OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

Z1*Z2

Z1+Z2

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

i*i

ÍNDICE

Ejemplos de operaciones

Multiplicación y división

Suma y resta

Patron Emergente

Potencia

Ejemplos potencia

Bibliografía

Casos Especiales

SUMA Y RESTA

Estas operaciones se las realiza de manera sencilla, es decir, sumamos la parte real con la parte real y la parte imaginaria con la parte imaginaria,

Aqui NO se opera entre la parte real e imaginaria. A la derecha pueden ver su formulación. Dados los numeros complejos z1 y z2:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Para la multiplicación se aplica las propiedades de multiplicación de dos binomios, es decir multiplica cada término en el primer número por cada término en el segundo. Aqui la i vas a notar que se eleva al cuadrado, y como i es igual a la raiz cuadrada de -1, entonces solo cambias de signo.

Para la división en cambio el proceso es diferente, en este caso se multiplica tanto al numerador como al denominador por el conjugado del denominador y se opera de manera normal como en la multiplicacion (te van a quedar 2 binomios) y luego simplemente se separa en los terminos reales e imaginarios asi:

EJEMPLOS DE OPERACIONES

Dados z1=4+2i y z2=-3-7iRealizar: 1) Suma 2) Resta 3) Multiplicación 4) División

PROPIEDADES DEL MÓDULO Y DEL CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

1) El conjugado de una suma (o resta) es la suma (o resta) de los conjugados2) El conjugado de un producto es el producto de losconjugados 3) El conjugado de una división es la división de los conjugados. 4) El m ódulo de un producto es el producto de los módulos. 5) El módulo de una división es la división de los módulos 6) la multiplicacion de un numero entero por su conjugado es el cuadrado del módulo 7) El módulo de la suma o resta de dos complejos es menor o igual a la suma de los módulos de cada complejo. 8) El módulo de la suma o resta de dos complejos es mayor o igual a la resta de los módulos de cada complejo. 9) La parte real de un complejo es igual a la mitad de la suma del complejo con su conjugado. La parte imaginaria es la resta en cambio

POTENCIACION DE LA UNIDAD IMAGINARIA

Al ser i la unidad imaginaria y esta a su vez es igual a la raiz cuadrada de -1, ademas que al elevarla al cuadrado esta es igual a -1, entonces para potencias superiores a 3 aplicamos propiedades de los exponentes y usamos los cálculos previos , es decir:

Si nos fijamos hay un patron que se esta repitiendo a partir de la potencia cinco

PATRÓN DE REPETICIÓN

A partir de estas primeras 8 potencias podemos ver que las potencias se realizan en ciclos de secuencias i, -1, -i y 1Por lo que podemos determinar que: Cualquier exponente que sea múltiplo de 4 sera igual a 1 Cualquier exponente que sea múltipo de 5 sera igual a i Cualquier exponente que sea múltiplo de 6 sera igual a -1 Culquier exponente que sea múltiplo de 7 sera igual a -i. Esto lo comprobaremos a continuación con exponentes muy grandes

EJEMPLOS DE POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

CASOS ESPECIALES

Habran exponentes que no sean múltiplos de 4, 5, 6 o 7, para estos casos hay que aplicar propiedades de los exponentes y descomponerlos, es decir si tenemos un exponente 139 y como vemos no es múltiplo de ningún número, entonces lo descompondremos en 136+3, ahora el 136 si es multiplo de 4 entonces podemos calcular facilmente la respuesta así

4+i

BIBLIOGRAFÍA

• Anónimo. (2014). Khan Academy. Obtenido de https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:complex
• Anonimo. (10 de Septiembre de 2020). Wikipedia, La enciclopedia libre. Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo