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Función Cuadrática
Lau Prosdocimo
Created on March 24, 2020
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Transcript
Función Cuadrática
Forma Polinómica, Canónica y Factorizada
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA?
Una función es cuadrática cuando su ecuación corresponde a una expresión de grado 2.
Las funciones cuadráticas tienen
ÍNDICE
¿Cómo leer este material?
ElementosPrincipales
Forma Polinómica
Forma canónica
Forma Factorizada
¿CÓMO NAVEGAR?
iinstrucciones de uso
Este es un material interactivo en el que podrán elegir en qué orden abordar los temas. A continuación algunas recomendaciones para aprovecharlo al máximo.
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Vértice
Eje de simetría
Elementos principales
intersección eje x
Elegí uno de los elementos
intersección eje y
ELEMENTOS
Vértice: V=(Xv; Yv)
El vértice de una parábola es su punto máximo o mínimo.
- Si a > 0 (positivo) el vértice es mínimo
- Si a < 0 (negativo) el vértice es máximo
ELEMENTOS
Eje de Simetría
El eje de simetría es una recta paralela al eje y Contiene al vértice y divide a la parábola en dos ramas iguales. La ecuación del eje de simetría es:
En el caso de la función cuadrática, los puntos a la izquierda del eje tienen su punto simétrico del lado derecho y viceversa. Los puntos simétricos están a la misma distancia del eje.Pueden comprobar la simetría en el gráfico....
ver gráfico
ELEMENTOS
Raíces o Ceros: Intersección con eje x
En los puntos en los que la función corta al eje x, la coordenada y es nula. Es decir, que solo falta conocer la coordenada x . Para hallarla se plantea esta ecuación:
Cómo resolver la ecuación depende de cómo esté presentada, más adelante lo estudiaremos en detenimiento.
ELEMENTOS
Ordenada: Intersección con eje y
En los puntos en los que la función corta al eje y, la coordenada x es nula. Por lo tanto, hallar el valor de la ordenada es muy simple. Solo hay que calcular la imagen de x =0
ELEMENTOS
Gráfico
Se ubica en el plano: Vértice, Eje de Simetría e Intersecciones con los ejes (raíces y ordenada). Uniendo esos puntos queda una curva.
Esa curva se llama PARABÓLA
Info
ELEMENTOS
Ejemplo
El punto verde es el VÉRTICE Los puntos amarillos son las Intersecciones con eje x El punto negro es la Intersección con eje y
Ecuación polinómica
Habitualmente se presenta la función cuadrática en su forma polinómica:
Donde a,b y c son tres numeros reales llamados Coeficiente cuadrático, coeficiente lineal y coeficiente independiente respectivamente.
¡Atención!
porque al multiplicar por cero el valor que pudiera tomar la variable se anula.
Ecuación polinómica
Vértice
¿Cómo graficar?
Eje de simetría
Primero debemos calcular cuatro elementos característicos de la parabóla. Luego, los ubicamos en el plano para poder graficar.
intersección eje x
intersección eje y
forma polinómica
Vértice
Calcular Xv Para calcular la coordenada x se utiliza esta fórmula:
Calcular Yv Sabiendo el valor de la coordenada x, solo queda reemplazar este valor en la ecuación de la función. Es decir:
forma polinómica
Eje de Simetría
Es una recta paralela al eje y que contiene al vértice. Su ecuación es En el gráfico se representa como un línea punteada.
forma polinómica
Raíces o ceros: Intersección con eje x
Se plantea y resuelve esta ecuación:
¿Cómo resolver la ecuación? Depende, si la ecuación...
está incompleta está completa
Leer más
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¿Cómo usar la fórmula? Discriminante
Leer más
Leer más
Ver
forma polinómica
Ordenada: Intersección eje y
Para calcular la ordenada se reemplaza la variable por 0 y se calcula la imagen:
Como las potencias de 0 valen 0, al sumar o restar solo queda un término:
forma polinómica
Video Tutorial
Ecuación canónica
Antes de presentar la ecuación canónica veamos algunas cuestiones importantes.
La función graficada: está asociada a una parábola.Esta parábola tiene vértice en el origen, es decir V=(0;0). Además este vértice es un mínimo y su concavidad es positiva. Si modificamos la ecuación de esta parábola veremos interesantes cambios en el gráfico...
Desplazamiento vertical
Si a la función:le agregamos un número real k sumando o restando veremos que su gráfico se desplaza verticalmente (hacia arriba o hacia abajo respectivamente). Resulta una nueva función que denominamos: Pueden experimentar en gráficamente o hacer zoom
VER GRÁFICO
Desplazamiento Horizontal
De igual modo, se puede lograr que la gráfica se desplace horizontalmente. Esta vez la función sería: Tengan en cuenta que h también es un número real. Pueden experimentar en gráficamente o hacer zoom
VER GRÁFICO
¿Y si combinamos los desplazamientos?
Si la gráfica se desplazará horizontal y verticalmente, su vértice también se movería. Ya no quedaría sobre los ejes. Intenten Uds. Pueden modificar el gráfico en forma manual... Solo tienen que arrastar sobre los puntos rojos (h y k) ¿Cómo? Es muy fácil! Se posicionan sobre el punto rojo hasta que aparezca un ícono con forma de manito, luego sin soltar el botón izquierdo del mouse se mueven horizontal o verticalmente.
VER GRÁFICO
Ecuación canónica
La ecuación canónica es aquella en la que se presenta el vértice de la parábola. Su forma general responde a la ecuación:
En resumen, los valores h y k con los que trabajamos anteriormente se corresponden con las coordenadas del vértice.
¡Atención! El número a se relaciona con la concavidad (Nada tiene que ver con determinar las coordenadas del vértice)
Vértice
¿Cómo graficar?
Ecuación canónica
Eje de simetría
Primero debemos reconocer las coordenadas del vértice. Luego, hay que encontrar las intersecciones con los ejes y el eje de simetría para poder graficar
intersección eje x
intersección eje y
Forma canónica
Vértice
Sus coordenadas se obtienen de la ecuación: El vértice es el punto:
Ejemplo
Forma canónica
Eje de Simetría
El eje de simetría es una recta vertical (paralela al eje y) que pasa por el vértice de la parábola y que la divide en dos ramas iguales. Cada punto de la función tiene su simétrico del otro lado del eje. Su ecuación es:
Forma canónica
Raíces o ceros: Intersección con eje x
Todos los puntos sobre el eje x tienen coordenada y = 0. Entonces para hallar las raíces o ceros se debe igualar a cero: y despejar la ecuación planteada
Forma canónica
Ordenada: Intersección eje y
Para calcular la ordenada se reemplaza la variable por 0 y se calcula la imagen. En otras palabras, para calcular la ordenada: Al resolver el cálculo prestar mucha atención a la separación en términos.
Forma canónica
Video Tutorial
Ecuación factorizada
Ahora vamos a trabajar con las raíces (o ceros) de la función cuadrática. Ya sabemos que corresponden a la coordenada x en los puntos de intersección con dicho eje.
Esta vez tienen que modificar la función y sacar sus propias conclusiones.... ¿Cómo? Vayan a la casilla que tiene las raíces y borren los números que aparecen. Luego, escriban los valores que quieran... Y PRESIONEN ENTER!
VER GRÁFICO
Ecuación factorizada
Una función cuadrática se puede expresar en forma factorizada si posee raíces (o ceros) reales. La forma responde a la ecuación Donde X1 y X2 son números reales y corresponden al valor de las raíces. Como ya mencionamos al momento de graficar las raíces se ubican sobre el eje de las x. Por tal motivo, las raíces se encuentran a la misma distancia del eje de simetría. ¡Atención! El valor a no influye en las raíces. Sino que modifica la amplitud de la parábola y su concavidad.
Vértice
¿Cómo graficar?
Ecuación factorizada
Eje de simetría
Primero se ubican las raíces. Luego se calculan las coordenadas del vértice, eje de simetría y por último la ordenada.
intersección eje x
intersección eje y
forma factorizada
Vértice
Calcular Xv Para calcular la coordenada x se busca el promedio de las raíces:
Calcular Yv Para calcular la coordenada y, se obtiene el valor de la imagen. Es decir, se reemplaza el valor de Xv en la ecuación.
forma factorizada
Eje de Simetría
El eje de simetría es una recta paralela al eje y Contiene al vértice y divide a la parábola en dos ramas iguales. La ecuación del eje de simetría es:
forma factorizada
Raíces o ceros: Intersección con eje x
Como ya dijimos, hay que igualar a cero y despejar la ecuación. Es decir: En este caso, la solución de esta ecuación es inmediata: Los valores X1 y X2
Ejemplo
forma factorizada
Ordenada: Intersección eje y
Para calcular la ordenada se reemplaza la variable por 0 y se calcula la imagen. En otras palabras, para calcular la ordenada: Al resolver el cálculo prestar mucha atención a la separación en términos.
forma factorizada
Video Tutorial