Funciones

Presentación

MATEMÁTICAS Trabajo de Funciones

Alejandro Bueno Rodríguez, 4ºD Nº5

ÍNDICE

1. Función, variable dependiente e independiente.2. Dominio y recorrido. 3. Enunciado, fórmula, tabla y gráfico. 4. Funciones definidas a trozos. 5. Propiedades.

6. Traslaciones verticales y horizontales. 7. Composición de funciones.8. Función inversa.9. Tipos de funciones. 10. Funciones en la vida diaria.

Función, variable dependiente e independiente

Decimos que una cantidad es función de otra cuando depende de esta, es decir, cuando el valor que toma la primera está determinado por el valor que adquiere la segunda. Por ejemplo: El área de un cuadrado es función de la longitud de sus lados. El precio de una tela es función de su medida en metros. Se pueden expresar mediante: -Una tabla de valores. -Un gráfico cartesiano. -Una fórmula, ecuación o expresión algebraica. Para representar las dos variables que intervienen en una relación de dependencia usamos: -La variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable. Se representa con la letra x . El conjunto de valores que puede tomar se llama dominio de la función. -La variable dependiente o imagen es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable. Se representa con y o f(x) . El conjunto de valores que puede tomar, o conjunto de llegada, recibe el nombre de recorrido de la función. En la función f ( a ) = b , decimos que b es la imagen de a . Por ejemplo: una compañía telefónica nos cobra por el uso del móvil una cuota fija mensual de 6 €, más el coste de las llamadas, a 0,05 €/min. Es una función, ya que por cada minuto que hablemos pagaremos un único precio. La expresión matemática es: f ( x ) = 6 + 0,05 x o bien y = 6 + 0,05 x

2.Dominio y Recorrido

El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma. El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la función cuando se aplica sobre los elementos del dominio. En una función real de variable real estos valores son números reales.

Enunciado, fórmula, tabla y gráfico

Estas son las formas en las que puedes expresar una función Ejemplos: ENUNCIADO: Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente. Ejemplo: El perímetro de un rectángulo es función de sus lados, base y altura. De forma que la base de este rectángulo es el doble de la altura. ¿Cuánto vale el perímetro si la altura mide 4 cm? ¿Y si vale 1 cm? ¿Y si vale 8 cm? FÓRMULA: Una función se expresa a través de una fórmula o expresión algebraica cuando se da una ecuación que relaciona algebraicamente las dos variables que intervienen. Ejemplo: Un tren lleva una velocidad constante de 120 km/h, entonces la correspondencia entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido es una función expresada mediante la fórmula e=120t.

UNA TABLA: Una función se expresa a través de una tabla cuando se dan algunos valores de la variable independiente x, con los correspondientes a la variable dependiente, y. Doña Ana, cobra 50 céntimos por churro. Para no perder tiempo haciendo cuentas, ayudarle a elaborar una tabla, de manera que sepa el precio hasta la docena de churros. Ejemplo: NºChurros 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,50 1 1,50 2 2,50 3 3,50 4 4,50 5 5,50 6 Precio 2=1 20=? UNA GRÁFICA: Una función se expresa a través de una gráfica cuando se representan los pares (x,y) en unos ejes cartesianos. Ejemplo: El tiempo de cocción de un pavo de 2 kg es de 3 horas y por cada kg que aumente su peso la cocción debe aumentar media hora. Peso (kg) 2 3 4 5 6 3 3,5 4 4,5 5 Tiempo (h)

4. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Es aquella cuya expresión analítica contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable independiente "x" se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen "y" que les corresponde. Es imprescindible conocer qué fórmula usar con cada valor de "x", por lo que cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación. Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene el siguiente aspecto: donde los dominios suelen aparecer como intervalos o puntos. En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas, aunque pueden estar unidas. En el cálculo de límites hay una serie de procedimientos adecuados a cada caso. Pero en una función definida a trozos, hay que saber en cuál de los trozos o tramos está el valor al que tiende la variable independiente (x → a). Especialmente hay que ver si a se encuentra en el punto entre dos trozos (o punto de ruptura).

5.PROPIEDADES

La continuidad y discontinuidad :Una función continua es aquella cuyo gráfico se puede representar con un solo trazo sin levantar el lápiz del papel para recorrerla en toda su extensión.Decimos que una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos los puntos de ese intervalo.En los casos en que no se pueda representar de esta forma, diremos que la función es discontinua .Las discontinuidades pueden ser de distintos tipos: puede ocurrir que la función no esté definida en un punto o en más de uno, o que la función adquiera distintos valores por la derecha o por la izquierda de un mismo punto. El crecimiento y decrecimiento de las funciones : Una función f ( x ) es creciente en un intervalo perteneciente al dominio de la función si para todo par de puntos x1 y x2 pertenecientes al intervalo, con x1 < x2 , se cumple que f ( x1 ) ≤ f ( x2 ). Se dice que es estrictamente creciente si f ( x1 ) < f ( x2 ) .Una función f ( x ) es decreciente en un intervalo perteneciente al dominio de la función si para todo par de puntos x1 y x2 pertenecientes al intervalo, con x1 < x2 , se cumple que f ( x1 ) ≥ f ( x2 ). Se dice que es estrictamente decreciente si f ( x1 ) > f ( x2 ) .Un función f ( x ) es constante en un intervalo perteneciente al dominio de la función si para todo par de puntos x1 y x2 pertenecientes al intervalo, con x1 < x2 , se cumple que f ( x1 ) = f ( x2 ) Máximos y mínimos Se denominan extremos relativos de una función a los puntos en los cuales la función pasa de ser creciente a decreciente, o bien de ser decreciente a creciente. Los mínimos de una función son los puntos donde la función pasa de decreciente a creciente. Al mínimo en el cual el valor de la función es menor que todos los demás valores se le llama mínimo absoluto. Los máximos de una función son los puntos donde la función pasa de creciente a decreciente. Al máximo en el cual el valor de la función es mayor que todos los demás valores se le llama máximo absoluto.

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5.PROPIEDADES

La simetría par o impar El gráfico de una función puede ser simétrico respecto al eje Y o respecto al origen de coordenadas. El gráfico de una función f ( x ) es simétrico respecto al eje Y si se cumple: f ( x ) = f ( ‒x ) En ese caso la función es par . Cualquier función polinómica que solo tenga términos de grado par es una función par. También es una función par f ( x ) = cos x , entre otras. El gráfico de una función f ( x ) es simétrico respecto del origen de coordenadas (0, 0) si se verifica: f ( ‒x ). = ‒ f ( x ) En ese caso, la función es impar . Cualquier función polinómica con solo términos de grado impar es una función impar. Las funciones f ( x ) = sen x y f ( x ) = tg x son otros ejemplos de funciones impares. La periodicidad: Las funciones periódicas son aquellas que se repiten en intervalos iguales de la variable independiente. La longitud de este intervalo se llama período . Una función f ( x ) es periódica con período k si se verifica que f ( x ) = f ( x + nk ), siendo n un número entero. Si conocemos el período, basta con analizar la función en el intervalo [0, k ] para interpretarla en su totalidad, ya que tanto a la izquierda como a la derecha la función repite la misma estructura. Curvatura: Las funciones pueden ser convexas, si están representadas en forma de u, o cóncavas, si están representadas en forma de u al revés. Acotación: Decimos que una función está acotada superiormente si existe un valor K tal que no es superado por ningún valor de la función, es decir: f(x)≤K para todo valor de x perteneciente al dominio. Decimos que una función está acotada inferiormente si existe un valor k tal que no hay ningún valor de la función que sea inferior a k, es decir: f(x)≥k para todo valor de x perteneciente al dominio. Puntos de corte con los ejes: Los puntos de corte son aquellos puntos donde el gráfico de la función corta los ejes de coordenadas. Signo: Estudiar el signo de una función consiste en determinar el conjunto de valores de x para los cuales f(x)>0, (signo positivo) y el conjunto de valores para los cuales f(x)<0, (signo negativo).

6.TRASLACIONES

Las traslaciones verticales y horizontales son los desplazamientos de una función en el sistema de coordenadas (x, y). Si trasladamos la representación gráfica de una función dada, obtendremos representaciones de funciones relacionadas. Siempre la gráfica de la función trasladada será igual a la original. Si realizamos una traslación vertical de una función, la gráfica se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido del eje “y”, es decir, hacia arriba o hacia abajo. Si realizamos una traslación horizontal de una función, la gráfica se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido del eje “x”, es decir, hacia la derecha o hacia la izquierda.

7.COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La composición de funciones es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre un mismo elemento x. Siendo f y g dos funciones, se define la composición de dos funciones (denotada por g o f) como: La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en (g o f)(x) primero actúa la función f y luego la g sobre f(x).

8.FUNCIÓN INVERSA

Se llama función inversa o recíproca de F (x) a otra función F -1 (x) que cumple que: Si F (a) =b , entonces F -1 (b)=a Cálculo de la función inversa Para construir o calcular la función inversa de una función cualquiera, se deben seguir los siguientes pasos: Paso 1: Se escribe la función con e . Paso 2: Se despeja la variable en función de la variable . Paso 3: Se intercambian las variables.

9.TIPOS DE FUNCIONES

1. Funciones algebraicas 1.1. Funciones explícitas 1.2. Funciones implícitas 1.3. Funciones polinómicas 1.4. Funciones racionales 1.5. Funciones irracionales o radicales 1.6. Funciones definidas a trozos 2. Funciones trascendentes 2.1. Funciones exponenciales 2.2. Funciones logarítmicas 2.3. Funciones trigonométricas Otras: Funciones inyectivas, Funciones suryectivas, Funciones biyectivas, Funciones no inyectivas y no suryectivas.

10.FUNCIONES EN LA VIDA DIARIA

Funciones:LinealesAfines Cuadráticas Racionales Exponenciales Logarítmicas Trigonométricas.

¡GRACIAS!