Limite

UNIDAD 2: LIMITES

Definición intuitiva de límite de una función en un punto. Limites laterales. Regla práctica para el cálculo de límites. Propiedades de los límites. Límites indeterminados. Limites infinitos y al infinito.

MateriAl recompilAdo por

Prof. Melisa Fernandez

Indice

Limites Infinitos

Limites

Pág. 4-6

Pág. 7-9

Pág. 3

Introducción

Limites al infinito

Pág. 16-17

Pág. 12-15

Indeterminaciones

Pág. 20

Practica

Propiedades

Pág. 10-11

INTRODUCCIÓN

LIMITES

Cuando x es igual a 1, la función no está definida. Ya que no podemos analizar la función en x = 1, vamos a acercarnos todo lo que podamos a x = 1, tanto por la izquierda (valores menores a 1), como por la derecha (valores mayores a 1).

Definición intituitiva

El límite de una función f(x) en el punto a, es el valor al que se acercan las imágenes (las y o f(x)), cuando las originales (las x) se acercan al valor de a. En otras palabras, es el valor al cual tienden las imágenes f(x) cuando las x tienden al valor de a. Lo expresamos de la siguiente manera

Veamos ahora algunos detalles y también los ejercicios resueltos que hemos preparado para este tema:

Como vemos, las imágenes se acercan cada vez más a 2, cuando los valores de x se acercan cada vez más a 1, tanto por la izquierda como por la derecha. Este comportamiento lo podemos verificar de forma gráfica:

A manera de ejemplo, vamos a trabajar con la función f(x): ¿Qué pasaría si analizamos la función f(x) en x = 1?

Entonces, podemos confirmar que los valores de las imágenes f(x) se acercan al valor de 2, cuando los valores de x se acercan al valor de 1. Esto es el concepto de límite

Limites

Ejemplo

Podemos observar que las imágenes f(x) se acercan al valor de 4, cuando las x se acercan a 2, por ello:

Entonces

Profundizamos sobre el tema

Aclaración

Límite concepto, tabla, y graficas

Límites Laterales

Límites infinitos

Y si realizamos una tabla de valores:

Los límites infinitos son aquellos en los que las imágenes f(x) aumentan o disminuyen sin límite cuando x se aproxima a un valor a. Existen varios casos de límites infinitos, veamos algunos ejemplos, ejercicios resueltos y aplicaciones. De forma general, los representamos como:

Para que el límite exista, las imágenes deben acercarse a un valor real cuando las x se acercan a cero. Sin embargo, en este problema, las imágenes no se acercan a ningún valor real. A partir de la gráfica, podemos ver que cuando los valores de x se acercan a cero, las imágenes crecen sin límite, por lo tanto, el límite no existe:

Ejemplo de límite infinito Indicar si existe el siguiente límite:

Si graficamos la función::

¿Y ahora qué hacemos? Si bien el límite no existe, podemos usar la notación de límites para expresar el comportamiento de la función: las imágenes tienden a infinito (crecen sin límite) , cuando x tiende a cero.

Aclaración

Limites Infinitos

Ejemplo

Todos los casos de límites infinitos Dado que los límites infinitos también aparecen en los límites laterales, tenemos varios casos de límites infinitos:

Tomando en cuenta la gráfica, determinar los siguientes límites laterales

Asíntotas verticales En todos los casos de límites infinitos, aparece siempre una asíntota vertical en x = a. No lo olvides, siempre que aparece un límite infinito, aparece una asíntota vertical. Ejemplo:

De la gráfica, podemos apreciar que:

Profundizamos sobre el tema

PUEDES ESCRIBIR UNA INTRODUCCIÓN

PRACTICA

REAlIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES INTERECTIVAS

ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 2

ACTIVIDAD 3

PROPIEDADES DE LIMITES

Los límites tienen una serie de leyes y propiedades que debemos dominar y que son muy útiles para resolver problemas. Veamos cada una de estas leyes y propiedades a detalle.

Propiedades Limites

Veamos ahora una propiedad muy importante, la cual nos permitirá comprender varias de las leyes: Propiedad de sustitución directa: si «f» es una función polinomial o una función racional y «a» está en el dominio de «f»; entonces:

PROFUNDIZAMOS

Ejemplos Calcular siguientes límites:

De la gráfica, podemos apreciar que:

INDETERMINACIONES

INDETERMINACIONES 0/0

INDETERMINACIONES 0/0

¿Por qué un número dividido entre cero “da” infinito?

PRACTICA

REAlIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES INTERECTIVAS

ACTIVIDAD

ACLARACIÓN

LIMITES AL INFINITO

INDETERMINACIONES INFINITO/INFINITO

INDETERMINACIONES INFINITO/INFINITO

INDETERMINACIONES INFINITO/INFINITO

INDETERMINACIONES INFINITO/INFINITO

PRACTICA

REAlIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES INTERECTIVAS

ACTIVIDAD

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