2nd degré - Al Jabr
Lycée ASC
Created on July 22, 2020
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Transcript
Aventures
en
Ouzbekistan
PERSE
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Autrefois, en Ouzbekistan, alors appelé la Perse, vivait le savant Muhammad Ibn Mūsā al-Khuwārizmī.. Né dans les années 780, probablement à Khiva (photo de fond) dans la région du Khwarezm (d'où il prend son nom), dans l'actuel Ouzbékistan, mort vers 850 à Bagdad. C'était un mathématicien, géographe, astrologue et astronome persan, rendu célèbre aujourd'hui pour ses nombreux travaux.
Vers l'an 820, il publia un livre, une sorte de livre de recettes de cuisine... mais pour les maths ! Cet "Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison" a ainsi permis aux marchands de l'époque de se débrouiller en calcul même sans être allés à l'école.
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Dans ton écriture du futur, cette expression s'appelle une équation et s'écrit x²+10x=39.Sauras-tu la résoudre ?
Mon ami, je me pose une question pratique dont je ne sais me démêler.... Sauras-tu m'aider ?
Un carré et dix de ses racines égalent 39 dirhams. Que veut la racine ?
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Pour t'aider à résoudre x²+10x=39, je te propose une figure.
Je trace un carré de côté x+5. A toi de compléter l'aire de chaque zone.
x
x
5
5
Sachant que x²+10x=39, à quoi est égale l'aire du carré ainsi formé ?
>
J'ai complété la figure, observe bien mon animation !
x
x
5
5
x²
5x
5x
25
39
Ainsi, je trouve que le carré a une aire totale de 64 !
On a donc obtenu (x+5)² = 64.Et maintenant ?
>
Je sais que le carré de 8 est 64 donc j'ai :x+5 = 8
En soustrayant 5 de chaque côté, j'ai donc trouvé ma racine : x = 3 !
Tu es sûrement un bon marchand, mais en maths, tu as vraiment du mal l'ami ! N'as-tu pas oublié un détail ?
>
Le carré de 8 est certes 64 mais -8 est également un nombre dont le carré est 64 !
Tu dois donc également envisager x+5=-8
Ainsi, tu trouves x=3 ou x=-13 ! N'oublie jamais qu'un carré peut avoir 2 antécédents !
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En résumé, "Un carré et dix de ses racines égalent 39 dirhams. Que vaut la racine ?"
... peut se résoudre en appliquant mon programme de calcul :
« Quant aux carrés et aux racines qui égalent le nombre, c’est comme tu dis : un carré et dix de ses racines égalent 39 dirhams. Sa résolution consiste à diviser les racines par 2, on trouve 5 dans ce problème ; au carré on trouvera 25 qu’on ajoute à 39 pour trouver 64. Tu en prends alors la racine qui est 8. Tu en retranches la moitié du nombre des racines qui était 5 et tu trouves 3. C’est la racine du carré que tu cherches. » Simple, non ? A mon époque, je ne donne que les solutions positives...
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Propriété
Le nom de Muhammad Ibn Mūsā al-Khuwārizmī est difficilement prononçable. La déformation de son nom de famille a fini par donner "Al Gorismi", ce qui a donné le mot moderne "algorithme". Quant à son livre de "recettes", il s'appelle en perse "Kitābu al-mukhtaṣar fī ḥisābi al-jabr wa'l-muqābalah", ce qui a donné le mot moderne "algèbre". Quel homme !