La factorisation

La

Factorisation

de polynômes du second degré.

Beys Virginie

Infos pratiques

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INDEX

2) diviser un monôme

3) mise en évidence

1) définition

5) a²+2ab+b²

6) mix

4) a²-b²

7) x²+Sx+P

QUIZZ

1) La factorisation

Définition

Exemple

lorsqu’on factorise 4x+8 cela donne 4.(x+2)

C’est transformer une somme en produit.

2) Décomposer un monôme

Rappels:

132x³=12x . ...

132x³=12x . 11x²

monôme = un seul terme ex: -4x³ (pas d’addition, ni de soustraction) polynôme = plusieurs termes ex: 4x³+2x-1 (somme de plusieurs monômes)

on calcule d’abord la partie numérique (les nombres) et ensuite la partie littérale (les lettres)

132x³ : 12x = (132 : 12) . (x³ : x) = 11 x²

3) La mise en évidence

exemple:

45x³y + 72x²yz

9x²y .(5x+8z)

Pour la partie littérale: On cherche le PGCD de x³y et x²y: x³y=x.x.x.y = x²y .x x²yz=x.x.y.z = x²y.z on prend chaque lettre commune avec son plus petit exposant.

Pour la partie numérique: On cherche le PGCD de 45 et 72 div 45={1;3;5;9;15;45} div 72={1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72} 45=9.5 et 72=9.8

Il s’agit en fait de l’opération inverse de la distributivité: si 8x.(x+2) = 8x² +16x alors: 8x² +16x = 8x.(x+2)

45x³y + 72x²yz = (9.5) (x²y.x) + (9.8) (x²y.z) = 9x²y . (5x + 8z)

4) Factoriser une différence de 2 carrés

a² - b² = (a-b).(a+b)

4x² - 81 = (2x - 9) . (2x + 9)

C'est la formule (= la recette, la méthode) à appliquer.

4x² est le carré de 2x car 2x.2x = 4x²81 est le carré de 9 car 9.9=81

5) Factoriser un polynôme en utilisant une identité remarquable

25x² +81 -90x = ?

Combien y a-t-il de termes?

3 termes

Quelle identité remarquable vais-je appliquer?a²+2ab+b² ou a²-2ab+b² ou a²-b²

a²-2ab+b²

Mon calcul est-il dans " l'ordre " ? Si non remets-le dans l'ordre.

25x² -90x +81

Quels sont les deux carrés?

25x² est le carré de 5x et 81 celui de 9

Est-ce que le double produit est correcte?

OUI: 2 . 5X . 9 = 90x

Appliquons alors la formule: a²-2ab+b²= (a-b)²

25x² -90x +81 = (5x -9)²

6) Mise en évidence et produits remarquables.

Procédure à suivre:

Exemples:

2x²-18 = 2. (x²-9) =2.(x-3).(x+3)

1) Peut-on faire une mise en évidence?

2) Le résultat peut-il être factorisé à l'aide d'un produit remarquable?

12x³-60x²+75x = 3x. (4x²-20x+25) =3x.(2x-5)²

7) Factoriser ax²+bx+c lorsque a=1

x²+Sx+P=(x+m).(x+n) où S=m+n et P=m.n

Exemple:

x²-6x-16

(x+2).(x-8)

Cette méthode ne fonctionne que si le coefficient du x² vaut 1 ( a=1).On a alors une expression de la forme x² +Sx+P et on peut la factoriser sous la forme (x+m).(x+n) où S=m+n (la SOMME de m et n) et P=m.n (le PRODUIT de m et n)

S= -6 et P= -16Ecrivons TOUS les produits (de nombres entiers) qui donnent -16: -1.16 1.(-16) -2.8 2.(-8) -4.4

Ensuite calculons leur somme et prenons ceux dont la somme donne -6:-1+16=15 1+(-16)=-15 -2+8=6 2+(-8)=-6 -4+4=0

Donc m=2 et n=-8 et on obtient comme factorisation: x²+Sx+P = (x+m).(x+n) x²-6x-16 = (x+2).(x-8)

En construction

80%

A suivre...