Intervalos reales, apto a modificaciones

Intervalos reales

¿Cómo expresamos un conjunto que tiene infinitos elementos?

Prestá atención a los siguientes ítems

2. Generalizaciones

1. Ejemplos

Actividad interáctiva

3. Ejercicios

Ejemplos

En diferentes situaciones surgen una o más condiciones que habilitan la realización de una actividad, acceder a un descuento, etc.A partir de los siguientes ejemplos veremos diferentes formas de representar intervalos, conjuntos de números reales comprendidos entre dos valores y desiguladades o inecuaciones.

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• Al subir a una montaña rusa un cartel indica “Estatura mínima: 120 cm”

Es decir, sólo pueden subir personas que miden 1,2 metros o más. Si marcamos las posibles alturas en una recta numérica, resulta: Lo que está marcado en color es el conjunto de valores incluidos que va desde el 1,2 inclusive en adelante. Esto también se puede expresar usando notación de conjuntos: [1,2 ; +∞)

Observaciones: El uso de corchetes [ , ] significa que se incluyen los extremos.El infinito (+∞ ó - ∞) se escribe con paréntesis ya que no es un número, por lo tanto no se lo puede incluir.

Ejemplos

• Al subir a una montaña rusa un cartel indica “Estatura mínima: 120 cm”

• Una panadería tiene un cartel en su puerta que dice “Abrimos de 7 hs. a 19 hs.”

• Sabiendo que el perímetro de un rectángulo es 24 cm, ¿cuáles son los posibles valores que puede tomar la base?

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• Al subir a una montaña rusa un cartel indica “Estatura mínima: 120 cm”

También se puede representar esta situación con una inecuación, es decir, con una desigualdad en la que intervienen expresiones algebraicas. Si llamamos “x” a la altura de las personas que pueden acceder al juego y tenemos en cuenta que esa altura debe ser mayor o igual que 1,2 metros, la inecuación es: x ≥ 1,2

Observación: “3<5” se lee “3 es menor que 5”

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• Una panadería tiene un cartel que dice “Abrimos de 7 hs. a 19 hs.”

Esta información podemos expresarla mediante dos inecuaciones donde “x” representa el horario en el que la panadería se encuentra abierta: x ≥ 7 y x ≤ 19 Ingresando a GeoGebra, escribí cada una de las inecuaciones que representan el horario de atención de la panadería y luego, respondé en tu carpeta: • ¿Dónde se cumplen ambas condiciones a la vez? ¿Por qué? • ¿Cuál es el intervalo en el que queda comprendido el horario de la panadería? • ¿Sería posible expresar esta situación como una única inecuación? Si es así, ¿cómo lo harías?

Geogebra

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• Sabiendo que el perímetro de un rectángulo es 24 cm, ¿cuáles son los posibles valores que puede tomar la base?

Para resolver esta situación problemática podemos empezar estableciendo algunas condiciones con respecto a la base: - No puede ser un número negativo. - No puede ser cero. - No puede ser un número mayor a 24. - La base no puede medir 24 cm porque el perímetro sería mayor a 24 cm. - No puede medir 12 cm porque la altura mediría 0 cm. - No puede tomar valores mayores a 12.

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• Sabiendo que el perímetro de un rectángulo es 24 cm, ¿cuáles son los posibles valores que puede tomar la base?

Como conclusión podemos decir que la base puede ser cualquier valor mayor a 0 y menor a 12. Respondé en tu carpeta: - ¿Cuál es la inecuación que corresponde a esta situación? - ¿Cuál es el intervalo en el que queda comprendido los valores que puede tomar la base? - Representá la respuesta gráficamente.

Observación: Cuando un extremo no está incluido en un intervalo usamos paréntesis: ( , ).

Generalizaciones

Los intervalos reales los podemos escribir de diferentes maneras.En una recta numérica, se representan los extremos incluidos con un punto ● y los valores que no están incluidos con un punto vacío.

Teoría

Algunos ejemplos: *Números reales que están entre -5 y -1, se representan: (-5 ; -1) La inecuación que representa esta situación es: -5 < x < -1 *Números reales que están entre 1 y 7 inclusive, se representan: (1 ; 7] La inecuación es 1 < x ≤ 7 *Números reales que son mayores o iguales a -3, se representan: [-3 ; +∞) La inecuación es x ≥ -3

Ejercicios

Ejercitación

¡Ahora te toca a vos!

1. Ingresá en GeoGebra y escribí cada inecuación para ver el gráfico de los intervalos. Tené en cuenta que x pertenece al conjunto de los números reales. Si es posible, expresá el conjunto donde se cumpla cada condición como un único intervalo. a) x > 2 b) x ≤ -4 c) x > 2 ∧ x < 4 d) x ≥ -2 ∧ x < 0 e) x < 1 ∧ x > 3

Observación: En símbolos matemáticos “y” se escribe “∧”.

Geogebra

Ejercitación

¡Ahora te toca a vos!

2. Expresá como inecuación y graficá estos conjuntos numéricos: a) Todos los números reales en el intervalo (-5 ; -1) b) Todos los números reales en el intervalo [5 ; +∞) c) Todos los números reales en el intervalo (3 ; 7]

Actividadesinteractivas

Pregunta 1

La inecuación representa un intervalo...

Abierto

Cerrado

Semiabierto

Pregunta 2

La representación en la recta numérica de la inecuación es:

Pregunta 3

El intervalo correspondiente a esta inecuación es :

Pregunta 4

El intervalo de la siguiente inecuación es:

Pregunta 5

La inecuación que corresponde al intervalo es:

Pregunta 6

Teniendo en cuenta el intervalo [-5;-4), indicá cuál de estas afirmaciones es correcta:

Contiene solo dos números enteros

No incluye números enteros

Contiene solo un número entero