Mme Truant
Résolution d'inéquations
Objectif : Résoudre une inéquation du premier degré
Déroulement
1ère étape
4ème étape
2ème étape
3ème étape
Comment résoudre une inéquation ? Les 3 règles d'or
Quelques problèmes
Entraînement
Qu'est ce qu'une inéquation ?
Qu'est ce qu'une inéquation ?
Définitions
Définitions
Résoudre une inéquation
Inéquation à une inconnue x
Solutions d'une inéquation
Une inéquation à une inconnue x est une inégalité (> , ≥ , <, ≤) qui est soit vraie soit fausse selon les valeurs de x.
Les valeurs de x pour lesquelles l'inégalité est vraie sont appelées solutions de l'inéquation.
Résoudre une inéquation, c'est trouver l'ensemble constitué de toutes ses solutions.
Exemple : l'inéquation 3x+2≤5
3x + 2 ≤ 5
5 est le second membre de l'inéquation
3x + 2 est le premier membre de l'inéquation
Il s'agit bien d'une inégalité
Exemple : l'inéquation 3x+2≤5
3x + 2 ≤ 5
Prenons x=4. 3x + 2 = 3×4 + 2 = 12 + 2 = 14 et 14≥5 L'inégalité est fausse pour x=4. Par conséquent, 4 n'est pas l'une des solutions de cette inéquation.
Prenons x=0. 3x + 2 = 3×0 + 2 = 0 + 2 = 2 et 2≤5 L'inégalité est vraie pour x=0. Par conséquent, 0 est l'une des solutions de cette inéquation.
MAIS COMMENT TROUVER TOUTES LES SOLUTIONS D'UNE INÉQUATION ?
100%
Comment résoudre une INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ ?
Les 3 règles d'or
Règle d'or n°1
Règle n°1
Exemple 1 :
Exemple 2 :
4 ≤ 5 4 + 2 ≤ 5 + 2 6 ≤ 7 L'inégalité est vraie : 6 est bien inférieur à 7.
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'inéquation.
4 ≤ 5 4 - 2 ≤ 5 - 2 2 ≤ 3 L'inégalité est vraie : 2 est bien inférieur à 3.
Cela ne change pas le sens de l'inégalité.
Règle d'or n°2
Règle n°2
Exemple 1 :
Exemple 2 :
On peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif les deux membres de l'inéquation.
4 ≤ 5 4 × 2 ≤ 5 × 2 8 ≤ 10 L'inégalité est vraie : 8 est bien inférieur à 10.
4 ≤ 5 4 ÷ 2 ≤ 5 ÷ 2 2 ≤ 2,5 L'inégalité est vraie : 2 est bien inférieur à 2,5.
Cela ne change pas le sens de l'inégalité.
Règle d'or n°3
Exemple 2 :
Exemple 1 :
Règle n°3
4 ≤ 5 Divisons par -2 sans changer le sens de l'inégalité : 4 ÷ (-2) ≤ 5 ÷ (-2) -2 ≤ -2,5 L'inégalité est fausse car -2 est plus grand que -2,5 ! Si on change le sens de l'inégalité (≤ devient ≥), on obtient : -2 ≥ -2,5 et cette inégalité est bien vraie.
4 ≤ 5 Multiplions par -2 sans changer le sens de l'inégalité : 4 × (-2) ≤ 5 × (-2) -8 ≤ -10 L'inégalité est fausse car -8 est plus grand que -10 ! Si on change le sens de l'inégalité (≤ devient ≥), on obtient : -8 ≥ -10 et cette inégalité est bien vraie.
Si l'on multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif les deux membres de l'inéquation, alors
le sens de l'inégalité change.
Résumé : Les 3 règles d'or
Règle n°3
Règle n°2
Règle n°1
On peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif les deux membres de l'inéquation.
Si l'on multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif les deux membres de l'inéquation, alors
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'inéquation.
Cela ne change pas le sens de l'inégalité.
Cela ne change pas le sens de l'inégalité.
le sens de l'inégalité change.
MÉTHODE
Étape n°3
Étape n°2
Étape n°1
On multiplie ou divise par un même nombre les deux membres de l'inéquation. Attention : S'il est négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.
On ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres de l'inéquation.
On détermine l'ensemble solution S.
But :
Pour t'aider :
But :
Séparer dans un membre les termes contenant l'inconnue "x" et dans l'autre les termes sans l'inconnue en utilisant la Règle n°1.
Tu peux représenter les solutions sur une droite graduée pour déterminer l'intervalle solution. Aide-toi du chapitre 1 si nécessaire.
Isoler l'inconnue "x" en utilisant la Règle n°2 ou la Règle n°3
Exemple 1 : Résolution de l'inéquation 3x+2≤5
3x + 2 ≤ 5
Étape 2 : On divise par 3 chaque membre de l'inéquation, cela ne change pas le sens de l'inégalité car 3 est un nombre positif. 3x÷3 ≤ 3÷3 Puis on simplifie (3x÷3=x et 3÷3=1). x ≤ 1
Étape 3 : x ≤ 1 signifie que les solutions de l'inéquation 3x + 2 ≤ 5 sont les nombres inférieurs ou égaux à 1. Autrement dit, l'ensemble solution est S=] - ∞ ; 1]
Étape 1 : On soustrait 2 à chaque membre de l'inéquation, cela ne change pas le sens de l'inégalité. 3x + 2 - 2 ≤ 5 -2 Puis on simplifie (+2-2=0 et 5-2=3). 3x ≤ 3
Exemple 2 : Résolution de l'inéquation -4x-5≤3
-4x - 5 ≤ 3
Étape 2 : On divise par -4 chaque membre de l'inéquation, cela CHANGE le sens de l'inégalité (≤ devient ≥) car -4 est un nombre négatif. (-4x) ÷ (-4) ≥ 8 ÷ (-4) Puis on simplifie ((-4x)÷(-4)=x et 8÷(-4)=-2). x ≥ -2
Étape 3 : x ≥ -2 signifie que les solutions de l'inéquation -4x - 5 ≤ 3 sont les nombres supérieurs ou égaux à -2. Autrement dit, l'ensemble solution est S = [-2 ; +∞[
Étape 1 : On ajoute 5 à chaque membre de l'inéquation, cela ne change pas le sens de l'inégalité. -4x - 5 +5 ≤ 3 +5 Puis on simplifie (-5+5=0 et 3+5=8). -4x ≤ 8
-2
-1
Entraînement
Munis-toi de ton cahier et d'un stylo, c'est à ton tour de résoudre quelques inéquations
NIVEAU 1
Résous les équations suivantes sur ton cahier. Si besoin, tu peux cliquer sur les aides. Lorsque tu as finis, clique sur la solution pour vérifier ta réponse.
Résoudre l'inéquation : 4x ≤ 16
Résoudre l'inéquation : -3x ≥ 45
AIDE
AIDE
SOLUTION
SOLUTION
Résoudre l'inéquation : -5x > -20
Résoudre l'inéquation : x ÷ 7 < -5
AIDE
AIDE
SOLUTION
SOLUTION
NIVEAU 2
Résous les équations suivantes sur ton cahier. Si besoin, tu peux cliquer sur les aides. Lorsque tu as finis, clique sur la solution pour vérifier ta réponse.
Résoudre l'inéquation : 2x + 1 > 7
Résoudre l'inéquation : 4x - 5 ≤ -1
AIDE 2
AIDE 2
AIDE 1
AIDE 1
SOLUTION
SOLUTION
Résoudre l'inéquation : -4x + 3 ≥ 2
Résoudre l'inéquation : -2x -8 < 0
AIDE 2
AIDE 1
AIDE 2
AIDE 1
SOLUTION
SOLUTION
NIVEAU 3
Résous les équations suivantes sur ton cahier. Si besoin, tu peux cliquer sur les aides. Lorsque tu as finis, clique sur la solution pour vérifier ta réponse.
Résoudre l'inéquation : 3x + 2 ≤ x - 10
Résoudre l'inéquation : 4(x+2) > x - 1
AIDE 2
AIDE 1
AIDE 1
AIDE 2
SOLUTION
SOLUTION
Fin du travail à faire pour ce jeudi 30/04
Quelques problèmes
4 problèmes à résoudre
Problème 2
Le camion
Problème 1
Les courses
Problème 3
Le cinéma
Problème 4
L'hôpital
PROBLÈME 1 - RÉSOLU
Pierre se rend au supermarché avec 30€. Il souhaite y acheter un poulet à 11,50€ et quatre flans. Pour que Pierre puisse payer ses achats, quel doit être le prix maximum d'un flan ?
Mise en équation du problème
Résolution de l'inéquation
11,5 + 4x ≤ 30 On soustrait 11,5 : 11,5 + 4x - 11,5 ≤ 30 - 11,5 On simplifie : 4x ≤ 18,5 On divise par 4 et le sens ne change pas car 4 > 0 : 4x ÷ 4 ≤ 18,5 ÷ 4 On simplifie : x ≤ 4,625
Quatre flans coûtent alors 4 × x €.Le montant des achats de Pierre est égal à 11,5 + 4x €. Le problème se traduit donc par 11,5 + 4x ≤ 30
Conclusion en lien avec le problème concret
Choix de l'inconnue
Pour que Pierre puisse payer ses achats, il faut qu'un flan coûte au maximum 4,62€
Je nomme x le prix d'un flan.
PROBLÈME 2 - GUIDÉ
Un camion pesant à vide deux tonnes doit passer sur un pont limité à 6 tonnes. Combien de caisses de 118 kg peut-il transporter ? Rappel : 1 tonne = 1000 kilogrammes
Le symbole te permet de vérifier tes réponses.
On note x le nombre de caisses de 118 kg.
Choix de l'inconnue
Résolution de l'inéquation
3. Résoudre cette inéquation
1. Exprimer, en kilogramme, le poids du camion contenant x caisses. 2. . En déduire une inéquation traduisant la situation.
Conclusion en lien avec le problème concret
Mise en équation du problème
4. Conclure
PROBLÈME 3 - GUIDÉ
Un cinéma propose deux tarifs différents. Tarif A : 9€ la séance ; Tarif B : abonnement annuel de 100€ puis 5€ par séance. On souhaite savoir à partir de combien de séances le tarif B devient plus avantageux que le tarif A.
Le symbole te permet de vérifier tes réponses.
Choix de l'inconnue
On note x le nombre de séances.
Résolution de l'inéquation
4. Résoudre cette inéquation
1. Exprimer en fonction de x le prix payé avec le tarif A. 2. Exprimer en fonction de x le prix payé avec le tarif B. 3. En déduire une inéquation traduisant la situation.
Conclusion en lien avec le problème concret
Mise en équation du problème
5. Conclure
PROBLÈME 4 - OUVERT
Les dépenses d'un service hospitalier sont de deux types : les charges fixes qui s'élèvent à 1200€ ; les charges variables qui s'élèvent à 350€ par patient. Le service ne doit pas dépenser plus de 7500€. Combien de patients ce service peut soigner ?
PROBLÈME 4 - RESTITUTION DES RÉPONSES
Après avoir résolu le problème 4 à l'écrit, répond au questionnaire accessible en cliquant sur l'onglet ci-dessous :
TRAVAIL TERMINÉ !
Bravo à vous
Résolution d'inéquations
siana.truant
Created on April 23, 2020
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Mme Truant
Résolution d'inéquations
Objectif : Résoudre une inéquation du premier degré
Déroulement
1ère étape
4ème étape
2ème étape
3ème étape
Comment résoudre une inéquation ? Les 3 règles d'or
Quelques problèmes
Entraînement
Qu'est ce qu'une inéquation ?
Qu'est ce qu'une inéquation ?
Définitions
Définitions
Résoudre une inéquation
Inéquation à une inconnue x
Solutions d'une inéquation
Une inéquation à une inconnue x est une inégalité (> , ≥ , <, ≤) qui est soit vraie soit fausse selon les valeurs de x.
Les valeurs de x pour lesquelles l'inégalité est vraie sont appelées solutions de l'inéquation.
Résoudre une inéquation, c'est trouver l'ensemble constitué de toutes ses solutions.
Exemple : l'inéquation 3x+2≤5
3x + 2 ≤ 5
5 est le second membre de l'inéquation
3x + 2 est le premier membre de l'inéquation
Il s'agit bien d'une inégalité
Exemple : l'inéquation 3x+2≤5
3x + 2 ≤ 5
Prenons x=4. 3x + 2 = 3×4 + 2 = 12 + 2 = 14 et 14≥5 L'inégalité est fausse pour x=4. Par conséquent, 4 n'est pas l'une des solutions de cette inéquation.
Prenons x=0. 3x + 2 = 3×0 + 2 = 0 + 2 = 2 et 2≤5 L'inégalité est vraie pour x=0. Par conséquent, 0 est l'une des solutions de cette inéquation.
MAIS COMMENT TROUVER TOUTES LES SOLUTIONS D'UNE INÉQUATION ?
100%
Comment résoudre une INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ ?
Les 3 règles d'or
Règle d'or n°1
Règle n°1
Exemple 1 :
Exemple 2 :
4 ≤ 5 4 + 2 ≤ 5 + 2 6 ≤ 7 L'inégalité est vraie : 6 est bien inférieur à 7.
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'inéquation.
4 ≤ 5 4 - 2 ≤ 5 - 2 2 ≤ 3 L'inégalité est vraie : 2 est bien inférieur à 3.
Cela ne change pas le sens de l'inégalité.
Règle d'or n°2
Règle n°2
Exemple 1 :
Exemple 2 :
On peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif les deux membres de l'inéquation.
4 ≤ 5 4 × 2 ≤ 5 × 2 8 ≤ 10 L'inégalité est vraie : 8 est bien inférieur à 10.
4 ≤ 5 4 ÷ 2 ≤ 5 ÷ 2 2 ≤ 2,5 L'inégalité est vraie : 2 est bien inférieur à 2,5.
Cela ne change pas le sens de l'inégalité.
Règle d'or n°3
Exemple 2 :
Exemple 1 :
Règle n°3
4 ≤ 5 Divisons par -2 sans changer le sens de l'inégalité : 4 ÷ (-2) ≤ 5 ÷ (-2) -2 ≤ -2,5 L'inégalité est fausse car -2 est plus grand que -2,5 ! Si on change le sens de l'inégalité (≤ devient ≥), on obtient : -2 ≥ -2,5 et cette inégalité est bien vraie.
4 ≤ 5 Multiplions par -2 sans changer le sens de l'inégalité : 4 × (-2) ≤ 5 × (-2) -8 ≤ -10 L'inégalité est fausse car -8 est plus grand que -10 ! Si on change le sens de l'inégalité (≤ devient ≥), on obtient : -8 ≥ -10 et cette inégalité est bien vraie.
Si l'on multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif les deux membres de l'inéquation, alors
le sens de l'inégalité change.
Résumé : Les 3 règles d'or
Règle n°3
Règle n°2
Règle n°1
On peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif les deux membres de l'inéquation.
Si l'on multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif les deux membres de l'inéquation, alors
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'inéquation.
Cela ne change pas le sens de l'inégalité.
Cela ne change pas le sens de l'inégalité.
le sens de l'inégalité change.
MÉTHODE
Étape n°3
Étape n°2
Étape n°1
On multiplie ou divise par un même nombre les deux membres de l'inéquation. Attention : S'il est négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.
On ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres de l'inéquation.
On détermine l'ensemble solution S.
But :
Pour t'aider :
But :
Séparer dans un membre les termes contenant l'inconnue "x" et dans l'autre les termes sans l'inconnue en utilisant la Règle n°1.
Tu peux représenter les solutions sur une droite graduée pour déterminer l'intervalle solution. Aide-toi du chapitre 1 si nécessaire.
Isoler l'inconnue "x" en utilisant la Règle n°2 ou la Règle n°3
Exemple 1 : Résolution de l'inéquation 3x+2≤5
3x + 2 ≤ 5
Étape 2 : On divise par 3 chaque membre de l'inéquation, cela ne change pas le sens de l'inégalité car 3 est un nombre positif. 3x÷3 ≤ 3÷3 Puis on simplifie (3x÷3=x et 3÷3=1). x ≤ 1
Étape 3 : x ≤ 1 signifie que les solutions de l'inéquation 3x + 2 ≤ 5 sont les nombres inférieurs ou égaux à 1. Autrement dit, l'ensemble solution est S=] - ∞ ; 1]
Étape 1 : On soustrait 2 à chaque membre de l'inéquation, cela ne change pas le sens de l'inégalité. 3x + 2 - 2 ≤ 5 -2 Puis on simplifie (+2-2=0 et 5-2=3). 3x ≤ 3
Exemple 2 : Résolution de l'inéquation -4x-5≤3
-4x - 5 ≤ 3
Étape 2 : On divise par -4 chaque membre de l'inéquation, cela CHANGE le sens de l'inégalité (≤ devient ≥) car -4 est un nombre négatif. (-4x) ÷ (-4) ≥ 8 ÷ (-4) Puis on simplifie ((-4x)÷(-4)=x et 8÷(-4)=-2). x ≥ -2
Étape 3 : x ≥ -2 signifie que les solutions de l'inéquation -4x - 5 ≤ 3 sont les nombres supérieurs ou égaux à -2. Autrement dit, l'ensemble solution est S = [-2 ; +∞[
Étape 1 : On ajoute 5 à chaque membre de l'inéquation, cela ne change pas le sens de l'inégalité. -4x - 5 +5 ≤ 3 +5 Puis on simplifie (-5+5=0 et 3+5=8). -4x ≤ 8
-2
-1
Entraînement
Munis-toi de ton cahier et d'un stylo, c'est à ton tour de résoudre quelques inéquations
NIVEAU 1
Résous les équations suivantes sur ton cahier. Si besoin, tu peux cliquer sur les aides. Lorsque tu as finis, clique sur la solution pour vérifier ta réponse.
Résoudre l'inéquation : 4x ≤ 16
Résoudre l'inéquation : -3x ≥ 45
AIDE
AIDE
SOLUTION
SOLUTION
Résoudre l'inéquation : -5x > -20
Résoudre l'inéquation : x ÷ 7 < -5
AIDE
AIDE
SOLUTION
SOLUTION
NIVEAU 2
Résous les équations suivantes sur ton cahier. Si besoin, tu peux cliquer sur les aides. Lorsque tu as finis, clique sur la solution pour vérifier ta réponse.
Résoudre l'inéquation : 2x + 1 > 7
Résoudre l'inéquation : 4x - 5 ≤ -1
AIDE 2
AIDE 2
AIDE 1
AIDE 1
SOLUTION
SOLUTION
Résoudre l'inéquation : -4x + 3 ≥ 2
Résoudre l'inéquation : -2x -8 < 0
AIDE 2
AIDE 1
AIDE 2
AIDE 1
SOLUTION
SOLUTION
NIVEAU 3
Résous les équations suivantes sur ton cahier. Si besoin, tu peux cliquer sur les aides. Lorsque tu as finis, clique sur la solution pour vérifier ta réponse.
Résoudre l'inéquation : 3x + 2 ≤ x - 10
Résoudre l'inéquation : 4(x+2) > x - 1
AIDE 2
AIDE 1
AIDE 1
AIDE 2
SOLUTION
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Fin du travail à faire pour ce jeudi 30/04
Quelques problèmes
4 problèmes à résoudre
Problème 2
Le camion
Problème 1
Les courses
Problème 3
Le cinéma
Problème 4
L'hôpital
PROBLÈME 1 - RÉSOLU
Pierre se rend au supermarché avec 30€. Il souhaite y acheter un poulet à 11,50€ et quatre flans. Pour que Pierre puisse payer ses achats, quel doit être le prix maximum d'un flan ?
Mise en équation du problème
Résolution de l'inéquation
11,5 + 4x ≤ 30 On soustrait 11,5 : 11,5 + 4x - 11,5 ≤ 30 - 11,5 On simplifie : 4x ≤ 18,5 On divise par 4 et le sens ne change pas car 4 > 0 : 4x ÷ 4 ≤ 18,5 ÷ 4 On simplifie : x ≤ 4,625
Quatre flans coûtent alors 4 × x €.Le montant des achats de Pierre est égal à 11,5 + 4x €. Le problème se traduit donc par 11,5 + 4x ≤ 30
Conclusion en lien avec le problème concret
Choix de l'inconnue
Pour que Pierre puisse payer ses achats, il faut qu'un flan coûte au maximum 4,62€
Je nomme x le prix d'un flan.
PROBLÈME 2 - GUIDÉ
Un camion pesant à vide deux tonnes doit passer sur un pont limité à 6 tonnes. Combien de caisses de 118 kg peut-il transporter ? Rappel : 1 tonne = 1000 kilogrammes
Le symbole te permet de vérifier tes réponses.
On note x le nombre de caisses de 118 kg.
Choix de l'inconnue
Résolution de l'inéquation
3. Résoudre cette inéquation
1. Exprimer, en kilogramme, le poids du camion contenant x caisses. 2. . En déduire une inéquation traduisant la situation.
Conclusion en lien avec le problème concret
Mise en équation du problème
4. Conclure
PROBLÈME 3 - GUIDÉ
Un cinéma propose deux tarifs différents. Tarif A : 9€ la séance ; Tarif B : abonnement annuel de 100€ puis 5€ par séance. On souhaite savoir à partir de combien de séances le tarif B devient plus avantageux que le tarif A.
Le symbole te permet de vérifier tes réponses.
Choix de l'inconnue
On note x le nombre de séances.
Résolution de l'inéquation
4. Résoudre cette inéquation
1. Exprimer en fonction de x le prix payé avec le tarif A. 2. Exprimer en fonction de x le prix payé avec le tarif B. 3. En déduire une inéquation traduisant la situation.
Conclusion en lien avec le problème concret
Mise en équation du problème
5. Conclure
PROBLÈME 4 - OUVERT
Les dépenses d'un service hospitalier sont de deux types : les charges fixes qui s'élèvent à 1200€ ; les charges variables qui s'élèvent à 350€ par patient. Le service ne doit pas dépenser plus de 7500€. Combien de patients ce service peut soigner ?
PROBLÈME 4 - RESTITUTION DES RÉPONSES
Après avoir résolu le problème 4 à l'écrit, répond au questionnaire accessible en cliquant sur l'onglet ci-dessous :
TRAVAIL TERMINÉ !
Bravo à vous