Bloque I Productos Notables

Productos Notables

Se le llama identidad notable o producto notable a un cierto producto que cumple reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

¿Qué son?

Una de las pautas de números más interesantes es el triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés). Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pone números debajo formando un triángulo. Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre 1

Pautas en el triángulo Sumas horizontales ¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hay algún patrón? ¡Es increíble! Se dobla cada vez (son las potencias de 2

Triángulo de Pascal Observa con atención y verás cómo cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio

Pautas en el triángulo Simetría El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda

Cualquier binomio elevado a un exponente mayor a dos se puede resolver de la siguiente manera

Ejemplo:

1.- El primer paso es acomodar los términos del binomio. si observas en el primer término del binomio los exponentes van disminuyendo y en el segundo término del binomio van aumentando

Observa los siguientes ejercicios y determina que características particulares encuentras

Cualquier binomio elevado a un exponente mayor a dos se puede resolver de la siguiente manera

Ejemplo:

El triángulo de pascal es un arreglo de números que permite hallar los coeficientes de expresiones de forma (a±𝑏)^𝑛 donde n es un número natural.

Binomio al cuadrado

Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. Ejemplo:

Representación Geométrica del Cuadrado del Binomio

El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representación geométrica en el plano. Consiste en considerar el área de un cuadrado de lado “a+b“ y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos “a” y “b” :

Representación Geométrica del Cuadrado del Binomio

El resultado de un binomio al cuadrado es llamado: Trinomio Cuadrado Perfecto

A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable :

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

Representación Geométrica del binomios al cubo

A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable binomio al cubo:

“El cubo de la suma de un binomio, es igual al cubo del primer término, más o menos el triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término, más o menos el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, más o menos el cubo del segundo término.”

La estructura que representa esta fórmula es:

Producto de binomios conjugados

Consideremos el producto de la suma de dos términos “ a+b” por su diferencia “a-b”. Al desarrollar el producto: Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

el resultado es llamado diferencia de cuadrados

Producto de binomios conjugados

Binomios con un término en común

Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “a+b” por “ a+c”. Al desarrollar el producto

se observa que la estructura es la siguiente:

La fórmula para el producto de BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN es: “Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”

Ejemplo:

Prod

¿Por qué se dice ʻmás o menosʼen el resultado del binomio por trinomio? La respuesta es que existen dos productos especiales y debes observar muy bien los signos, tanto del binomio como del trinomio, ya que si no cumple el producto con las especificaciones, no podrás obtener la suma o resta de cubos

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

¡Buen día!