gauss

Factorización de polinomios

Lema de Gauss

Este método permite hallar las raíces racionales de polinomios de grado mayor a dos

Las posibles raíces racionales de un polinomio de coeficientes enteros, en el que Q es el conjunto de divisores del coeficiente principal y P el conjunto de divisores del término independiente, tienen la forma

Si las tiene raíces racionales, las utilizaremos para factorizarlo. Veamos un ejemplo:

Primer paso

Armamos los conjuntos P y Q: P: divisores del término independiente (-4) P = {1; -1, 2; -2; 4; -4} Q: divisores del coeficiente principal (3) Q = {1; -1, 3; -3}

Segundo paso

Dados los elementos de P y Q, armamos todos los posibles valores de P/Q. P = {1; -1, 2; -2; 4; -4} Q = {1; -1, 3; -3}

Si el polinomio tiene alguna raíz racional, estará en ese conjunto

Tercer paso

Reemplazamos los valores del conjunto P/Q hasta encontrar alguno que sea una raíz del polinomio.

Podemos verificar mediante el teorema del resto que -1 y 1 no son raíces y que -1/3 si.

Aplicamos Ruffini

Cuarto paso

Como -1/3 es raíz de P(x), sabemos que P(x) es divisible por (x+1/3). Realizaremos la división P(x):(x+1/3) usando la regla de Ruffini. Vemos que es el polinomio cociente de dicha división, por lo tanto se puede expresar P(x) como:

Aplicamos Ruffini

Cuarto paso

Como -1/3 es raíz de P(x), sabemos que P(x) es divisible por (x+1/3). Realizaremos la división P(x):(x+1/3) usando la regla de Ruffini. Vemos que es el polinomio cociente de dicha división, por lo tanto se puede expresar P(x) como:

P(x) quedó expresado como un producto, pero aún no está totalmente factorizado. Si observamos el segundo factor, no daremos cuanta que podemos extraer factor común 3 y luego aplicar direncia de cuadrados... y colocando delante el coeficiente principal, obtenemos:

Quinto paso

Ahora si está totalmente factorizado

Resumiendo

1° Obtenemos los divisores del término independiente (P) y del coeficiente principal (Q).2°Dividimos los primeros respecto de los segundos (P/Q). 3°Aplicamos teorema del resto para verificar cuáles de aquellos valores es raíz. 4° Factorizamos mediante la regla de Ruffini y expresamos al polinomio como producto. 5° Verificamos si el polinomio está factorizado. En caso de no estarlo, seguimos aplicando métodos.

¡fin de la clase!