Современный мир чисел

Сетевой проект «Узы дружбы в мире чисел». Команда «Числовые гении»

Экскурсия № 2 «Совершенные числа».

Содержание

1. История совершенных чисел. Этапы открытия совершенных чисел.

2. Ученые, занимавшиеся изучением совершенных чисел.

Галерея ученых

3. Свойства совершенных чисел.

4. Нерешенные вопросы, связанные с совершенными числами.

5. Ответ на вопрос «Прав ли был Мерсенн?»

6. Каким образом обычай почти у всех цивилизованных народов носить обручальное кольцо на безымянном пальце связан с понятием «совершенное число»?

7. Интересные факты о совершенных числах.

8. Источники информации.

9. Видео

Экскурсия

Уважаемые гости ,мы рады приветствовать вас на нашей экскурсии. Мы с вами познакомимся с историей открытия совершенных чисел. Узнаем имена ученых, которые занимались открытием совершенных чисел. Какие нерешенные вопросы остаются в области изучения совершенных чисел.

Совершенное число – это числа, сумма делителей которого равняется этому числу. Имеются в виду только те числители, что меньше самого числа.

История совершенных чисел

Проследим историю открытия совершенных чисел от древности до наших дней. Весь период мы разделили на этапы. За основу деления на этапы мы положили этапы развития вычислительной техники. Первый этап в ручную, с помощью бумаги и карандаша, формул, теорем находили совершенные числа. Второй этап связан с появлением первых механических счетных машин. Третий этап связан с появлением электронно-вычислительных машин.

1 этап: Бумага и карандаш.

Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Первые два совершенных числа, 6 и 28, были известны не только Пифагору, но и до него. Это числа были в " употреблении" у древних египтян и вавилонян. Связывая все "предметы окружающего мира" с числами, пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души. Много внимания уделяет числу 6 великий Платон (V–IV век до н.э.) в своих «Диалогах».

1 этап: Бумага и карандаш.

Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду (III век до н.э.). В его «Началах», выдержавших после Библии, пожалуй, наибольшее число изданий, мы находим в книге IX теорему 36, устанавливающую способ получения совершенных чисел. На современном языке она звучит так:В тех случаях, когда число 2 – 1 — простое, число 2 · (2 – 1) является совершенным. Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа: 2 · (2 -1) = 2 · (2 -1) = 16 · 31 = 496 и 2 · (2 – 1) = 2 · (2 – 1) = 64 · 127 = 8 128.

n-1

5-1

7-1

1 этап: Бумага и карандаш.

Следующее серьезное изучение совершенных чисел было проведено Никомахом из Герассы приблизительно в 100 год н.э. Никомах написал знаменитое "Введение в арифметику", в которое классифицировало числа, как и Пифагор,основываясь на идее совершенных чисел: избыточные, недостаточные и совершенные. Никомах выдвинул ряд утверждений, хоть и без доказательно, касающихся свойств совершенных чисел. Никомах Герасский писал: Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.

1 этап: Бумага и карандаш.

Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436-1476) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно 33 550 336,ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида. Итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже для спасения своей души, занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна: 8 589 869 056 – шестое число, 137 438 691 328 – седьмое число.

1 этап: Бумага и карандаш.

Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, оказались верными. И навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. До сих пор предложено только одно объяснение этой загадке – оно было дано еще его современниками: помощь божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел. Восьмое совершенное число, которому соответствует р = 31 в формуле Евклида равно 2 305 843 008 139 952 128.

1 этап: Бумага и карандаш.

Еще через двести лет Марен Мерсенн (1588–1648) французский богослов, математик и теоретик музыки, один из основателей Парижской академии наук, друг Декарта и Ферма, без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидову форму со значениями p равными 17, 19, 31, 67, 127, 257.

1 этап: Бумага и карандаш.

Швейцарский математик, петербургский академик, основатель современной математики, непревзойденный вычислитель, великий Леонард Эйлер (1707–1783) сумел найти новую теорему о таинственных числах. Он доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом: 2 p–1 · (2 p – 1),и только такой.

1 этап: Бумага и карандаш.

В 1878 году француз Эдуард Люка (1842–1891) дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2 – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном. Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь значащих цифр. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин (1821–1900). Он сумел вычислить для того времени самое большое простое число вида 2 – 1 при p = 61: 2 305 843 009 213 693 951, и соответствующее ему совершенное число 2 305 843 009 213 693 951 · 2.

60

2 этап: Механические счетные машины.

В начале двадцатого столетия появились первые механические счетные машины, что ускорило поиски новых совершенных чисел. Десятое было найдено в 1911 год(открыл Тарри и Поуэрс ), в нем оказалось 54 цифры: 618 970 019 642 137 449 562 111 · 2. Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году (открыли Фокамберг и Поуэрс): 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 · 2.

88

106

2 этап: Механические счетные машины.

Двенадцатое нашли тогда же, в 1914 году, оно состоит уже из 77 цифр: 2^126 · (2^127-1). В дальнейшем успешные поиски затормозились вплоть до середины XX века, когда с появлением ЭВМ стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2^р – 1, где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число: 2^257 – 1. Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.

3 этап: Электронные счетные машины.

3 этап: Электронные счетные машины.

Тринадцатое совершенное число нашла электронная счетная машина. 30 января 1952 года американский математик Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995) в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для изучения простоты чисел 2^р – 1. Робинсон решил для начала еще раз убедиться в том, что число 2^257 – 1 не является простым. Он пригласил присутствовать при этой проверке Лемера, который двадца Лемер получил большое удовольствие, когда увидел, что машина получила тот же самый результат. При этом она выполнила его годовую работу за восемнадцать секунд. Для того чтобы найти новое совершенное число, нужно было, следовательно, найти новое простое число. Машина продолжала поиски новых простых чисел. Она проверила за два часа 42 числа, самое меньшее из которых имело более 80 цифр! Все эти числа оказались составными. Новое совершенное число машина обнаружила к вечеру 30 января: 2^520 · (2^521 – 1) при p = 521.

3 этап: Электронные счетные машины.

Тринадцатое совершенное число оказалось состоящим из 314 цифр. Четырнадцатое совершенное число машина нашла в тот же день к полуночи. Перебрав и проверив еще тринадцать евклидовых чисел, она нашла простое число 2^607 – 1, которое в десятичной системе имеет всего сто восемьдесят три цифры, и соответствующее совершенное число 2^606 · (2^607 – 1) ) при р = 607. Четырнадцатое совершенное число имеет 366 значащих цифр. Пятнадцатое совершенное число машина нашла только в июне 1952 года. Продолжая поиски новых простых чисел, она доказала простоту числа 2^1279 – 1 и нашла совершенное число из семисот семидесяти цифр: 2^1278 · (2^1279 – 1) при р = 1279.

3 этап: Электронные счетные машины

17 ноября 2003 год аспирант университета штат Мичиган (США) Майкл Шефер обнаружил сороковое простое число Мерсенна. Это число — М(20 996 011). Его длина более чем на 2 миллион позиций превосходит длину предыдущего рекордсмена. Всего в этом числе 6 320 430 десятичных цифр. На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел. 17 ноября 2003 год аспирант университета штат Мичиган (США) Майкл Шефер обнаружил сороковое простое число Мерсенна. Это число — М(20 996 011). Его длина более чем на 2 миллион позиций превосходит длину предыдущего рекордсмена. Всего в этом числе 6 320 430 десятичных цифр. На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел.

3 этап: Электронные счетные машины

Математик из США Кертис Купер установил свой новый рекорд и открыл 49-ое самое большое на сегодняшний день простое число Мерсенна. На этот раз Куперу удалось открыть число, состоящее из 22 338 618 десятичных цифр. Самое большое в мире простое число равно М74207281= 2^74207281 – 1 (по форме чисел Мерсенна, которая представлена в виде Mn = 2^n – 1, где n – это натуральное число). Свое открытие американский математик сделал в рамках проекта под названием GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Предыдущие 15 подобных рекордов также установлены благодаря этой инициативе. Принять участие в этом проекте может любой желающий. На сегодняшний день известно 51 простое число Мерсенна, при этом достоверно известны порядковые номера первых 47 из них.

Галерея ученых

Пифагор

Евклид

Региомонтан

Никомах Герасский (I–II век н.э.)

Пьетро Антонио Катальди

Ханс Ивар

Марен Мерсенн

Иван Михеевич Первушин

Эдуард Люка

Леонард Эйлер

Рафаэль Митчел

Деррик Генри Лемер

Адольф Гурвиц

Кертис Купер

Пифагор

Пифагор Самосский древнегреческий философ, математик знал два совершенных числа 6 и 28

Евклид

Первым доказал утверждение о совершенных числах В его «Началах» мы находим в книге IX теорему 36, устанавливающую способ получения совершенных чисел. На современном языке она звучит так: Теорема Евклида. В тех случаях, когда число 2^ n – 1 — простое, число 2^(n–1) · (2n – 1) является совершенным. Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа: 2^5–1 · (2^5 – 1) = 2^4 · (2^5 – 1) = 16 · 31 = 496 2^7–1 · (2^7 – 1) = 2^6 · (2^7 – 1) = 64 · 127 = 8 128.

Никомах Герасский (I–II век н.э.)

Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик, писал: Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного. Никомах написал знаменитое "Введение в арифметику", в которое классифицировало числа, как и Пифагор, основываясь на идее совершенных чисел: избыточные, недостаточные и совершенные. Никомах выдвинул ряд утверждений, хоть и без доказательно, касающихся свойств совершенных чисел. Они звучат в современной формулировке следующим образом: 1) n- совершенно число состоит из п цифр; 2) все совершенные числа являются четными; 3) все совершенные числа попеременно заканчиваются цифрой 6 или 8; 4) по формуле Евклида получаются все совершенные числа; 5) совершенных чисел бесконечно много.

Региомонтан

Немецкий математик Региомонтан (1436-1476) в XV веке обнаружил пятое совершенное число. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно 33 550 336, ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида.

Пьетро Антонио Катальди

Итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье,первый дал способ извлечения квадратных корней,для спасения своей души, занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна: 8 589 869 056 – шестое число, и 137 438 691 328 – седьмое число.

Эдуард Люка

Француз Эдуард Люка (1842–1891) в 1878 году дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2^р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.

Леонард Эйлер

Швейцарский математик, петербургский академик, основатель современной математики, непревзойденный вычислитель, великий Леонард Эйлер (1707–1783) сумел найти новую теорему о таинственных числах. Он доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом: 2^ (p–1) · (2^ p – 1),и только такой.

Марен Мерсенн

Марен Мерсенн (1588–1648) французский богослов, математик и теоретик музыки, один из основателей Парижской академии наук, друг Декарта и Ферма, без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовскую форму со значениями p равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Сам Мерсенн никак не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был предварительно доказать, что числа 2^p – 1 с указанными значениями p действительно являются простыми. Вычислить любое из них совсем нетрудно, но выяснить, простые все эти числа или нет, – это выходило далеко за пределы человеческих сил.

Деррик Генри Лемер

Американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2^р – 1, где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число: 2257 – 1. Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.

Иван Михеевич Первушин

Cельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин (1821–1900) в 1883году вычислил девятое совершенное число году. В нем оказалось тридцать семь значащих цифр. Это был вычислительный подвиг. Он сумел вычислить для того времени самое большое простое число вида 2^p – 1 при p = 61: 2 305 843 009 213 693 951, и соответствующее ему совершенное число 2 305 843 009 213 693 951 · 260.

Рафаэль Митчел Робинсон

Американский математик Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995) в 1952 году в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для изучения простоты чисел 2^р – 1. Машина осуществляла поиски новых простых чисел. Она проверила за два часа 42 числа, самое меньшее из которых имело более 80 цифр! Все эти числа оказались составными. Новое совершенное число машина обнаружила к вечеру 30 января: 2^520 · (2^521 – 1) при p = 521. Тринадцатое совершенное число оказалось состоящим из 314 цифр. Четырнадцатое совершенное число машина нашла в тот же день к полуночи. Перебрав и проверив еще тринадцать евклидовых чисел, она нашла простое число 2607 – 1, которое в десятичной системе имеет всего сто восемьдесят три цифры, и соответствующее совершенное число 2^606 · (2^607 – 1) ) при р = 607. Четырнадцатое совершенное число имеет 366 значащих цифр. Пятнадцатое совершенное число машина нашла только в июне 1952 года. Продолжая поиски новых простых чисел, она доказала простоту числа 2^1279 – 1 и нашла совершенное число из семисот семидесяти цифр: 2^1278 · (2^1279 – 1) при р = 1279. Шестнадцатое и семнадцатое совершенные числа были открыты в октябре 1952 года. Машина к этому времени нашла еще два евклидовых простых числа: 2^2203 – 1 и 2^2281 – 1 и вычислила два соответствующих совершенных числа: 2^2202 · (2^2203 – 1) при р = 2203,состоящее всего из тысячи трехсот двадцати семи цифр, и 2^2280 · (2^2281 – 1) при р = 2281,в котором 1373 цифры.

Ханс Ивар Ризель

Шведский математик Ханс Ивар Ризель (1929–2014) в сентябре 1957 года нашел восемнадцатое совершенное число. При помощи электронно-счетной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа 2^3217 – 1 и получил восемнадцатое совершенное число: 2^3216 · (2^3217 – 1) при р = 3217. В нем около 2000 цифр.

Адольф Гурвиц

Немецкий математик Адольф Гурвиц в 1962 году с помощью вычислительной техники нашел два новых совершенных числа, а в 1965 году – еще три. Этим числам соответствуют в формуле Евклида значения простого числа р, равные соответственно 4 253, 4 423, 9 689, 9 941 и 11 213. Совершенное число 2^11 212 · (2^11 213 – 1) имеет 3 376 цифр.

Кертис Купер

Математик из США Кертис Купер установил свой новый рекорд и открыл 49-ое самое большое на сегодняшний день простое число Мерсенна. На этот раз Куперу удалось открыть число, состоящее из 22 338 618 десятичных цифр. Самое большое в мире простое число равно М74207281= 2^74207281 – 1 (по форме чисел Мерсенна, которая представлена в виде M^n = 2^n – 1, где n – это натуральное число). Свое открытие американский математик сделал в рамках проекта под названием GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Предыдущие 15 подобных рекордов также установлены благодаря этой инициативе. Принять участие в этом проекте может любой желающий. На сегодняшний день известно 51 простое число Мерсенна, при этом достоверно известны порядковые номера первых 47 из них.

Свойства совершенных чисел.

Все четные совершенные числа, кроме 6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел. • Все четные совершенные числа являются треугольными числами. Это значит, что взяв совершенное число одинаковых монет, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник: • Все четные совершенные числа являются шестиугольными числами и, значит, могут быть представлены в виде n • (2n−1) для некоторого натурального числа n. • Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, равна 2. • Все четные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p – 1 нулей. • Остаток от деления четного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1. В следствие этого – сумма всех цифр чётного совершенного числа, кроме 6, равна 1. Все четные совершенные числа, кроме 6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел. • Все четные совершенные числа являются треугольными числами. Это значит, что взяв совершенное число одинаковых монет, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник: • Все четные совершенные числа являются шестиугольными числами и, значит, могут быть представлены в виде n • (2n−1) для некоторого натурального числа n. • Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, равна 2. • Все четные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p – 1 нулей. • Остаток от деления четного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1. В следствие этого – сумма всех цифр чётного совершенного числа, кроме 6, равна 1.

Вопросы, касающиеся совершенных чисел, не решенные до сих пор.

Немецкий математик Эдмунда Ландау (1877–1938), один из крупнейших специалистов в области теории чисел считал: ...Две проблемы остаются нерешенными до сих пор: – Имеется ли бесконечное множество четных совершенных чисел? – Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел? Мы согласны с ним. Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. И еще один нерешенный вопрос: Будет ли открыта универсальная формула для нахождения совершенных чисел.

Прав ли был Мерсенн?

Мерсенн в свое время говорил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15–20 десятичных знаков. И он оказался не прав. В 1883 году сельский священник Первушин, считая без всяких вычислительных приборов, нашел совершенное число. И в его числе оказалось тридцать семь цифр!

Обычай носить обручальное кольцо на безымянном пальце связан с понятием «совершенное число»?

Вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся пальцевый счет, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 – первое совершенное число. Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Таково одно из объяснений того отмечаемого специалистами по истории культуры факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце.

Интересные факты о совершенных числах.

8 людей спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Также в нем спаслись по семь пар чистых и нечистых животных. Если суммировать всех спасшихся в Ноевом Ковчеге, то выходит число 28, являющееся совершенным; руки человека – это совершенное орудие. Они имеют 10 пальцев, которые наделены 28 фалангами; луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней; при начертании квадрата можно провести в нем диагонали. Тогда несложно будет заметить, что его вершины соединены 6 отрезками. Если то же проделать с кубом, то получится 12 ребер и 16 диагоналей. В сумме получится 28. Восьмиугольник тоже имеет причастность к совершенному числу 28 (20 диагоналей плюс 8 сторон). А семигранная пирамида имеет 7 ребер и 7 сторон основания с 14 диагоналями. В сумме это число 28;

Интересные факты о совершенных числах.

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828) – тоже интересное число: последние две цифры 28 образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число. При постройке метро в Риме под землей была обнаружена странная комбинация помещений: общий зал и вокруг него 28 келий, выходящих в этот зал. Оказалось, что это помещение неопифагорейской академии, которая существовала в Риме в первые век нашей эры. Очевидно, что в академии было 28 членов.

Может возникнуть вопрос, зачем вообще нужен поиск простых чисел Мерсенна. Во-первых, вычислительные нагрузки, стоящие за тем же проектом GIMPS, уже не единожды использовались для тестирования вычислительных мощностей — хорошо известно, что Intel апробировала Pentium II и Pentium Pro именно на GIMPS. Во-вторых, числа Мерсенна используются в качестве тестов для разного рода алгоритмов факторизации чисел. По большому счету, на разложении больших чисел на простые множители основана значительная часть методов современной криптографии. Так что и тут числа Мерсенна бывают полезны.

Вместо заключения

Источники информации

1.https://zen.yandex.ru/media/naukatv/nereshennye-problemy-matematiki-sovershennye-chisla-5ce7973df5fd8f00b38240ff 2.https://narfu.ru/university/library/books/1610.pdf 3.http://www.ega-math.narod.ru/Books/Edwards.htm#p1_8 4.https://school-science.ru/5/7/35603 5.http://ggpatl.gomel.by/math/%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE/ 6.https://obrazovaka.ru/matematika/sovershennye-chisla-spisok.html 7.http://math4school.ru/sovershennie_chisla.html 8. https://naukatehnika.com/samoe-bolshoe-prostoe-chislo-soderzhit-svyishe-22-mln-znakov.html 9. https://ru.wikipedia.org/wiki/GIMPS

Спасибо за внимание!

Видео

Проект: Совершенные числа

8128 и совершенные числа

Совершенные числа

8128 и совершенные числа

Совершенные числа

Проект: Совершенные числа