Les équations - 2nde

Les équations

Pour avoir accès au cours et aux activités, clique sur les images. Tu peux réaliser l'autoévaluation 1 après avoir travaillé les parties 1, 2, 3, puis l'autoévaluation 2 à la fin du chapitre.

3.

Equation du premier degré à une inconnue ax + b = cx + d

5.

Niveau Expert : se ramener à une équation du 1er degré

1.

Notion d'équation

4.

Equations produit nul AxB=0, quotient nul A/B=0 et équation x²=a

Bilan : Résoudre un problème complet

6.

2.

Mettre un problème en équation

Autoévaluation 2

Toute équation - Problèmes complets

Autoévaluation 1

Modélisation - Equation 1er degré

Entrainements

Accès à tous les entrainements

Partie 1 : Notion d'équation

Définition : Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue pour que l’égalité soit vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation.

Définitions : Une équation est une égalité de deux expressions littérales appelées membres de l’équation. Les lettres de ces expressions littérales sont les inconnues de l’équation.

Exemple :

2b - 3 = 4b + 1 est une équation.

Exemple 1 : -1 est-il solution de l'équation 2b-3=4b+1 ?

Pour b= -1

b est l’inconnue.

2b-3 est le membre de gauche.

On calcule à gauche : 2x(-1) - 3 = -2-3 = -5

On calcule à droite : 4x(-1) + 1 = -4 + 1 = - 3

4b+1 est le membre de droite.

On conclut : le résultat n'est le même dans le membre de gauche et de droite, donc -1 n'est pas solution de l'équation

Correction de l'ex. 2

Exemple 2

Je me teste

Partie 2 : Mettre un problème en équation

Exemple 1:

Tom a reçu 10 sms de moins que Rama et, à eux deux, ils en ont reçu 52. Déterminer le nombre de SMS reçus par chacun d’eux

Pour mettre un problème en équation, on repère dans un premier temps l'inconnue et on la nomme par une lettre.

Etape 1 : Choix de l’inconnue

Soit x le nombre de SMS reçus par Tom.

On écrit ensuite l'égalité entre deux quantités.

Etape 2 : Mise en équation On exprime les informations données dans l’énoncé en fonction de x

Nombre de SMS reçus par Tom : x

Nombre de SMS reçus par Rama : x + 10

Je sais que la somme des deux est égale à 52 donc on peut écrire : x + x + 10 = 52

soit 2x + 10 = 52

Correction de l'ex. 2

Exemple 2

Je me teste

Vidéo exemple

Entrainement

A ton tour !!

Mettre un problème en équation

Video

Dans cette vidéo, Yvan Monka explique comment mettre un problème géométrique en équation.

Sommaire

Cours

Entrainement

Partie 3 : Résoudre une équation du premier degré

Voici un résumé du cours. Pour voir les explications détaillées : Voir la vidéo d'Yvan Monka !

Pour résoudre une équation, on veut isoler les x d'un côté et les nombres de l'autre côté.

On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité par un même nombre.

Pour cela, on additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres de l'égalité.

Exemples :

Exemples :

x – 8 = 4

3x = 12

+8

: 3

x – 8 + 8 = 4 + 8

3x/3 = 12/3

x = 12

La solution se note : S = {12}

x = 4

S = {4}

x/3 = 2

3x = 2x + 2

× 3

-2x

x/3 × 3 = 2 × 3

3x – 2 x = 2x + 2 – 2x

Suivant

x = 6

x = 2

S = {2}

S = {6}

Partie 3 : Résoudre une équation du premier degré

Voici un résumé du cours. Pour voir les explications détaillées : Voir la vidéo d'Yvan Monka !

Niveau 1

On utilise les deux méthodes précédentes pour résoudre des équations plus complexes.

Exemple :

4x + 5 – 3x - 4 = 3x + 2 + x

On réduit

x + 1 = 4x + 2

- 4x

x – 4x = 2 – 1

- 1

Précédent

:(-3)

–3x = 1

Entrainement 1

x = 1/(-3)

Suivant

x = -1/3

La solution se note : S = {-1/3}

Partie 3 : Résoudre une équation du premier degré

Voici un résumé du cours. Pour voir les explications détaillées : Voir la vidéo d'Yvan Monka !

Certaines équations ne sont pas présentées exactement comme les précédentes.

Niveau 2

Il faut parfois développer ou réduire une expression avant d'utiliser les méthodes vues précédemment.

Exemple :

On développe et on enlève les parenthèses de chaque côté.

3 (x - 5 ) = 2– (x + 3)

3x -15 = 2– x – 3

On réduit

3 x - 15 = -1 -x

3x + x = - 1 + 15

Précédent

4x = 14

Plus d'entrainements

Entrainement 2

Entrainement 3Exercice vidéo corrigé

x = 14/4

Sommaire

x = 7/2

La solution se note : S = {7/2}

Exercice corrigé - Résoudre une équation

Video

Dans cette vidéo, Yvan Monka détaille la résolution de plusieurs équations. Met la vidéo sur pause et essaye de résoudre avant de voir la correction.

Sommaire

Cours

Partie 4 : Résoudre une équation produit nul

Voici un résumé du cours. Pour voir les explications détaillées : Voir la vidéo d'Yvan Monka.

Propriété : A x B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0

Exemple :

( 3x - 3 )( 2x + 5 ) = 0 Cette équation équivaut à : 3x - 3 = 0 ou 2x + 5 = 0 3x = 3 2x=-5 x = 1 x = -5/2

L'ensemble des solutions est S = {-5/2 ; 1}

Suivant

Partie 4 : Résoudre une équation quotient nul

Voici un résumé du cours. Pour voir les explications détaillées : Voir la vidéo d'Yvan Monka !

Propriété : A/B = 0 équivaut à A = 0 ET B ≠ 0

Exemple :

(3x-9)/(x+1)=0 Cette équation équivaut à : 3x-9 = 0 et x+1≠0 x=9/3=3 x ≠ -1

L'ensemble des solutions est S = {3}

Précédent

Suivant

Partie 4 : Résoudre une équation de type x² = a

Voici un résumé du cours. Pour voir les explications détaillées : Voir la vidéo d'Yvan Monka !

Propriétés : a désigne un nombre réel. - Si a > 0 alors l'équation x²=a admet exactement deux solutions : √a et-√a - Si a = 0 alors l'équation x² = 0 a une seule solution : x=0 - Si a < 0 alors l'équation x² = a n'admet aucune solution.

Exemple 2 :

Exemple 1 :

x² = 3 3 > 0 donc x = √3 ou x = -√3 S = {-√3 ;√3}

Entrainement 4

Plus d'entrainements

Précédent

Entrainement : Mise en équation

Problème 1

Problème 2

Problème 3

Problème 4

Cours

Problème 5

Sommaire

Entrainements divers : Résoudre une équation

Entr. 3 (Lien)

Equations1er degré Niveau 1

Problème 1

Equations1er degré Niveau 2

Entr. 4 Lien à suivre

Cartes corrigées

Cartes corrigées

EquationsAxB=0 A/B=0 x²=a

Entr. 2 (Lien)

Entr. 3 Lien à suivre

Entr. 2

Entr. 2

Problème 1

Cartes corrigées

Entr. 3

Entr. 4

Revoir les exemples

Equationsniveau expert

Sommaire

Cartes corrigées

Partie 5 : Se ramener à une équation connue

Résoudre chaque équation ci-dessous en se ramenant à une équation du 1er degré ou à une équation produit nul.

(2x-1) (x+3) - (2x-1)(3x-1) = 0

(x-1)² - (x-2)² = 0

(x-2) (x+3) = (x-5) (x+1)

5x² = 3x

Coup de pouce

Coup de pouce

Correction

Correction

Correction

Coup de pouce

Correction

Coup de pouce

Plus d'entrainements

Coup de pouce

Coup de pouce

Coup de pouce

Correction

Correction

Correction

Sommaire

Bilan : Résolution de problèmes

Récapitulatif : les étapes de résolution

Problème 2Partage de terrain

Problème 1 Partage d'argent

Problème 3Pris des chaises et tables

Problème 4Géométrie

Problème 5Histoire de fraction

Problème 5Géométrie encore...

Tu as tout terminé ? Va faire l'autoévaluation !

Sommaire

Notion d'équation Est-ce que j'ai compris ?

Commencer

QUIZZ Vocabulaire des équations

1. Quelle est l'expression qu'on peut appeler équation ?

3a + 2 = 0

2a – 1 + 4b

2 × 6 = 3 × 4

Cours

Sommaire

QUIZZ Vocabulaire des équations

2. Quelle est une solution de l'équation 3a + 2 = 11 ?

a = 1

a = 2

a = 3

Cours

Sommaire

QUIZZ Vocabulaire des équations

3. -1 est-il solution de l'équation (3a-1) × 2 = 2a – 10

Non

Oui

On ne peut pas savoir

Cours

Sommaire

QUIZZ Vocabulaire des équations

4. -2 est-il solution de l'équation (3a – 1) × 2 = 2a – 10 ?

Non

Oui

On ne peut pas savoir

Cours

Sommaire

QUIZZ Vocabulaire des équations

5. Quelle est une solution de l'équation 2a + 3 = 10a – 5 ?

a = - 5

a = 1

a = 3,5

Cours

Sommaire

Mettre en équation Est-ce que j'ai compris ?

Commencer

Clique ici pour dessiner

QUIZZ Mettre en équation

• 1. 5(p + 2)
• 2. 5 + 2p
• 3. p (2+5)
• 4. 5/(p+2)

Relie les expressions à l'énoncé

La solution apparait dans 1 minute

5 + 2p

1. Le produit de 5 et de la somme de p et 2

p(2+5)

2. La somme de 5 et du produit de 2 et p

Cours

5 / (2+p)

3. Le produit de p et de la somme de 5 et 2

4. Le quotient de 5 par la somme de 2 et p

5(p + 2)

Sommaire

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QUIZZ Mettre en équation

2. Louisa a une somme d'argent dans sa tirelire. On note x cette somme. Elle donne 5€ à son frère. Quelle expression correspond à la somme d'argent qu'elle possède actuellement ?

x × 5

x + 5

x – 5

x/5

Cours

Sommaire

QUIZZ Mettre en équation

3. Soit x un nombre. Les deux nombres consécutifs à x sont :

x² et x au cube

x + 1 et x + 2

2x et 3x

Cours

Sommaire

QUIZZ Mettre en équation

4. La somme de 3 nombres naturels consécutifs est 366. L'inconnue x est le premier nombre. Quelle équation traduit cet énoncé ?

x + (x + 1) + (x + 2) = 366

3x = 366

x × x × x = 366

Cours

Sommaire

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Problème 5

A résoudre sur le cahier d'exercice

Video

Voici un problème résolu en vidéo par Yvan Monka. Il présente l'énoncé, vous mettez "pause" et résolvez le problème sur votre cahier. Ensuite, remettez la vidéo pour la résolution.

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Equation 1

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Equation 1

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Equation 2 3,5x + 2,5 = -20,3 + 2,5x

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Equation 2

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Equation 3

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Equation 3

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Equation 4

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Equation 4

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Equation 5

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Equation 5

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Equation 6

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Equation 6

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Equation 1

(7x + 14) (- x - 3)= 0

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(7x + 14) (- x - 3)= 0 Cette équation équivaut à : 7x + 14 = 0 ou -x-3 = 0 x = -14/7 -x = 3 x = -2 x = -3 S = {-3; -2}

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Equation 2

x ( x + 1 ) (1 - 2x) = 0

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Retour

x ( x + 1 ) (1 - 2x) = 0 Cette équation équivaut à : x = 0 ou x + 1 = 0 ou 1 - 2x = 0 x = -1 2x = 1 x = 1/2 S = {-1; 0; 1/2}

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Equation 3

( 2x + 1 ) / ( x - 2) = 0

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Retour

( 2x + 1 ) / ( x - 2) = 0 Cette équation équivaut à : 2x + 1 = 0 et x - 2 ≠ 0 x = -1/2 et x≠2 S = {-1/2}

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Equation 4

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Suivant

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Retour

Cette équation équivaut à : x-5 = 0 ou x+6 = 0 et x - 2 ≠ 0 x = 5 ou x = -6 et x≠2 S = {-6; 5}

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Equation 5

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Retour

Cette équation équivaut à : x-2 = 0 ou x+2 = 0 et x - 2 ≠ 0 x = 2 ou x = -2 et x≠2 Donc la solution 2 est impossible. S = {-2}

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Equation 6

4x² = 9

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Equation produit nul A x B =0

Retour

Equations A x B = 0 et x² = a

Retour

Equation produit nul x² = a

Retour

Equation 1

(6x+1)x = (3x+2)(6x+1)

Suivant

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Retour

(6x+1)x = (3x+2)(6x+1) On rassemble les termes, on factorise pour obtenir une équation produit nul: (6x+1)x - (3x+2)(6x+1) = 0 (6x+1)(x-(3x+2))=0 (6x+1)(x-3x-2)=0 (6x+1)(-2x-2)=0 6x+1 = 0 ou -2x-2 = 0 x = -1/6 x= 2/(-2)= -1 S = {-1; -1/6}

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Equation 2

(2x-1)²=(x+2)²

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Suivant

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Retour

(2x-1)²=(x+2)² On rassemble les termes, on factorise en utilisant l'IR A²-B²=(A-B)(A+B) pour obtenir une équation produit nul: (2x-1)²-(x+2)²=0 (2x-1-(x+2))(2x-1+(x+2))=0 (2x-1-x-2)(2x-1+x+2) = 0 (x-3)(3x+1)=0 x+3 = 0 ou 3x+1 = 0 x = -3 x= -1/3 S = {-3; -1/3}

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Equation 3

3x(x²+1)=x²(x²+1) Transformer cette équation en équation produit nul puis résoudre

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Retour

3x(x²+1)=x²(x²+1) On rassemble les termes, on factorise par (x²+1) pour obtenir une équation produit nul: 3x(x²+1) - x²(x²+1) = 0 (x²+1)(3x-x²) = 0 On factorise encore le deuxième facteur par x : (x²+1) x(3 - x) = 0 On obtient bien une équation produit nul . Donc on a : x²+1= 0 ou x = 0 ou 3-x = 0 x²= -1 x = 0 x = 3 Comme -1<0 alors x²=-1 n'a pas de solution. S = {0;3}

Cliquer pour retourner

Retour

Problème 1 : partage d'argent

A résoudre dans ta partie Exercices

On veut partager 26 000 € entre 3 personnes pour que la deuxième personne ait 2 000 € de plus que la première et pour que la troisième ait 3 000 € de moins que la première. Combien d'argent recevront chacune des personnes ?

Commencez par mettre ce problème en équation, résoudre l'équation, puis donnez la conclusion.

Problème suivant

Correction

Coup de pouce : mise en équation

Coup de pouce : résolution de l'équation

Retour

Problème 2 : Partage de terrain

A résoudre dans ta partie Exercices

Problème précédent

Problème suivant

Correction

Coup de pouce : mise en équation

Coup de pouce : résolution de l'équation

Retour

Problème 3 :

A résoudre dans ta partie Exercices

Pour équiper une classe, on achète 30 tables et 30 chaises. Une table coûte 44 € de plus qu’une chaise. La dépense totale est de 2640 €. Calculer le prix d’une chaise

Commencez par mettre ce problème en équation, résoudre l'équation, puis donnez la conclusion.

Problème précédent

Problème suivant

Correction

Coup de pouce : mise en équation

Coup de pouce : résolution de l'équation

Retour

Problème 4 : Géométrie

A résoudre dans ta partie Exercices

Ici l'inconnue est déjà choisie. Mettez ce problème sous la forme d'une équation. Il n'y a plus qu'à résoudre.

Problème précédent

Problème suivant

Correction

Coup de pouce : mise en équation

Coup de pouce : résolution de l'équation

Retour

Problème 5 : Géométrie

A résoudre dans ta partie Exercices

Si j’augmente de 7 cm la longueur de chaque côté d’un carré, l’aire de ce carré augmente de 74 cm². Quelle est l’aire de ce carré ?

Une fois l'inconnue choisie, mettez ce problème sous la forme d'une équation. Il n'y a plus qu'à résoudre.

Problème précédent

Problème suivant

Correction

Coup de pouce : mise en équation

Coup de pouce : résolution de l'équation

Retour

Problème 6 :

A résoudre dans ta partie Exercices

Quel nombre entier faut-il ajouter au numérateur et au dénomnateur de la fraction 3/7 pour obtenir la fraction 7/3 ?

Problème précédent

Retour

Correction

Coup de pouce : mise en équation

Coup de pouce : résolution de l'équation