Probabilidad 4ESO MAT A

Unidad Didáctica

Probabilidad

4º ESO Matemáticas A

David Martínez Martínez

ÍNDICE

1. Introducción

7. Diagramas de Venn

2. Experimento aleatorio

8. Propiedades de la probabilidad

3. Sucesos

9. Experimentos compuestos. Diagramas de árbol.

4. Probabilidad de un suceso

5. La Regla de Laplace

10. Regla del producto

6. Operaciones con sucesos

11. Probabilidad condicionada

12. Resolución de problemas

1. Introducción

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. En el lenguaje cotidiano, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre. Un poco de história : El caballero De Meré, le propuso a Pascal una serie de problemas de azar relacionados con el juego y las apuestas. Posteriormente, Pascal intercambió correspondencia con su amigo Pierre Fermat, y ambos crearon los principios fundamentelas del cálculo de probabilidades. A partir de entonces, otros matemáticos profundizaron en este nuevo campo. Entre los que podemos destacar al suizo Jacob Bernoulli y el francés Laplace. La definición que se usa actualmente de Probabilidad fue dada recientemente en el siglo XX, por Kolmogorov.

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2. Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o el azar. Cuando conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo, decimos que es un experimento determinista. Ejemplo : El juego de la rana consiste en lanzar discos de metal a la boca de una rana. Siempre que tiras puedes acertar o no, y siempre el disco cae por efecto de la gravedad.

• El primer caso es un experimento aleatorio.
• El segundo caso es un experimento determinista

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Ejemplo :experimentos aleatorios.

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3. Sucesos

Un suceso elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Al conjunto de todos los sucesos elementales se le llama espacio muestral. Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplos : Tiramos un dado y calculamos el espacio muestral. Un suceso elemental sería, por ejemplo, que al tirar el dado saliese dos: Un suceso compuesto o no elemental sería, por ejemplo, que al tirar el dado saliese un número par:

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3. Sucesos

Un suceso compuesto es aquel que está formado por dos o más sucesos elementales. Ejemplo : En el lanzamiento de un dado, consideramos los sucesos compuestos: A = “salir impar” B = “salir múltiplo de 2” C = “salir par” El suceso contrario es aquel que se verifica cuando no ocurre A y se escribe, En el ejemplo : "no salga impar" :

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3. Sucesos

Cuando dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente decimos que son compatibles; en caso contrario, se denominan incompatibles. En el lanzamiento de un dado, consideramos los sucesos compuestos:

• A = “salir impar”
• B = “salir múltiplo de 2”
• C = “salir par”

donde:

• A y B son incompatibles.
• B y C son compatibles.

Los sucesos elementales son siempre incompatibles. El suceso seguro es aquel que siempre ocurre, se designa por E (espacio muestral). Un suceso se dice imposible a aquel quenunca ocurre, se designa por Ø (conjunto vacío).

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Ejemplo 1: espacio muestral

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Ejemplo 2: sucesos

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4.Probabilidad de un suceso

La probabilidad de un suceso, P, indica el grado de confianza que podemos tener en que ese suceso ocurra. Se expresa mediante un número comprendido entre 0 y 1. Cuando más se acerque la probabilidad de un suceso a 1, mayor será la facilidad de que ocurra, y cuando más se acerque a 0, más difícil es que pase. Un suceso seguro, A, es aquel que siempre ocurre, y su probabilidad es 1, P (A) = 1. Se dice que un suceso es un suceso imposible, que denotamos por Ø, cuando nunca ocurre, es decir, cuando su probabilidad es 0, P (Ø) = 0.

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4.Probabilidad de un suceso

Frecuencia (ƒ) : es el número de veces que ocurre un suceso. Frecuencia relativa (ƒr) : es la proporción de veces que ocurre el suceso. Ejemplo : se lanzan 1000 veces una moneda y estos los resultados obtenidos: Al repetir muchas veces, N, una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de cada suceso, S, toma valores muy parecidos a su probabilidad: fr(S) ≈ P[S] . Y cuanto más grande sea N más se parece fr(S) a P[S]. Esta propiedad se llama ley de los grandes números.

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Ejemplo :frecuencia relativa.

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5. Regla de Laplace

Un experimento es regular cuando todos sus sucesos elementales tienen la misma probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables. La regla de Laplace afirma que: “La probabilidad de un suceso es igual al número de casos elementales que contiene el suceso dividido entre el número total de sucesos elementales”. Ejemplo : César tiene una bolsa con 6 caramelos: 2 de melón y 4 de frambuesa. Si se coge un caramelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de frambuesa? ¿ Y de melón?

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Ejemplo 1:Regla de Laplace.

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Ejemplo 2:Regla de Laplace.

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6. Operaciones con sucesos

La intersección de dos sucesos, C y D, es otro suceso formado por todos los sucesos comunes de C y D, y se escribe C ∩ D.

• A ∩ B es que pase A y B

La unión de dos sucesos, A y B, es otro suceso formado por todos los sucesos elementales que hay en A y en B, y se escribe A U B. A U B es que pase A o B Cualquier suceso compuesto se puede expresar como unión de sucesos elementales. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, consideramos los sucesos compuestos: A = “salir par” B = “salir no primo” Salir número par y no primo: A ∩ B: Salir número par o no primo: A U B:

• El término de grado 0 es el término independiente del polinomio.
• El término de mayor grado, se denomina término principal.
• El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

El valor numérico de P(x) para el varlor x=a, se escribe, P(a), y se obtiene sustituyendo x por a.

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6. Operaciones con sucesos

Un suceso contrario o complementario de un suceso A es otro suceso formado por los sucesos elementales del espacio muestral que no están en A. Se escribe: El contrario de la unión es la intersección de los contrarios. El contrario de la intersección es la unión de los contrarios. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, consideramos los sucesos compuestos: A = “salir par” B = “salir no primo” No salir número par : Salir número no par y primo:

• El término de grado 0 es el término independiente del polinomio.
• El término de mayor grado, se denomina término principal.
• El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

El valor numérico de P(x) para el varlor x=a, se escribe, P(a), y se obtiene sustituyendo x por a.

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Ejemplo 3:Regla de Laplace.

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Ejemplo 1:Operaciones con sucesos

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Ejemplo2:Operaciones con sucesos

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7. Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Para calcular las probabilidades son muy útiles los diagramas de Venn. En los diagramas de Venn, lo más importante es saber la intersección. Ejemplo: Tirar un dado = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } siendo A=salir nº par{2, 4, 6 } y B = salir múltiplos de 3={3, 6}. AUB = {2, 3,4, 6} A∩B = {6}

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8. Propiedades de la probabilidad

Algunas propiedades de la probabilidad son: La probabilidad de un suceso A, P(A), verifica que: La probabilidad del suceso seguro, P(E), es 1 y la probabilidad del suceso imposible, P (Ø), es 0. Cuando dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades. La probabilidad de cualquier suceso es igual a 1 menos la probabilidad de su contrario. La probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera es la suma de sus probabilidad menos la de la probabilidad intersección.

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Ejemplo:propiedadesde la probabilidad

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9. Experiencias compuestas . Diagramas de árbol

Se llaman experiencias compuestas a aquellas en las que se pueden distinguir dos o más etapas. Un herramienta que nos puede ayudar al cálculo de probabilidadees en experiencias compuetas ,son los diagramas en árbol. Ejemplo: en una urna hay 2 bolas rosas y 3 azules. Se extrae una primera bola y se anota el color, devolviendo la bola a la urna. Se vuelve a extraer una segunda bola y se anota el color.

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Ejemplo 1: Diagrama de árbol

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Ejemplo 2: Diagrama de árbol

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10. Regla del producto

La regla del producto es una forma de calcular la probabilidad de la intersección de sucesos. Dos sucesos son independientes cuando: Ejemplo: en una urna hay 2 bolas rosas y 3 azules. Se extrae una primera bola y se anota el color, devolviendo la bola a la urna. Se vuelve a extraer una segunda bola y se anota el color.

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Ejemplo : Regla del producto,sucesos independientes

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11. Probabilidad condicionada

El cálculo de la probabilidad condicionada de un suceso B, cuando conocemos otro suceso A, se denomina probabilidad condicionada . Se escribe P (B/A) y se lee “probabilidad de B condicionada a A”. Con esta fórmula se puede utilizar para calcular la probabilidad condicionada: Ejemplo : En una guardería hay 10 niños y 12 niñas, de los cuales 6 niños y 8 niñas juegan habitualmente a la pelota. Sucesos :A= “ser niña” C= “jugar pelota” B= “ser niño” D= “no jugar pelota” Si escogemos un niño al azar, calcular: a) Juegue a la pelota y sea niño. b) Juegue a la pelota o sea niño. c) Sea niña sabiendo que juega a la pelota.

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12. Resolución de problemas

Ten en cuenta que :Cada problema es diferente. Cuantos mas problemas estudies, mejor. Lee la pregunta final, y busca un suceso que describa lo que te están pidiendo. Tendrás pistas. Conviertelas en expresiones o sucesos.

Procedimiento para resolver problemas:

1. Antes de comenzar a leer el enuciado del problema ve al final de dicho enunciado. ¿Que te piden?
2. Comienza a leer el eunciado.
3. Anota todos los datos que te dan.
4. Si te cuesta interpretarlo ,intenta realizar un dibujo , diagrama de Venn o un diagrama de árbol.
5. Si no lo ves claro vuelve a leer el enunciado
6. Traduce el enunciado al lenguaje de los sucesos.
7. Plantea la probabilidad y resuelvelo.
8. Comprueba tus soluciones y preguntate , ¿Tiene sentido el resultado obtenido?

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12. Resolución de problemas

Simulación del problema de "Monty Hall"El juego comienza con tres telones cerrados. Solamente en uno de ellos se oculta el coche, mientras que en los otros están los burros. Después de que elijas un telón, una de las otras dos se descubre que está un burro. Puedes elegir quedarte con tu primera selección o cambiar al otro telón cerrado que queda. Tus resultados se guardan y puedes ver las probabilidades de ganar cambiando o no cambiando el telón. Hay también una opción para ver dónde está el premio y comprobar que el juego no te "engaña” Por supuesto, si estás jugando viendo el telón del coche (¡¡es trampa!!), los resultados de la probabilidad no serán válidos.

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Ejemplo : Resoluciónde problemas.

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Agradecimientos