Histoire, géographie, trigonométrie, sciences naturelles...
L'incroyable calcul d'Eratosthène
As Caveau - Un grand merci à B. Heisler pour son travail partagé !
Situons l'époque
Cette histoire est parfaitement vraie. Eratosthène est né à Cyrène en 276 av. JC, en Lybie.
Il est de nationalité égyptienne, et fut nommé directeur de la bibliothèque d’Alexandrie vers 245 av. JC.
Quel âge avait-il alors ?
(en années)
Il meurt à Alexandrie en 194 av. JC.
Combien d'années a-t-il vécu ?
VALIDER
Vérifie !
Situons le lieu
Cette histoire se déroule en Egypte.
Indique l'Egypte sur cette carte.
Situons le lieu
Cette histoire se déroule en Egypte.
Plus précisément à Alexandrie et à Syène (actuelle Assouan).
Il se trouve que ces deux villes sont situées (quasiment) sur le même méridien.
Elles ont alors la même... ?
Tu corriges ou tu révises...
VALIDER
Besoin de réviser un petit peu ?
Les observations d'Eratosthène
A Syène se trouve un puits. Lors du solstice d'été, à midi pile, le puits ne projette aucune ombre au sol.
Mais à Alexandrie, à la même date et à la même heure, il y a une ombre projetée au pied de l'obélisque.
Mystérieux !
Les deux hypothèses
La terre est plate et le soleil est assez proche d’elle ce qui provoque le phénomène observé.
Alexandrie
Syène
Le soleil est très éloigné de la Terre, ses rayons sont quasiment parallèles et la terre est sphérique.
Alexandrie
Syène
Eratosthène opte pour la deuxième hypothèse (la Terre est sphérique)
Les anciens avaient déjà remarqué que la Terre était probablement sphérique. Comment est-ce possible ?
- En haut du mat d’un navire, la vigie aperçoit la terre avant l’équipage.
- L’étoile polaire n’a pas la même hauteur en Grèce et en Egypte.
- Lors des éclipses de lune, la projection de l’ombre de la Terre est circulaire.
Eratosthène se demande la taille que peut avoir la Terre et décide de calculer sa circonférence. Mais comment faire ?
Le message "Impossible de charger le contenu enrichi" est normal -->
<nombre>3</nombre>
<script></script>
On sait que
Reconstruire la démonstration en plaçant les phrases au bon endroit
les deux angles notés α sont de même mesure.
Or
les deux angles notés α sont alternes internes et les rayons du soleil sont supposés parallèles.
deux angles alternes internes construits sur deux droits parallèles sont de même mesure.
Donc
OUI !
Par cette démonstration, Erathosthène a compris que l'angle au centre de la Terre qui sépare les villes de Syène et d'Alexandrie a la même mesure que l'angle formé par l'ombre de l'obélisque en son sommet à midi pile.
Il reste à calculer cet angle !
Erathosthène parvient à mesurer la hauteur h de l'obélisque. Il mesure aussi la taille t de son ombre.
Connaissant h et t, quelle est la formule de trigonométrie à utiliser pour trouver la mesure de l'angle α ?
h = 12,016 m
cosinus
sinus
tangente
t = 1,518 m
Besoin de réviser un petit peu ?
Bravo ! C'est bien la tangente qu'Eratosthène a utilisée.
Dans le triangle rectangle formé par l’obélisque et son ombre, on peut appliquer la formule de trigonométrie de la tangente qui fait intervenir la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent :
côté opposé à l'angle 𝛼
tan 𝛼 =
côté adjacent à l'angle 𝛼
h = 12,016 m
1,518
tan 𝛼 =
12,016
1,518
𝛼 = arctan
t = 1,518 m
12,016
𝛼 mesure environ 7,2 °
Et ensuite ?
L’angle 𝛼 au centre de la terre qui intercepte l’arc entre l’obélisque d’Alexandrie et le puits de Syène mesure 7,2°.
L’angle total de la Terre (sphère) est de 360°.
La Terre contient donc 360/7,2, soit 50 fois l'angle 𝛼.
Il reste à Eratosthène à mesurer la distance entre le puits de Syène et l’obélisque d’Alexandrie.
Comment mesurer l'éloignement entre deux villes sans sattelite ni GPS ? Grâce à un bématiste, évidemment !
Le bématiste est une personne effectuant des mesures en se basant sur la distance connue et très stable parcourue par un chameau en une journée de marche.
La mesure réalisée ici donne une distance de "5000 stades" entre Syènes et Alexandrie. Le stade mesurant 157,5 mètres, la distance obtenue est finalement de …
787,5 km
Moi ? Je bosse !
Hey, pst ! Que fais-tu ?
Le calcul est ensuite rapide : puisqu’il faut 50 fois 7,2° pour faire 360°, il faut également multiplier la distance de 787,5 km par 50 pour avoir la circonférence de la Terre.
787,5 x 50 = 39 375 km Les calculs avec nos moyens de mesure actuels donnent une circonférence de : 40 072 km L’erreur d’Eratosthène n’est donc que de : 697 km. C'est une erreur inférieure à 2 %.
J'ai tout lu, compris, retenu !
PAS MAL !
Eratosthène 1ES
ascaveau
Created on May 28, 2020
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Histoire, géographie, trigonométrie, sciences naturelles...
L'incroyable calcul d'Eratosthène
As Caveau - Un grand merci à B. Heisler pour son travail partagé !
Situons l'époque
Cette histoire est parfaitement vraie. Eratosthène est né à Cyrène en 276 av. JC, en Lybie.
Il est de nationalité égyptienne, et fut nommé directeur de la bibliothèque d’Alexandrie vers 245 av. JC.
Quel âge avait-il alors ?
(en années)
Il meurt à Alexandrie en 194 av. JC.
Combien d'années a-t-il vécu ?
VALIDER
Vérifie !
Situons le lieu
Cette histoire se déroule en Egypte.
Indique l'Egypte sur cette carte.
Situons le lieu
Cette histoire se déroule en Egypte.
Plus précisément à Alexandrie et à Syène (actuelle Assouan).
Il se trouve que ces deux villes sont situées (quasiment) sur le même méridien.
Elles ont alors la même... ?
Tu corriges ou tu révises...
VALIDER
Besoin de réviser un petit peu ?
Les observations d'Eratosthène
A Syène se trouve un puits. Lors du solstice d'été, à midi pile, le puits ne projette aucune ombre au sol.
Mais à Alexandrie, à la même date et à la même heure, il y a une ombre projetée au pied de l'obélisque.
Mystérieux !
Les deux hypothèses
La terre est plate et le soleil est assez proche d’elle ce qui provoque le phénomène observé.
Alexandrie
Syène
Le soleil est très éloigné de la Terre, ses rayons sont quasiment parallèles et la terre est sphérique.
Alexandrie
Syène
Eratosthène opte pour la deuxième hypothèse (la Terre est sphérique)
Les anciens avaient déjà remarqué que la Terre était probablement sphérique. Comment est-ce possible ?
Eratosthène se demande la taille que peut avoir la Terre et décide de calculer sa circonférence. Mais comment faire ?
Le message "Impossible de charger le contenu enrichi" est normal -->
<nombre>3</nombre> <script></script>
On sait que
Reconstruire la démonstration en plaçant les phrases au bon endroit
les deux angles notés α sont de même mesure.
Or
les deux angles notés α sont alternes internes et les rayons du soleil sont supposés parallèles.
deux angles alternes internes construits sur deux droits parallèles sont de même mesure.
Donc
OUI !
Par cette démonstration, Erathosthène a compris que l'angle au centre de la Terre qui sépare les villes de Syène et d'Alexandrie a la même mesure que l'angle formé par l'ombre de l'obélisque en son sommet à midi pile.
Il reste à calculer cet angle !
Erathosthène parvient à mesurer la hauteur h de l'obélisque. Il mesure aussi la taille t de son ombre.
Connaissant h et t, quelle est la formule de trigonométrie à utiliser pour trouver la mesure de l'angle α ?
h = 12,016 m
cosinus
sinus
tangente
t = 1,518 m
Besoin de réviser un petit peu ?
Bravo ! C'est bien la tangente qu'Eratosthène a utilisée.
Dans le triangle rectangle formé par l’obélisque et son ombre, on peut appliquer la formule de trigonométrie de la tangente qui fait intervenir la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent :
côté opposé à l'angle 𝛼
tan 𝛼 =
côté adjacent à l'angle 𝛼
h = 12,016 m
1,518
tan 𝛼 =
12,016
1,518
𝛼 = arctan
t = 1,518 m
12,016
𝛼 mesure environ 7,2 °
Et ensuite ?
L’angle 𝛼 au centre de la terre qui intercepte l’arc entre l’obélisque d’Alexandrie et le puits de Syène mesure 7,2°.
L’angle total de la Terre (sphère) est de 360°.
La Terre contient donc 360/7,2, soit 50 fois l'angle 𝛼.
Il reste à Eratosthène à mesurer la distance entre le puits de Syène et l’obélisque d’Alexandrie.
Comment mesurer l'éloignement entre deux villes sans sattelite ni GPS ? Grâce à un bématiste, évidemment !
Le bématiste est une personne effectuant des mesures en se basant sur la distance connue et très stable parcourue par un chameau en une journée de marche. La mesure réalisée ici donne une distance de "5000 stades" entre Syènes et Alexandrie. Le stade mesurant 157,5 mètres, la distance obtenue est finalement de …
787,5 km
Moi ? Je bosse !
Hey, pst ! Que fais-tu ?
Le calcul est ensuite rapide : puisqu’il faut 50 fois 7,2° pour faire 360°, il faut également multiplier la distance de 787,5 km par 50 pour avoir la circonférence de la Terre. 787,5 x 50 = 39 375 km Les calculs avec nos moyens de mesure actuels donnent une circonférence de : 40 072 km L’erreur d’Eratosthène n’est donc que de : 697 km. C'est une erreur inférieure à 2 %.
J'ai tout lu, compris, retenu !
PAS MAL !