funkcje kwadratowe

Funkcje Kwadratowe

Co to jest funkcja kwadratowa?

Funkcja kwadratowa f to funkcja dana wzorem ogólnym: f(x)=ax^2+bx+c gdzie a E R\{0} b,c E R - współczynniki funkcji kwadratowej

Przykłady funkcji kwadratowych

f(x) = 5x^2 + 4x + 5 f(x) = -3x^2 + 5x f(x) = 7x^2+ 8 f(x) = x^2

Każda z powyższych funkcji jest funkcją kwadratową. Jedynym warunkiem jest aby współczynnik przy czynniku x^2 był różny od zera. Pozostałe czynniki b i c mogą być dowolne, w szczególności mogą być zerami.

Funkcja f określona jest wzorem f(x)=5x^2+4x-2. Oblicz wyróżnik tej funkcji.

Odczytujemy z wzoru funkcji wartości kolejnych współczynników: a=5 b=4 c=-2 Obliczamy wyróżnik zgodnie z wzorem: Delta=b^2-4ac =4^2-4* 5 * (-2)=16+40=56 Zatem wyróżnik tej funkcji wynosi Delta=56

Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola, której położenie w układzie współrzędnych zależy od wartości współczynników a,b,c.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci kanonicznej wygląda tak: f(x)=a(x−p)2+q gdzie a,p,q są współczynnikami liczbowymi i a≠0. Współczynniki p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej. Oznaczmy ten wierzchołek przez W=(p,q). Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej, to możemy obliczyć współrzędne p i q ze wzorów: pq=−b2a=−Δ4a Zaletą postaci kanonicznej jest to, że widać z niej od razu współrzędne wierzchołka paraboli. Dodatkowo po współczynniku a możemy określić, czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a>0), czy do dołu (a<0).

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej wygląda tak:f(x)=a(x−x1)(x−x2) W powyższym wzorze a jest współczynnikiem liczbowym, takim, że a≠0. Literki x1 i x2 są miejscami zerowymi funkcji f(x). Uwaga! Jeżeli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to postać iloczynowa nie istnieje. Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej i Δ>0, to możemy obliczyć miejsca zerowe x1 i x2 korzystając ze wzorów: Zaletą postaci iloczynowej jest to, że widać z niej od razu miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Po współczynniku a możemy określić również, czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a>0), czy do dołu (a<0).

WYRÓŻNIK FUNKCJI KWADRATOWEJ

Wyróżnik obliczamy, korzystając ze wzoru:

Symbole a, b oraz c, to współczynniki funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

Równania kwadratowe

W równaniach liniowych niewiadoma x występuje zawsze w pierwszej potędze. W przypadku równań kwadratowych niewiadoma x pojawia się w drugiej potędze, czyli x2

Rozwiązanie równania kwadratowego polega na wyznaczeniu wszystkich liczb, które spełniają dane równanie (czyli po podstawieniu pod x-a dadzą równość prawdziwą). Równania kwadratowe mogą mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.

Nierówności kwadratowe

film nierówności kwadratowe

film równania kwadratowe

filmik

gra