Sistema de Ecuaciones lineales

con

1° medio

01

dos variables

Sistema de ecuaciones lineales

Profe: Mónica Cerda

EMPEZAR

Matemáticas

Sistema de ecuaciones

Método de resolución 01

Sistema de ecuaciones

Método de resolución 02

Definición

Igualación

Gráfico

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Método de resolución 04

Método de resolición 05

Método de resolución 03

Reducción

Sustitución

Cramer

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Concimientos previos

Ecuaciones lineal

Con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad algebraica del tipo: ax+by = c, o donde x e y son las incógnitas, y a, b y c son números conocidos. Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores (x,y) que hacen cierta la igualdad. Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y si las representamos forman una recta.Ejemplo2x + 3y = 5¿Qué valores puede tener x e y para que la igualdad se cumpla?

Ecuaciones lineal

Con dos incógnitas

Ecuaciones lineal

Con dos incógnitas

Ecuaciones lineal

Con dos incógnitas

Actividad Obten dos soluciones de cada ecuación y representa las rectas correspondiente

Sistema de ecuaciones

Concepto

Escribe en tu cuaderno

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incognitas tiene la forma Donde a, b,c,d,e,f son números reales y x, y son las incógnias Una solución al sistema corresponde a un valor para cada incógnita (x e y), de modo que al remplazarlas en las ecuaciones se satifacen ambas igualdades.

¿Ecuación con dos variables?

sistema de ecuaciones

Plantear un sistema de ecuaciones

Un grupo de artesanos tienen un trozo de mármol. Para trabajarlo de mejor manera, moldearán una parte para obtener un trozo, de forma rectangular y con la condición de que la medida de su largo (y) sea el doble de la medida de su ancho (x) y su perímetro 132 cm.

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Cambio de registro

2x+2y=132 2x-y=0

El largo mide el doble del ancho

Perímetro del rectángulo

sistema de ecuaciones

Plantear un sistema de ecuaciones

Un grupo de artesanos tienen un trozo de mármol. Para trabajarlo de mejor manera, moldearán una parte para obtener un trozo, de forma rectangular y con la condición de que la medida de su largo (y) sea el doble de la medida de su ancho (x) y su perímetro 132 cm.

+ INFO

Cambio de registro

2x+2y=132 2x-y=0

El largo mide el doble del ancho

Perímetro del rectángulo

2x+2y=132 2x-y=0

Método de resolución

gráfico

Crea una tabla de valores para una de las ecuaciones con dos variables

2x+2y= 132

Despeja la variable y

2x-2x+2y= 132-2x

2x+2y= 132 /-2x

2y= 132-2x / x 1/2

2y/2= 132-2x/2

y= 66-x

2x+2y=132 2x-y=0

Método de resolución

gráfico

Crea una tabla de valores para una de las ecuaciones con dos variables

2x-y= 0

2x-2x-y= 0-2x

2x-y= 0 /-2x

-y= -2x / x -1

y= 2x

Despeja la variable y

2x+2y=132 2x-y=0

Método de resolución

gráfico

¿Qué valores se repiten?

2x+2y =132

2x-y =0

La solución del sistema de ecuaciones es el punto (22,44)

2x+2y=132 2x-y=0

Método de resolución

gráfico

Construir los ejes

Debes escribir las variables en cada eje; en el eje horizontal el eje x y en el vertical el eje y

La distancia debe ser la misma entre los ejes

2x+2y=132 2x-y=0

Método de resolución

gráfico

2x+2y=132 2x-y=0

Método de resolución

gráfico

2x+2y=132 2x-y=0

Método de resolución

gráfico

2x+2y=132 2x-y=0

Método de resolución

gráfico

2x+2y=132 2x-y=0

Método de resolución

gráfico

La solución del sistema

Es el punto P(22,44) ya que en ese punto del plano lo comparten ambas rectas, es decir, x que representa el ancho del rectángulo debe medir 22 cm y el largo representado por y debe medir 44 cm para que se cumplan ambas condiciones al mismo tiempo: a) Que el perímetro mide 132 cm b) Que el largo es el doble del ancho

Actividad 1

Actividad 2

Actividad de clases

Escribe un resumen en tu cuaderno

Representa a traves de un gráfico la solución al siguiente sistema de ecuaciones

Grafica de un sistema de ecuaciones

x+y=32y-x=3

Investiga en tu texto escolar, Internet u otro medio la relación que existe entre el tipo de gráfico y la cantidad de soluciones que tiene un gráfico

Revisión

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Prox. clase virtual

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casos para la solución de un gráfico

Infinitas soluciones

No tiene solución

única solución

Las rectas son paralelas, es decir, no se cruzan en ningún punto

Las dos rectas coinciden , es decir son la misma

Dos rectas son secantes, es decir, se tocan (cruzan) en un punto

Actividad

Construye la gráfica de los sistemas de ecuaciones

7x+4y=1 x+2y=5

3x+2y=1 2x+3y=-1

3(x + 3) = 2(y + 5) y + 5 – x = 2x + 3y

Actividad

Plantea un sistema de ecuaciones para cada problema

a.- La edad de un padre (x) y su hija (y) suman 77 años, y dentro de dos años la edad del padre será el doble de la de su hija. ¿Cuál es la edad del padre y su hija? b.- La diferencia de dos números es 85 y uno de ellos es 20 unidades más que el doble del otro. ¿Cuáles son los números? c. Las edades de Andrés (x) y Luisa (y) suman 61 años. La edad de Luisa es 11 años más que la de Andrés. ¿Cuáles son las edades de cada uno? d.- Julián (x) y Sebastián (y) tienen ahorrados $ 250 000 entre los dos. Si Julián ha ahorrado $ 70 000 más que Sebastián, ¿cuánto ha ahorrado cada uno?

2x+ y= 1 3x+ 4y =14

• Ecuación 1

• Ecuación 2

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 1. Despejar una incógnita. Escoja una ecuación y despeje una incógnita en términos de la otra incógnita. 2. Sustituir. Sustituya la expresión hallada en el Paso 1 en la otra ecuación, para obtener una ecuación con una incógnita y, a continuación despeje esa incógnita. 3. Sustituir a la inversa. En la expresión hallada en el Paso 1, sustituya el valor hallado en el Paso 2 para despejar la incógnita restante.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

2x+ y =1 3x +4y =14

• Ecuación 1

• Ecuación 2

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 1. Despejar una incógnita Despejemos la y en la primera ecuación

• 2x+y=1
• y=1-2x
• y=1-2x

2. Sustituir A continuación sustituimos y en la segunda ecuación y despejamos x.

• 3x+4y=14
• 3x+4(1-2x)=14
• 3x+4-8x=14
• -5x=14-4
• -5x=10
• x=10/-5
• x=-2

2x+ y =1 3x +4y =14

• Ecuación 1

• Ecuación 2

3. Sustituir a la inversa A continuación sustituimos x =2 en la ecuación en que despejamos la y, es decir, y=1-2x

• y=1-2x
• y=1-2(-2)
• y=1+4
• y=5

Entonces, x= -2 e y= 5, de modo que la solución es el par ordenado (-2, 5).

verifica tu respuesta

observa la gráfica

3x-5y=3 5x-3y=7

Método de igualación1° "despeja" la misma incógnita en la dos ecuaciones 2°igualas las expresiones obtenidas en el primer paso y despeja la otra incógnita 3°Determina el valor de la otra incognita reemplazando en una de las ecuaciones del primer paso

Método de igualación1° "despeja" la misma incógnita en la dos ecuaciones

3x-5y=3 5x-3y=7

• Ecuación 1
• Ecuación 2

Ecuación 2

• 5x-3y=7
• -3y=7-5x
• y=7-5x/-3

Ecuación 1

• 3x-5y=3
• -5y=3-3x
• y=3-3x/-5

2°igualas las expresiones obtenidas en el primer paso y despeja la otra incógnita

• y=y

• 3-3x/-5=7-5x/-3
• -3(3-3x)=-5(7-5x)
• -9+9x=-35+25x
• 9x-25x=-35+9
• -16x=-26
• x=-26/-16
• x=13/8

3°Determina el valor de la otra incognita reemplazando en una de las ecuaciones del primer paso

• x=13/8

observa la gráfica

• y=3-3x/-5
• y=3-3(13/8)/-5
• y=3-39/8/-5
• y=24-39/8/-5
• y=-15/8/5
• y=-15/5 :-5/1
• y=-15x1/5x-5
• y=-15/-25
• y=3/5

ENTONCES, X= 13/8 E Y= 3/5, DE MODO QUE LA SOLUCIÓN ES EL PAR ORDENADO (13/8, 3/5).

verifica tu respuesta

4x-3y=5 3x -4y=2

método

Reducción

1. Ajustar los coeficientes. Multiplique una o más de las ecuaciones por números apropiados, de modo que el coefi ciente de una incógnita de una ecuaciónmsea el negativo de su coefi ciente en la otra ecuación. 2. Sumar las ecuaciones. Sume las dos ecuaciones para eliminar una incógnita y, a continuación, despeje la incógnita restante. 3. Sustituir a la inversa. En una de las ecuaciones originales, sustituya el valor hallado en el Paso 2 y despeje la incógnita restante

método

Reducción

1. Ajustar los coeficientes.

4x-3y=5 3x -4y=2

• /*3
• /*-4

• 12x-9y=15
• -12x+16y=-8 +

2. Sumar las ecuaciones.

• 7y=7
• y=7/7
• y=1

método

• 7y=7
• y=7/7
• y=1

Reducción

3. Sustituir a la inversa.

• 4x-3y=5
• 4x-3(1)=5
• 4x-3=5
• 4x=5+3
• 4x=8
• x=8/4
• x=2

observa la gráfica

ENTONCES, X= 2 E Y= 1, DE MODO QUE LA SOLUCIÓN ES EL PAR ORDENADO (2,1).

Método de resolución: igualación

En economía se denomina punto de equilibrio a aquel donde coinciden las ecuaciones de las rectas de las ecuaciones de oferta y demanda determinando así el precio de equilibrio . ¿Cuál es el punto de equilibrio?

Si representamos el problema como un sistema de ecuaciones lineales podremos encontrar el punto en el que coinciden las rectas