2.6 Definición de determinante de una matriz.

ÁLGEBRA LINEAL

2.6 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ.

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2.6 Definición de determinante de una matriz.

Determinante de una matriz.

Toda matriz cuadrada puede ser asociada con un número real llamado su determinante. Históricamente, el uso de determinantes surge del reconocimiento de patrones especiales que ocurren en las soluciones de sistemas de ecuaciones. Por ejemplo, la solución general del sistema

Siempre que Observe que las dos fracciones tienen el mismo denominador . Esta cantidad se llama determinante de la matriz de coeficientes del sistema.

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Un método conveniente para recordar la fórmula de un determinante de una matriz de 2 X 2 se muestra en el siguiente diagrama.

El determinante es la diferencia de los productos de dos diagonales de la matriz. Observe que el orden es importante, como se demuestra en el siguiente

EJEMPLO

Menores y Cofactores

Para definir el determinante de una matriz cuadrada de orden mayor que 2 es conveniente la aplicación de las nociones de menores y cofactores.

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Por ejemplo si A, es una matriz de 3 X 3, entonces los menores y los cofactores de y son como se muestra en el diagrama presentado a continuación.

Como puede ver, los menores y cofactores de una matriz puede diferir solo por el signo. Para obtener los cofactores de una matriz, primero encuentre los menores y después aplique el patrón ajedrezado de + y - como se muestra a la izquierda. Observe que las posiciones impares (donde i + j es impar) tienen signos negativos y las pares (donde i + j es par) signos positivos.

EJEMPLO

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El determinante de una matriz cuadrada.

La siguiente definición es llamada inductiva, porque utiliza determinantes de matrices de orde n - 1 para definir el determinante de una matriz de orden n.

Intente verificar que, para matrices de 2 X 2, esta definición da como resultado como lo habiamos definido previamente. Cuando utilice esta definición para evaluar un determinante, use la expansión por cofactores en el primer renglón. Este procedimiento se demuestra en el siguiente

EJEMPLO

Intente otras posibilidades para confirmar que el determinante de A puede evaluarse por la expansion de cualquier renglón o columna. Esto se establece en el siguiente Teorema, Expansión de Laplace de un determinante, nombrado así en honor del matematico francés Pierre Simón de Laplace (1749-1827).

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Cuando expanda por factores no necesita evaluar los cofactores de los elementos nulos debido a que el cofactor de un elemento nulo siempre es cero.

El renglón o columna que contiene mas ceros es a menudo la mejor elección para la expansión por cofactores. Esto es demostrado en el siguiente

EJEMPLO

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Matrices triangulares

Una matriz cuadrada es llamada triangular superior si todos sus elementos bajo la diagonal principal son cero, y triangular inferior si todos sus elementos sobre la diagonal principal son cero. Una matriz que tiene ambas caractristicas es denominada diagonal. Es decir, una matriz ddiagonal es aquella en la que todos los elementos arriba y abajo de la diagonal principal son cero.

Para encontrar el determinante de una matriz diagonal, simplemente formamos el producto de la diagonal principal. Esto es fácil observar que el procedimiento es válido para una matriz de orden 2 ó 3. Por ejemplo, el determinante de

Puede determinarse por la expansión del tercer renglón para obtener

Que es el producto de las entradas de la diagonal principal .

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Demostración

Puede utilizar inducción matemática para demostrar este teorema para el caso en el que A es una matriz triangular superior . El caso en el que A es una matriz singular inferior se demuestra de manera similar. Si A es de orden 1, entonces

y el determinante es Suponiendo que el teorema es válido para cualquier matriz singular superior de orden k-1; considere una matriz triangular superior de orden k. Expandiendo el k-ésimo renglón, obtiene

Ahora observe que donde es el determinante de la matriz triangular superior formada por la supresión del k-ésimo renglón y la k-ésima columna de A. Ya que esta matriz es de orden K - 1, usted puede aplicar la inducción para escribir.

EJEMPLO

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Determinantes y operaciones elementales por renglón.

¡¿Cual de las siguientes determinantes es más facil de evaluar?

Puesto que usted ya sabe acerca del determinante de una matriz triangular, está claro que el segundo determinante es mucho mas facil de evaluar. Este determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal principal es decir .Por otra parte, usar expansión por factores para evaluar el primer determinante es confunso. Por ejemplo si expande por cofactores a lo lo largo del primer renglón tiene

Evaluando los determinantes de esas cuatro matrices de 3 x 3 se obtiene

Note que tienen el mismo valor. De hecho, usted puede obtener la matriz B al realizar operaciones elementales con renglones en la matriz A. En esta sección, verá los efectos de operaciones elementales con renglones (o columnas) en el valor de un determinante.

EJEMPLO

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DEMOSTRACIÓN

EJEMPLO

Determinantes y operaciones operaciones elementales con columnas.

Aunque el teorema 3.3 se establece en términos de operaciones elementales con renglones, se mantiene válido si la palabra "columna" reemplaza el término renglón. Las operaciones realizadas en las columnas (más que en los renglones) de una matriz se denominan operaciones elementales con columnas y dos matrices son llamadas equivalentes por columnas si una puede ser obtenida a partir de la otra por operaciones elementales con columnas. La version del teorema 3.3 para el caso de opeeraciones con columnas se ilustra enseguida.

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EJEMPLO

Al evaluar un determinante a mano, ocasionalmente convendrá usa operaciones elementales con columnas

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Matrices y determinantes cero

En el ejemplo 3 muestra que una de las columnas de la matriz es un múltiplo escalar de otra columna, por lo que puede concluir de inmediato que el determinante de la matriz es cero. Esta es una de tres condicines, listadas enseguida, que generan un determinante cero.

En el ejemplo 4, usted pudo obtener una matriz con un renglón completo de ceros al realizar una operacion elemental con renglones adicional (sumar 2 veces el segundo renglón al tercero). Esto en general es cierto, es decir, una matriz cuadrada tiene un determinante cero si y sólo si uno de estos renglones (o columnas) son equivalentes a una matriz que tiene a l menos un renglón (o columna) formado completamente de ceros. Esto se demostrará en la siguiente sección. Usted tiene ahora dos métodos de reconocimiento para evaluar determinantes. De ellos, el método de aplicar operaciones elementales con renglones o columnas para reducir una matriz a la forma triangular es más rápido que el de expansión por factores a lo largo de un renglón o una columna. Si la matriz es grande, entonces el núnero de operaciones necesarias para una expansión por cofactores puede volverse extremadamente grande. Por esta razón, muchos algoritmos de computadora y de

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calculadora usa el método que aplica operaciones elementales con renglones y columnas. La siguiente tabla muestra el número de sumas (más restas) y las multiplicaciones (más divisiones) necesarias para cada uno de estos dos métodos para matrices de orden 3,5 y 10.

De hecho el número de operaciones para la expansión por cofactores de una matriz n X n es n! Como , inlcuso una matriz relativamente pequeña de 30 x 30 puede requerir de más de operaciones. Si una computadora puede realizar un billon de operaciones por segundo, le tomaria mas de un billón de años luz calcular el determinante de esta matriz aplicando expansión por cofactores. Sin embargo, la reducción de renglones sólo toma algunos segundos. Cuando evalua un determinante a mano, usted puede ahorrarse algunos pasos aplicando operaciones elementales con renglones (o columnas) para formar un renglon (o columna) completamente de ceros excepto en una posición y entonces usar expansión por cofactores para reducir el orden de la matriz a 1. Este planteamiento se ilustra en los dos ejemplos siguientes.