Совершенный мир чисел
Владимирская область, Камешковский район, п.М.ГорькогоМБОУ Вахромеевская СОШХахин Павел, 2020г.
содержание
Проект GIMPS
Совершенноечисло
Историясовершенныхчисел
Источники
Нерешённые вопросы
Ах! Как важно прикоснуться к совершенству!
Как его стремимся достигать!
Как стучит восторженное сердце,
если удаётся угадать!
совершенное число
Совершенным называют натуральное число, равное сумме всех своих положительных делителей, включая 1, но исключая само число.
6,
28,
496,
8128,
33 550 336,
8 589 869 056,
137 438 691 328,
2 305 843 008 139 952 128,
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176,
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216, …
история совершенных чисел
3. Современный период
2. Период становления теории (научный)
1. Период зарождения понятий (донаучный)
1. период зарождения понятий (донаучный)
Критерий: накопление знаний о совершенных числах на основе наблюдений.
Обоснование: 1. Имеются исторические «следы»:
- литературные (Платон описывает Атлантиду, используя в диалогах число 6; в Ветхом завете указывается о сотворении мира за 6 дней);
- архитектурные (в Риме обнаружена при раскопках была обнаружена комбинация келий из 28 помещений);
- астрологические (Луна обновляется за 28 суток), подтверждающие факт того, что древние математики имели представление о совершенных числах и проявляли к ним интерес.
2. Дано определение совершенных чисел.
3. Найдены первые два совершенных числа.
4. Осуществлены попытки описать свойства совершенных чисел Пифагором.
Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Пифагорейцы установили формулу совершенного числа [4].
История совершенных чисел
2. период становления теории (научный)
Критерий: развитие знания о совершенном числе с опорой на научную теорию
Обоснование:1. Первоначально осуществлены попытки изучения совершенных чисел, основываясь на наблюдениях за первыми известными числами.
2. Разработана теория, в основе которой лежит формула Евклида – Эйлера, генерирующая все чётные совершенные числа.
3. Приведены доказательства теорем о простых и о совершенных числах.
4. Рассмотрены свойства совершенных чисел.
5. Вычислены совершенные числа с 5 по 12 ое. 6.Параллельно развивается теория дружественных чисел.
Античные математики высказывали много предположений о свойствах совершенных чисел, основываясь на наблюдениях за первыми совершенными числами. Большинство из этих предположений являлись ложными [2]. 1 предположение: n-ое совершенное число должно соответствовать n-му простому числу.
2 предположение: n-ое совершенное число должно иметь n десятичных знаков
3 предположение: совершенные числа должны оканчиваться цифрами 6 и 8.
История совершенных чисел
2. период становления теории (научный)
Евклид и Эйлер являются основателями теории совершенных чисел. Формула Евклида – Эйлера, генерирует все чётные совершенные числа: Четное натуральное число n является совершенным тогда и только тогда, когда - число простое. Первая часть утверждения была сформулирована Евклидом в книге IX «Начал» (приложение 36). Евклид сумел найти ещё два совершенных числа: 496 и 8128.
Л.Эйлер доказал, что
все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом, а в 1772 году доказал, что число Марсенна 2147483647 – простое число и вычислил совершенное число при p= 31 - 2 305 843 008 139 952 128 [2].
Евклид около 325 г. до н. э.- до 265 г. до н. э.
История совершенных чисел
Эйлер1707-1783 г.г.
2. период становления теории (научный)
Франсуа Эдуард Анатоль Люка 1842-1891 г.г.
Региомонтан (Йоганн Мюллер)1436-1476 г.г.
Марен Марсенн 1588-1648 г.г.
КатальдиПьетро Антонио1548-1626 г.г.
Первушин И.М. 1827-1900 г.г.
– фран. математик. В работе «Cogitata physico-mathematica» привёл доказательства теорем о простых и о совершенных числах. В 1644 г. Мерсенн нашел восьмое совер-шенное число [6].
- уральский математик. В 1883 году вычислил для того времени самое большое простое число и соответствующее ему совершенное число 2 305 843 009 213 693 951 [5].
Это число принято называть первушинским
[1].
– немецкий астроном и математик. Нашёл пятое и шестое совершенные числа: 33 550 336 и 8 589 869 056
– итал. математик. Предсказал шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328.
– фран. математик. Открыл метод для проверки простых чисел, использовал свой метод в 1876 году для проверки, является ли M127 простым.
История совершенных чисел
3. современный период
Критерий: развитие теории совершенных чисел.
Обоснование:1. Расширяются вопросы теории, связанные со следующими числами: - почти совершенными;
- квазисовершенными;
- мультисовершенными;
- полусовершенными;
- примитивными полусовершенными; - странными.
2. ЭВМ применяются для нахождения совершенных чисел.
3. Числа Марсенна применяют в различных сферах.
Рафаэль Митчел Робинсон 1911-1995 г.г.
– американский математик. В 1952г. в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для получения простых чисел Марсенна. Они дали следующие с 13–го по 17-ое совершенные числа.
– шведский математик. В сентябре 1957 года при помощи электронно-счетной машины за пять с половиной часов получил восемнадцатое совершенное число. В нем около 2000 цифр.
Ханс Ивар Ризель 1929-2014 г.г.
История совершенных чисел
3. современный период
Практическое применение чисел Марсенна: – шифрование (электронная почта, банковские операции, кредитные карты, телефонная связь, правительственная и военная связь), - простые числа используются для построения генераторов псевдослучайных чисел — подобные генераторы используются во многих компьютерных программах, в том числе в играх, в построении моделей сложных систем и процессов,
- отыскание совершенных чисел используют для тестирования вычислительных мощностей компьютеров (Intel апробировала Pentium II и Pentium Pro).
История совершенных чисел
проект GIMPS
В 1996 году в США стартовал международный широкомасштабный интернет-проект по поиску простых чисел Мерсенна (GIMPS — Great Internet Mersenne Prime Search) . Для поиска чисел используется сеть соединенных через интернет персональных компьютеров добровольцев.
В 2020 году в проекте участвует 321 команда. За годы существования проекта найдены 17 новых чисел. Вы тоже можете присоединиться. Сайт проекта GIMPS
нерешённые вопросы
1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?
2) Существует ли нечетное совершенное число?
3) Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел? 4) Почти совершнными числами являются все натуральные степени числа 2. Существуют ли другие почти совершенные числа? 5) Существуют ли нечётные странные числа? 6) Остается открытый вопрос об асимптотике чисел Мерсенна? 7) Неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна и неизвестна плотность их распределения во множестве натуральных чисел? 8) Существуют ли простые двойные числа Мерсенна при n>7?
Информационные источники
1. Бибиков Е. Первушинское число. «Техника – молодёжи», № 9, 1972 г., с. 63
2. Деза Е.И. О содержании элективного курса «Совершенные и дружественные числа», «Математика в школе», №8, 2007 г. 3. Депман.И. Совершенные числа, «Квант»№5, 1990 г.
4. Молодший. В.Н. Пифагор и зарождение математики, «Математика в школе», № 1, 2001 г., с.5-7.
5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. О некоторых простых числах, с.90-91.
6. Старова О.А. Совершенные и дружественные числа. «Математика. Всё для учителя!», № 3 , 2014 г.
7. Совершенные числа. http://math4school.ru/sovershennie_chisla.html
8. Простые и составные числа. Числа Марсенна. https://habr.com/ru/company/wolfram/blog/327342/
9. Тайны совершенных чисел . http://www.microarticles.ru/article/Tajni-sovershennih-chisel.html
Спасибо за внимание
Совершенный мир чисел
pashaloxhahin
Created on March 4, 2020
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
Explore all templates
Transcript
Совершенный мир чисел
Владимирская область, Камешковский район, п.М.ГорькогоМБОУ Вахромеевская СОШХахин Павел, 2020г.
содержание
Проект GIMPS
Совершенноечисло
Историясовершенныхчисел
Источники
Нерешённые вопросы
Ах! Как важно прикоснуться к совершенству! Как его стремимся достигать! Как стучит восторженное сердце, если удаётся угадать!
совершенное число
Совершенным называют натуральное число, равное сумме всех своих положительных делителей, включая 1, но исключая само число.
6, 28, 496, 8128, 33 550 336, 8 589 869 056, 137 438 691 328, 2 305 843 008 139 952 128, 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176, 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216, …
история совершенных чисел
3. Современный период
2. Период становления теории (научный)
1. Период зарождения понятий (донаучный)
1. период зарождения понятий (донаучный)
Критерий: накопление знаний о совершенных числах на основе наблюдений.
Обоснование: 1. Имеются исторические «следы»: - литературные (Платон описывает Атлантиду, используя в диалогах число 6; в Ветхом завете указывается о сотворении мира за 6 дней); - архитектурные (в Риме обнаружена при раскопках была обнаружена комбинация келий из 28 помещений); - астрологические (Луна обновляется за 28 суток), подтверждающие факт того, что древние математики имели представление о совершенных числах и проявляли к ним интерес. 2. Дано определение совершенных чисел. 3. Найдены первые два совершенных числа. 4. Осуществлены попытки описать свойства совершенных чисел Пифагором.
Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Пифагорейцы установили формулу совершенного числа [4].
История совершенных чисел
2. период становления теории (научный)
Критерий: развитие знания о совершенном числе с опорой на научную теорию
Обоснование:1. Первоначально осуществлены попытки изучения совершенных чисел, основываясь на наблюдениях за первыми известными числами. 2. Разработана теория, в основе которой лежит формула Евклида – Эйлера, генерирующая все чётные совершенные числа. 3. Приведены доказательства теорем о простых и о совершенных числах. 4. Рассмотрены свойства совершенных чисел. 5. Вычислены совершенные числа с 5 по 12 ое. 6.Параллельно развивается теория дружественных чисел.
Античные математики высказывали много предположений о свойствах совершенных чисел, основываясь на наблюдениях за первыми совершенными числами. Большинство из этих предположений являлись ложными [2]. 1 предположение: n-ое совершенное число должно соответствовать n-му простому числу. 2 предположение: n-ое совершенное число должно иметь n десятичных знаков 3 предположение: совершенные числа должны оканчиваться цифрами 6 и 8.
История совершенных чисел
2. период становления теории (научный)
Евклид и Эйлер являются основателями теории совершенных чисел. Формула Евклида – Эйлера, генерирует все чётные совершенные числа: Четное натуральное число n является совершенным тогда и только тогда, когда - число простое. Первая часть утверждения была сформулирована Евклидом в книге IX «Начал» (приложение 36). Евклид сумел найти ещё два совершенных числа: 496 и 8128.
Л.Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом, а в 1772 году доказал, что число Марсенна 2147483647 – простое число и вычислил совершенное число при p= 31 - 2 305 843 008 139 952 128 [2].
Евклид около 325 г. до н. э.- до 265 г. до н. э.
История совершенных чисел
Эйлер1707-1783 г.г.
2. период становления теории (научный)
Франсуа Эдуард Анатоль Люка 1842-1891 г.г.
Региомонтан (Йоганн Мюллер)1436-1476 г.г.
Марен Марсенн 1588-1648 г.г.
КатальдиПьетро Антонио1548-1626 г.г.
Первушин И.М. 1827-1900 г.г.
– фран. математик. В работе «Cogitata physico-mathematica» привёл доказательства теорем о простых и о совершенных числах. В 1644 г. Мерсенн нашел восьмое совер-шенное число [6].
- уральский математик. В 1883 году вычислил для того времени самое большое простое число и соответствующее ему совершенное число 2 305 843 009 213 693 951 [5]. Это число принято называть первушинским [1].
– немецкий астроном и математик. Нашёл пятое и шестое совершенные числа: 33 550 336 и 8 589 869 056
– итал. математик. Предсказал шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328.
– фран. математик. Открыл метод для проверки простых чисел, использовал свой метод в 1876 году для проверки, является ли M127 простым.
История совершенных чисел
3. современный период
Критерий: развитие теории совершенных чисел.
Обоснование:1. Расширяются вопросы теории, связанные со следующими числами: - почти совершенными; - квазисовершенными; - мультисовершенными; - полусовершенными; - примитивными полусовершенными; - странными. 2. ЭВМ применяются для нахождения совершенных чисел. 3. Числа Марсенна применяют в различных сферах.
Рафаэль Митчел Робинсон 1911-1995 г.г.
– американский математик. В 1952г. в Калифорнийском университете применил электронную счетную машину для получения простых чисел Марсенна. Они дали следующие с 13–го по 17-ое совершенные числа.
– шведский математик. В сентябре 1957 года при помощи электронно-счетной машины за пять с половиной часов получил восемнадцатое совершенное число. В нем около 2000 цифр.
Ханс Ивар Ризель 1929-2014 г.г.
История совершенных чисел
3. современный период
Практическое применение чисел Марсенна: – шифрование (электронная почта, банковские операции, кредитные карты, телефонная связь, правительственная и военная связь), - простые числа используются для построения генераторов псевдослучайных чисел — подобные генераторы используются во многих компьютерных программах, в том числе в играх, в построении моделей сложных систем и процессов, - отыскание совершенных чисел используют для тестирования вычислительных мощностей компьютеров (Intel апробировала Pentium II и Pentium Pro).
История совершенных чисел
проект GIMPS
В 1996 году в США стартовал международный широкомасштабный интернет-проект по поиску простых чисел Мерсенна (GIMPS — Great Internet Mersenne Prime Search) . Для поиска чисел используется сеть соединенных через интернет персональных компьютеров добровольцев.
В 2020 году в проекте участвует 321 команда. За годы существования проекта найдены 17 новых чисел. Вы тоже можете присоединиться. Сайт проекта GIMPS
нерешённые вопросы
1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число? 2) Существует ли нечетное совершенное число? 3) Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел? 4) Почти совершнными числами являются все натуральные степени числа 2. Существуют ли другие почти совершенные числа? 5) Существуют ли нечётные странные числа? 6) Остается открытый вопрос об асимптотике чисел Мерсенна? 7) Неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна и неизвестна плотность их распределения во множестве натуральных чисел? 8) Существуют ли простые двойные числа Мерсенна при n>7?
Информационные источники
1. Бибиков Е. Первушинское число. «Техника – молодёжи», № 9, 1972 г., с. 63 2. Деза Е.И. О содержании элективного курса «Совершенные и дружественные числа», «Математика в школе», №8, 2007 г. 3. Депман.И. Совершенные числа, «Квант»№5, 1990 г. 4. Молодший. В.Н. Пифагор и зарождение математики, «Математика в школе», № 1, 2001 г., с.5-7. 5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. О некоторых простых числах, с.90-91. 6. Старова О.А. Совершенные и дружественные числа. «Математика. Всё для учителя!», № 3 , 2014 г. 7. Совершенные числа. http://math4school.ru/sovershennie_chisla.html 8. Простые и составные числа. Числа Марсенна. https://habr.com/ru/company/wolfram/blog/327342/ 9. Тайны совершенных чисел . http://www.microarticles.ru/article/Tajni-sovershennih-chisel.html
Спасибо за внимание