Mathematika

ZULb

Kurvenuntersuchung

von Tassilo Bullinger

Gliederung

Kurvenuntersuchung

Deffinition

Beispiel

Kurvenuntersuchung

Quellen

inhaltsverzeichnis

Sattelpunkt

Extrempunkt

Deffinition

Kurvenschar

Wendepunkt

Symetrie

Deffinitions undWertebereich

SATTELPUNKT

Graph

Verhalten im Unendlichen

Quellen

Krümmung

Deffinition

Eine Kurvenuntersuchung ist eine mathematische betrachtung von den eigenschaften einer Funktion.

Schritte einer Kurvenunter-suchung

1. DEFINITIONS UND WERTEBEREICH 2. SYMETRIE 3. VERHALTEN IM UNENDLICHEN 4. NULLSTELLEN UND Y-ACHSENABSCHNITT 5. EXTREMPUNKTE 6. WENDEPUNKTE 7. SATTELPUNKTE 8. KRÜMMUNG 9. GRAPH 10. KURVENSCHAR

DEFINITIONS UND WERTEBEREIch

Ableitung

Man leitet die Funktion ab, da man sie bei der Untersuchung der Nullstellen, Extrema und Wendepunkte benötigt. Dazu kann man die Produkt oder Kettenregel anwenden.

Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller x-Werte, für die die Funktion definiert ist.Df ={x E R} Der Wertebereich einer Funktion besteht aus den y-Werte die sie dementsprechend annehmen kann. Wf = {y E R}

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Symetrie

Als nächstes wird die Symmetrie der Funktion untersucht. Die Funktion ist achsensymmetrisch zu Y-Achse, wenn f(x) = f(-x). Die Funktionen f(x) und f(-x) sind ungleich, es liegt somit keine Achsensymmetrie zur Y-Achse vor

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Verhalten im Unendlichen

Um das Verhalten im Unendlichen zu Untersuchen muss man mit dem Limes arbeiten. Damit überprüft man wie sich die Funktion verhält wenn sie sich z.b.: x an unendlich annähert.

EGYPT

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Kurvenuntersuchung

• Y-Achsenabschnitt

• Nullstelle

Für die Nullstelle muss man die Funktion Null setzen.f(x)=0

Steze x = 0 in die Funktion ein um den Schnittpunkt mit der Y Achse zu erhalten.

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• Extrempunkte

• Wendepunkt

Man setzt die zweite Ableitung Null und setzt das Ergebniss in die dritte ein.

Man leitet die Funktion drei mal ab und setzt die erste Ableitung gleich Null. Den x-Wert in die Ausgangsgleichung einsetzen und dann überprüfen ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist indemm man es in die zweite Ableitung ein.

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Krümmung

Graph

Um das Krümmungsverhalten im Graphen an einer bestimmten stelle zu bestimmen nimmt man die zweite ableitung.

Kurvenuntersuchung

kurvenschar

Graph

Sattelpunkt

Man erkennt einen Kurvenschar daran das sie nicht nur eine Gleichungsvariable haben sondern auch eine Formvariable besitzen. Beim Kurvenschar verändert sich die Funktion und kann breiter und schmaler werden oder sich nach oben und unten verschieben.

Der Graph einer Funktion f besteht aus der Menge aller geordneten Paare zu dem jeweils ein x Wert aus der Deffinitionsmenge (D) genommen wird, zu dem genau ein Wert y aus der Wertemenge (W).

Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt, welcher aber nicht das Vorzeichen ändert also ein positiver Anstieg auch nach dem Sattelpunkt vortbesteht.

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Königreich Mathematiker

King

Beispiel

f(x) = 4*x-9*x^3

Lösung

Nullstellen bei -0.667; 0; 0.667 y-Achsenabschnitt bei (0|0) Die Funktion ist Punktsymetrisch zum Koordinaten Ursprung. Erste Ableitung: f´(x) = -27*x^2+4 Zweite Ableitung: f´´(x) = -54x Dritte Ableitung: f´´´(x) = -54 Tiefpunkt (-0.385|-1.026) Hochpunkt (0.385|1.026) Wendepunkte bei (0|0)

Quellen

1. Der Matheunterricht (11 Klasse +)2. Dr. Anton Bigalke, Dr. Norbert Khöler (2019): Mathematik Gymnasiale Oberstufe Qualifikationsphase Leistungskurs 11; 1. Aufl. 1. Druck Verlag Cornelsen, Berlin. 3. http://www.math-grain.de/download/vorkurs/funktionen/1-def-bereich-vk.pdf 4. https://matheguru.com/analysis/kurvendiskussion.html 5. https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/kurvendiskussion/ 6. https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/kurvenschar-berechnen-kurvendiskussion.html 7. https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/sattelpunkt-berechnen.html 8. https://www.mathebibel.de/graph 9. https://www.mathepower.com/kurvendiskussion.php 10. https://www.abiweb.de/mathematik-analysis-1/funktionsuntersuchung-von-e-funktionen-und-scharen/beispiel-einer-funktionsuntersuchung-einer-e-schar/graph-komplexe-e-funktionenschar.html 11. https://www.mathebibel.de/monotonieverhalten

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