Funciones matemáticas

MATEMÁTICAS

Funciones

By Alberto Rivas Casal nª25 4ªd

ÍNDICE

1. Introduccion2. Deficion de funcion y variables 3. Dominio y recorrido 4. Relacion entre grafica,tabla,fomula y encunciado. 5. Funciones a trozos 6. propiedades 7. Translaciones

8. Composicion de funcones9. Funcion inversa 10. Tipos de funcion 11. Funciones dia a dia

1.Introducción

René Descartes(1596-1650)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Función

Término

el primero en empezar a utilizar términos para estas funciones y decretar el nombre funciones fue el señor Leibniz dando los nombres de:función, variable, constante y parámetro

Quien y cuando

En los inicios del siglo XVII empezaron a surgir las ideas claras de las funciones fueron: René Descartes,Isaac Newton y Gottfried Leibniz los primeros en establecer la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables

Definición de función y variables

una función (f) es la relación que existe entre un conjunto dado X (denominado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ).

Independiente

Dependiente

-Una función variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable. La variable dependiente en una función se suele representar por y. La variable dependiente se representa en el eje ordenadas. La variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.

- Una función variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable. La variable independiente en una función se suele representar por x. La variable independiente se representa en el eje de abscisas.

VS

Dominio y Recorrido

Dominio

-El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida es decir es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x).

Recorrido

-El recorrido también llamado imagen, condómino o rango es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x"

Relación entre tabla,enunciado,grafica y fórmula

Relación

-La relación que hay entre Enunciado tabla y gráfica es que las tres son diferentes maneras de expresar la relación cuando una magnitud depende de otra y la fórmula es la que sirve para rellenar estos datos es decir la relación.

-Enunciado:Se puede expresar de manera verbal -Tabla:Mediante una tabla de valores -Gráfica:Con los valores dados se va haciendo -Fórmula:Representación algebraica

Funciones definidas a trozos

Función definida a trozos

-Una función definida a trozos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente considerado. A cada uno de estos intervalos se les conoce con el nombre de ramas.

Propiedades

Continuidad

-La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo. -El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo. -El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula. -Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

Monotonía

Estricta

Decreciente

Creciente

Es decir, si x < y, entonces f(x) < f(y).

si x ≤ y entonces f ( x ) ≤ f ( y ) , donde x e y pertenecen al dominio.

si x ≤ y entonces f(x) ≥ f(y ), donde x e y pertenecen al dominio.

Maximos y Minimos

Absolutos

Relativos

Máximo:Es el valor más grande de todo el dominio Mínimo:Es el valor más pequeño de todo el dominio

Máximo:es cuando un valor es mayor de los que tiene a los lados. Mínimo:Cuando un valor es menor del que tiene a la izquierda y derecha.

VS

Simetría

Impar

Par

-impar:En las funciones impares se cumple que la imagen del opuesto de un elemento (-x) es la imagen opuesta de dicho elemento (x)

-Par:Las funciones pares son las que cumplen que las imágenes del opuesto de un elemento (-x) y la imagen de este elemento (x) coinciden

Periodicidad

Una función es periódica siempre que el valor de la función se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo.

Curvatura

Concava

si al coger dos puntos de la curva en un intervalo el segmento que une estos dos queda en el lado inferior de la gráfica

Convexa

si al coger dos puntos de la curva en un intervalos el segmento que los une queda por arriba de la gráfica

Acotación

Superior

Inferior

Acotada superior:f(x) ≤ k.

Acotada inferior:f(x) ≥ k′.

Puntos de corte

Ordenadas

Abscisas

Se obtiene resolviendo f(x)=0 forma(a,0) lo que es igual a y=0

VS

si hay es (0,f(0)) es decir x=0

Ejemplo:Halla los punto de corte para f(x) = x2 - x - 2 -con eje de abcisas: el resultado es: x1 = - 1 y x2 = 2 por lo tanto (-1,0) y (2,0) -Con el eje de ordenadas: x = 0, f(0) = -2 por lo tanto (0,-2)

Signo

Negativo

Positivo

una función es negativa cuando su gráfico está por debajo del eje x

una función es positiva cuando su gráfica está por encima del eje x

Translaciones

Translocaciones

Horizontales

Verticales

Las traslaciones verticales son aquellas en las cual la figura se traslada de arriba abajo o de abajo a arriba es decir son aquellas que se trasladan en el eje y.Y=f(x)+n Y=f(x)-n

Las traslaciones horizontales son aquellas que van de derecha a izquierda o de izquierda a derecha es decir aquellas que se trasladan por el eje x.Y=f(x-n) Y=f(x+n)

VS

Composición de funciones

Comoposición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido o codominio de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de , a esto se le conoce como composición de funciones

Función inversa

Función inversa

Cálculo

Definición

Es el tipo de función que solo se puede dar en funciones inyectivas este tipo de funciones son aquellas que no tienen dos valores en el dominio con la misma imagen.

Paso 1: Se escribe la función con e . Paso 2: Se despeja la variable en función de la variable . Paso 3: Se intercambian las variables.

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Tipos de funciones

Funcións polinómicas

Cuadrática

Afín

Lineal

Una función cuadrática es la que viene representada por un polinomio de segundo grado (la x está elevada al cuadrado). La ecuación de la función cuadrática es y = a·x2 + b·x + c

función lineal relaciona dos magnitudes directamente proporcionales, es decir, tales que su cociente es constante. Dicho cociente recibe el nombre de constante de proporcionalidad. De la definición se deduce que la ecuación de la función lineal es y = m·x

Podemos considerar a una función afín como una función lineal a la que se le han aplicado ciertas condiciones iniciales. Aunque no representa a dos magnitudes directamente proporcionales, existe entre ellas cierta proporcionalidad como verás en la escena adjunta. La ecuación de la función afín es y = m·x + n

Otras Funciónes

Radical

Exponencial

Constante

es la que la variable dependiente y se obtiene de una raíz que alberga en el radicando a la variable independiente x. Expresión de una función radical Son llamadas también funciones irracionales. Cuando el índice de la raíz n es par, el dominio de la función son los valores de x que hacen al radicando cero o mayor que cero.

Una función constante f es una función tal que la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:f(x)=a elevado a x Expresión general de una función exponencial siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Tipos de funciones

Logaritmica

Derivada

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma: f(x)=log sub a(x) Expresión general de una función logarítmica. siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

La función derivada f’ de una función f que sea derivable en un intervalo I es una nueva función que hace corresponder para cada valor de x ∈ I el valor de la derivada de f en ese punto.

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Funciones en la vida cotidiana

yo creo que es obvio que las matemáticas son muy importantes en la vida en general pero en específico yo creo que este parte de las matemáticas las funciones ya que tienen múltiples uso vamos a ver para qué sirven algunas de ellas

Vida cotidiana

Función cuadratica

Función exponencial

Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Por ejemplo: Un carro de supermercado que se mueve con aceleración constante, la posición en función del tiempo es una parábola, es decir, una función cuadrática.

la función exponencial rige diversos ámbitos de nuestras vidas, misma que se ve afectada cuando bacterias crecen en nuestro cuerpo. La función exponencial rige su crecimiento, y para determinar cuánto han crecido o crecerá su población, los biólogos y médicos utilizan la función exponencial.

Conclusión

yo después de haber realizado este trabajo me he dado cuenta de que las matemáticas son uno más en nuestro dia a dia y que sin ellas ahora mismo lo más probables es que no estuvieramos aqui no solo las funciones sino todos los campos relacionados con las matemáticas son muy importantes a la hora del desarrollo humano.

Webgrafía

Todo lo demas:https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia -Función a trozos:https://www.fisicalab.com/apartado/funcion-a-trozos -Propiedades: Continuidad:https://www.hiru.eus/es/matematicas/continuidad-de-funciones monotonia:https://www.matesfacil.com/funciones.htm Maximos,minimos:https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/maximos-minimos-funcion/ simetria:https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-simetricas-asimetricas/ periodicidad:https://matematica.laguia2000.com/general/periodicidad-de-una-funcion Acotaciones:https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/funciones-acotadas.html Translaciones:https://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones/teoria/trasla_ver_hor.html Tipos de funciones:https://proyectodescartes.org/EDAD/materiales_didacticos/EDAD_4eso_funciones_elementales-JS-apli/impresos/4quincena10.pdf y https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/tipos-funciones/#funcion-radical