graphique

Fonctions de référence

Fonctions associées

Caractéristiques

Index

Notion de fonction

En math, une fonction est une «machine» ou une «chaine de machines» qui transforme un nombre d'entrée (l'antécédent : x) en un nombre de sortie (l'image : y=f(x))

Une fonction de la variable x est un outil mathématique qui fait correspondre au nombre x un unique nombre y=f(x).

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Fonction et relation : quand a-t-on une fonction?

Par définition, une fonction f d'un ensemble A vers un ensemble B est une relation de A vers B qui, à tout élément de A, associe au plus un élément de B (c'est-à-dire zéro ou un élément de B). Pour savoir si le graphique est une fonction ou une relation, nous devons regarder si pour chaque valeur de x, il n’y a qu’un seul y.

Exercice

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Domaine de définition et image d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction f correspond à l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable x L'image d'une fonction f correspond à l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable y

Exercice

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Caractéristiques de fonctions

Racine (zéro) et ordonnée à l'origine

Périodicité

Signe d'une fonction

Point d'inflexion

Asymptote

Croissance et extremums

Parité

Exercices

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Racine (zéro) et ordonnée à l'origine

Les zéros (ou racines) d'une fonction f sont les valeurs de x telles que f(x) = 0. Graphiquement, il s'agit du (des) point(s) d’intersection du graphique de la fonction avec l’axe Ox. Algébriquement, pour trouver les zéros d’une fonction, on résout l’équation f(x)=y=0. L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point du graphique dont l’abscisse égale 0. Graphiquement, ce nombre est l’ordonnée du point du d’intersection du graphique de la fonction avec l’axe Oy Algébriquement, pour trouver l’ordonnée à l’origine, on calcule f(0).

Suite

Caracté.

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Signe d'une fonction

Une fonction f est (strictement) positive pour une valeur x de la variable lorsque f(x) est (strictement) positif. Une fonction f est (strictement) négative pour une valeur x de la variable lorsque f(x) est (strictement) négatif. En pratique, on résume la situation dans un tableau de signes (TDS)

Exemple 1 - vidéo

Exercice

Exemple 2 - vidéo

CAracté.

Croissance et décroissance

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I inclus dans son domaine si et seulement si ∀ x1,x2 ∈ I : x1 < x2 → f(x1) ≥ f(x2)

Une fonction f est croissante sur un intervalle I inclus dans son domaine si et seulement si ∀ x1,x2 ∈ I : x1 < x2 → f(x1) ≤ f(x2)

Caracté.

Suite

Maximums et minimums

Une fonction f admet un minimum local en b sur un intervalle I inclus dans son domaine si et seulement si ∀ x ∈ I : f(x) ≥ f(b)

Une fonction f admet un maximum local en a sur un intervalle I inclus dans son domaine si et seulement si ∀ x ∈ I : f(x) ≤ f(a)

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Suite

Tableau de variations

Exercice

En pratique, pour visualiser la croissance ainsi que les maximums et minimums d'une fonction, on utilise un tableau de variations

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Parité

Exercice 1

Vidéo explicative

Exercice 2

Vidéo suite

Exemple

Caracté.

Périodicité

Une fonction f est périodique de période T si et seulement s’il existe un nombre T strictement positif le plus petit possible tel que ∀ x ∈ dom f : f(x) = f(x+T)

Caracté.

Point d'inflexion

La courbe de f(x) admet un point d’inflexion en a si f change de concavité en a.

Caracté.

Asymptotes

Une asymptote esr une droite dont une courbe s'approche de plus en plus, sans jamais l'atteindre. Il existe:

• des asymptotes horizontales de la forme y=k (k∈R)
• des asymptotes verticales de la forme x=k (k∈R)
• des asymptotes obliques de la forme y=mx+p (m,p∈R)

Caracté.

Exercices en ligne

1. Exercice résolu

2. Exercice à compléter

3. Exercice à compléter

4. Exercice à compléter

5. Exercice à compléter

6. Exercice à générer soi-même (avec correction)

Caracté.

Fonctions de référence (fonctions usuelles)

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Suite

Fonction constante

suite

Fonction identité

Suite

Fonction carré

Suite

Fonction racine carrée

Suite

Fonction cube

Suite

Fonction racine cubique

Suite

Fonction inverse

Suite

Fonction valeur absolue

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Fonctions associées

Exercice 1

En cliquant ici, tu vas pouvoir manipuler par toi-même

Exercice 2

Ici aussi

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