2.2 Operaciones con matrices.

álgebra lineal

OPERACIONES CON MATRICES.

álgebra lineal

2.2 Operaciones con matrices.

Este capitulo introduce algunos fundamentos de teoria de matrices y aplicaciones adicionales de matrices.Por un acuerdo matemático común, las matrices se pueden representar en alguna de las siguientes tres formas:

1. Una matriz puede denotarse por una letra mayuscula como A, B, o C.
2. Una matriz puede denotarse por un elemento representativo escrito entre corchetes
3. Una matriz puede denotarse como por un arreglo rectángular de números

Las matrices en este texto son fiundamentalmente matrices reales. Es decir, sus elementos son números reales. Decimos que dos matrices son iguales si sus elementos correspondientes son iguales.

álgebra lineal

2.2 Operaciones con matrices.

Suma y Resta de Matrices y multiplicacion escalar.

Usted puede sumar dos matrices (del mismo tamaño) sumando sus elemetos correspondiente.

Cuando trabajamos con matrices nos referimos a los numeros reales como escalares. Usted puede multiplicar una matriz A por un escalar c, multiplicando cada elemento de la matriz A por el escalar c.

Podemos utilizar -A para representar el producto escalar (-1) A. Si A y B son del mismo tamaño, entonces A - B representa la suma de A y (-1)B. Es decir A-B =A + (-1) B.

álgebra lineal

2.2 OPERACIONES CON MATRICES.

multiplicación de matrices.

La tercera operacion básica es la multiplicación de matrices. para ver la utilidad de esta operación, considere la siguiente aplicación, en el cual las matrices son de mucha ayuda para organizar información. Un estadio de futbol tiene tres áreas concesionadas para locales comerciales, ubicadas en el sur, norte y oeste del mismo. Los artículos mas vendidos son los cacahuates, los hot dogs y los refrescos. Las ventas para cierto dia son registradas en la primera matriz abajo y los precios (en dólares) de los tres artículos aparecen en la segunda.

Para calcular el total de ventas de los tres productos más vendidos en el local sur, multiplique cada elemento en el primer renglon de la matriz de la izquierda por el precio correspodniete en la matriz columna de la derecha y sume los resultados. Las ventas del local sur son

(120)(2.00)+(250)(3.00)+ (305)(2.75)= $1828.75 Ventas local sur.

De manera similar, calculamos las ventas de los otros dos locales de la siguiente forma.

álgebra lineal

2.2 OPERACIONES CON MATRICES.

(207)(2.00)+(140)(3.00)+(419)(2.75) = $1986.25 Ventas local norte

(29)(2.00)+(120)(3.00)+(190)(2.75) = $940.50 Ventas local oeste

Los cálculos anteriores son ejemplos de la multiplicación de matrices. Usted puede escribir el producto de la matriz 3 X 3 indicando el numero de artículos vendidos y la matriz de 3 X 1 indicando los precios de venta, de la siguiente manera.

El producto de estas matrices es la matriz de 3 X 1, que nos da el total de las ventas por cada uno de los tres locales. La definicion general del producto de dos matrices mostrada abajo, se basa en las ideas recién desarrolladas. A primera vista esta definición puede parecer inusual, no obstante, usted verá mas adelante que tiene muchas aplicaciones prácticas.

álgebra lineal

2.2 OPERACIONES CON MATRICES.

Esta definición significa que el elemento en el i-énesimo renglon y en la j-ésima columna del producto AB se obtiene al multiplicar los elementos del i-ésimo renglon de A por los elementos correspondientes de la j-ésima coliumna de B y luego sumar los resultados. El siguiente ejemplo ilustra este proceso.

Asegurese de entender que el producto de dos matrices está definido cuando el número de columnas de la primer matriz es igual al numero de renglones de la segunda matriz; es decir,

Así, el producto BA de las matrices del ejemplo 4 no está definido. El patrón general de la multiplicación de matrices es el siguiente. Para obtener el elemento del i-énesimo renglón y la j-ésima columna del producto AB, use el i-énesimo renglón de A y la j-ésima columna de B.

EJEMPLOS

álgebra lineal

2.2 OPERACIONES CON MATRICES.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Una aplicación practica de la multiplicacion de matrices es la representacion de un sistema de ecuaciones lineales. Observe cómo el sistema

Puede escribirse como la ecuacion matricial Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes del sistema y x y b son matrices columna.

EJEMPLO

álgebra lineal

2.2 OPERACIONES CON MATRICES.

Partición de matrices.

El sistema Ax = b puede representarse de una forma más conveninete, dividiendo las matrices A y x de la siguiente manera. Si

Son las matrices de coeficientes, la matriz columna de incognitas y la matriz del lado derecho respectivamente, del sistema lineal Ax = b de tamaño m X n , entonces podemos escribir

álgebra lineal

2.2 OPERACIONES CON MATRICES.

donde

son columnas de la matriz A. La expresión

En otras palabras

Se llama combinacion lineal de las matrices columna con

EJEMPLO

álgebra lineal

2.2 OPERACIONES CON MATRICES.

Al dividir A en columnas y X en renglones, se emplea a menudo para reducir una matriz de tamaño m X n a matrices más pequeñas. Por ejemplo, la matriz abajo a la izquierda puede dividirse como se muestra en la matriz a la derecha.