2.4 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN

ÁLGEBRA LINEAL

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN, ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ. NÚCLEO Y RANGO DE UNA MATRIZ.

álgebra lineal

2.4 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN

MATRICES ELEMENTALES Y OPERACIONES ELEMENTALES POR RENGLONES.

Las tres operaciones elementales sobre renglones aplicadas a las matrices son

1. Intercambio de dos renglones.
2. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero.
3. Sumar el múltiplo de un reglón a otro renglón.

En esta sección usted podrá ver cómo la multiplicación matricial puede emplearse para ejecutar estas operaciones.

EJEMPLO

Las matrices elementales resultan útiles porque permiten usar la multiplicación matricial para realizar operaciones elementales con renglones.

EJEMPLO

En cada uno de los tres productos del ejemplo anterior, usted fue capaz de ejecutar operaciones elementales con renglones para multiplicar por la izquierda por una matriz elemental. Esta propiedad de las matrices elementales se generaliza en el siguiente teorema, el cual se enuncia sin demostrar.

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Muchas aplicaciones de las operaciones elementales con renglones requieren de una secuencia de operaciones. Por ejemplo, la eliminacion gaussiana a menudo precida de varias operaciones elementales con renglones para reducir una matriz. Para matrices elementales, esta secuencia se traduce en la múltiplicación (por la izquierda) por varias matrices elementales. El orden de la multiplicación es importante: la matriz elemental inmediata para la izquierda de A corresponde a la operacion con renglones ejecutada primero. Este proceso se demuestra en el siguiente

EJEMPLO

Las dos matrices en el ejemplo anterior

son equivalentes por renglones

Ya que usted puede obtener B al ejecutar una secuencia de operaciones con renglones en A. Es decir

La definicion de matrices equivalentes por renglones puede ser reexpresada usando matrices elementales de la siguiente manera.

Usted sabe que no todas las matrices cuadradas son invertibles. Sin embargo, toda matriz elemental es invertible. Además la inversa de una matriz elemental es en sí misma una matriz elemental.

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La inversa de una matriz elemental E es la matriz elemental que convierte E de nuevo en . Por ejemplo, puede encontrar la inversa de cada una de las tres matrices elementales mostradas en el ejemplo anterior de la siguiente manera.

Intente utilizar la mutiplicación de matrices para verificar estos resultados.El siguiente teorema establece que todas matriz invertible puede ser escrita como el producto de dos matrices elementales.

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DEMOSTRACIÓN

la frase "si y solo si", significa que el teorema tiene dos partes. En una, usted debe demostrar que si A es invertible, entonces puede escribirse como el producto de matrices elementales. Luego debe demistrat que si A puede ser escrita como el producto de matrices elementales ,entonces es invertible.Para demostrar el teorema en la otra direccion, suponga que A es invertible. Del teorema 2.11 sabe que el sistema de ecuaciones lineales representado por Ax = O tiene solo la solución trivial. Pero esto implica que la matriz aumentada [ A O ] puede reescribirse en la forma [ I O ](usando operaciones elementales con renglones correspondientes Ahora tenemos

Y esto seguido de A puede escribirse como el producto de dos matrices elementales y la

demostración está completa.

Para demostrar el teorema en la otra dirección, asuma que A es el producto de matrices elementales. Entonces debido a que cada matriz elemental es invertible y el producto de matrices invertibles es invertible, se sigue que A es invertible. Esto completa la demostración. La primera parte de esta demostracion se ilustra en el siguiente

EJEMPLO

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El siguiente teorema vincula algunas relaciones im portantes entre matrices de n X n y sistemas de ecuaciones lineales . Las partes esenciales de este Teorema ya han sido demostradas (teoremas 2.11 y 2.14); se deja usted el resto de la demostración.