Ecuaciones logaritmicas

Presentación

Ecuaciones Logarítmicas

EL ORIGEN DE LOS LOGARITMOS

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El descubrimiento de los logaritmos se produjo en la época de Arquímedes en la comparación de las sucesiones aritméticas con las geométricas. En 1544, , Miguel Stifel publica su libro "Arithmetica íntegra"; en el cual aparece la única tabla de los logaritmos y el cálculo con potencias de exponente racional. Estos dos, son dos precursores de los logaritmos. El método de logaritmos fue propuesto para todo el mundo en 1614, en el libro "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio", de John Napier, en Escocia.

PERSONAJES QUE TUVIERON RELACIÓN CON LA HISTORIA DE LOS LOGARITMOS

El precursor de los logaritmos fue Arquímedes. Empezó comparando las sucesiones aritméticas con las geométricas. La regla de Arquímedes, dice que "para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba dicha suma. "El número o conjunto numérico de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado".

John Napier Dedujo un método sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de adición directa. Fue el inventor de la palabra logaritmo, es decir, nº de razones, pues en el caso de ser el logaritmo un número entero, es el conjunto de factores que se toman de la razón dada (base) para obtener el anti-logaritmo.

Joost Bürgi Fue un relojero y constructor de instrumentos. Se dice que concibió la idea de logaritmo mas pronto que Napier, pero que por falta de material y tiempo no lo dio a conocer. Publicó sus tablas logarítmicas en Praga, en el año 1620. Observó que las propiedades logarítmicas no se extendían solamente sobre la sucesión de potencias de base dos, sino sobre sucesiones con cualquier razón. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs

Henry Briggs Fue un profesor y experto de geometría en la universidad de Oxford. Visitó a Napier en Edimburgo, y juntos llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1.

¿Qué es una ecuación logarítmica?

Son aquellas en las que aparece la incógnita sometida a la operación logaritmo.

DEFINICIÓN

Propiedades de los logaritmos

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Los logarítmos tienen relación con la pontecia.

¡Importante!

Si los logaritmos de dos números con la misma base son iguales, los números también son iguales

Por ejemplo, en el caso:

Aplicamos en el primer miembro la propiedad del logaritmo de una potencia.

Por ejemplo: Debemos tener en cuenta que al resolver este tipo de ecuaciones nos pueden aparecer soluciones no válidas.

Aplicamos la relación: “log a= b si solo si a= b” Resolvemos esta ecuación de segundo grado y nos da como resultado: x=-5 y x=2. En este caso comprobamos como la raíz x=-5 no es válida, puesto que el log (-5) no existe.

¡Muy importante!

Debemos comprobar siempre las raíces de una ecuación antes de darlas por válidas.

Aplicando la relación “log A= log B si solo si A=B” x/(22-x) = 10 x= 10.(22-x) x= 220-10x 11x=220 x=220/11=20 x=20

A continuación, vamos a resolver varios ejemplos: log x = 1 + log (22-x) log x-log (22-x) = 1

Comprobamos que la solución es válida porque: log 20= 1+log2

Aplicamos la propiedad de “logaritmo de un cociente”. Debemos saber que el log 10=1 porque 10¹=10. Por tanto: log x/ (22-x) =log 10

EJERCICIOS:

log(x+2) +log (x+3) = log (7x+6)

2log (4­-x) = log(3x+8) +log(x+2)

Aplicamos la propiedad de “logaritmo de una potencia” y de “logaritmo de un producto”.

Aplicamos las propiedades de “logaritmo de un producto”.

Aplicando la relación “log A= log B si solo si A=B”

Aplicando la relación “log A= log B si solo si A=B”

Sacamos factor común “x” x.(x-2) =0 x=0 y x=2 Ambas son soluciones válidas.

Sacamos factor común “-­2x” ­-2x.(x+11) =0 x=0 x=-11 Sólo x=0 es solución de la ecuación

¡GRACIAS!

Por su atención