История совершенных чисел

Идеальные числа

Какие числа называются идеальными и почему их так назвали? Оказывается во времена Пифагора так называли совершенные числа. Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число). Чем же они так интересны? Давайте разберёмся.

Работа выполнена группой "ПОИСК" МБОУ Ставровской СОШ Собинского района в рамках сетевого проекта "Узы дружбы в мире чисел"

Идеальные числа

История совершенных чисел

Совершенные числа в работах ученых

Проблемы совершенных чисел

Кратко о том,что такое совершенные числа

Источники информации

Пифагор Самосский (ок.570-ок.495 гг. до н.э.)

Евклид (около 325 - 265 года до н. э.)

Изображение Никомаха в рукописи XII в. из библиотеки Кембриджского университета.

Никомах Герасский (I - II вв.)

Региомонтан (Йоганн Мюллер) (1436–1476)

Марен Мерсенн (1588–1648)

Пьетро Антонио Катальди (1548–1626)

Леонард Эйлер (1707–1783)

Эдуард Люка (1842–1891)

Иван Михеевич Первушин (1821–1900)

Деррик Генри Лемер (1905–1991)

Рафаэль Митчел Робинсон (1911–1995)

Ханс Ивар Ризель (1929–2014)

Дональд Брюс Джиллис (15 октября 1928 – 17 июля 1975)

Лэндон Курт Нолл (родившийся 28 октября 1960 г.)

Дэвид Словински

Кёртис Купер и Стивен Бун

– До сей поры нам неизвестны нечетные совершенные числа. Делается несколько попыток доказать существование или несуществование таких чисел.

Это интересно: Ф.С.Миронов "Доказательство отсутствия нечётных совершенных чисел"

Р. З. Ахмадуллин, “О нечётности совершенных чисел”, Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2014, 6(32), 5–18

Проблема 1

– Конечно ли множество совершенных чисел или все-таки ограничено.

Проблема 2

– Нет общего метода вычисления совершенных чисел, известный сейчас алгоритм должен перебирать все числа подряд, проверяя их на совершенность. Отсутствие общего метода решения не позволяет ответить на вопрос о останове алгоритма. Если мы проверили М чисел при поиске n-ого совершенного числа – означает ли это, что его вообще не существует?

Источник: Алгоритмически неразрешимые проблемы

Проблема 3

– Каждое совершенное число имеет два номера — один абсолютный и другой хронологический. До 45-го совершенного числа включительно их абсолютные и хронологические номера совпадали. А дальше — неизвестность.

Источник: В. Успенский. Апология математики

Проблема 4

– Неизвестна плотность распределения совершенных чисел во множестве натуральных чисел

Проблема 5

История совершенных чисел

Историю совершенных чисел можно разделить на три эры

Эра GIMPS

Эра ручного счёта

Компьютерная эра

При вычислении первых 12 совершенных чисел применялись методы проверки без применения вычислительной техники. Одним из методов, который использовался для нахождения совершенных чисел являлся метод перебора возможных делителей. Этот метод очень трудоемкий. Поэтому с помощью этого метода не могли вычислить большие числа.

Карта совершенных чисел, открытых в эру ручного счета

Эра ручного счёта

BACK

В начале XX века поиск затормозился. Поиски следующих совершенных чисел требовали все большего и большего объема вычислений. И только после того, как появились первые механические счетные машины, стали возможны вычисления, превосходившие человеческие возможности. Использование компьютеров открыло новую эру вычисления совершенных чисел.

Карта совершенных чисел, открытых в компьютерную эру

Компьютерная эра

BACK

К концу XX века стало понятно, что индивидуальный поиск зашел в тупик - слишком высока стала размерность чисел. Тогда в 1995 году, программисту Джорджу Уолтману пришла мысль создать проект распределенных вычислений GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Участником может стать любой желающий. Результат не заставил себя ждать - все последующие рекорды были установлены именно в рамках GIMPS. На данный момент открыто 51 совершенное число.

Ознакомиться подробнее с описаниями данных расчетов можно на сайте GIMPS: http://mersenne.org/various/math.php

Карта совершенных чисел, открытых в эру GIMPS

Эра GIMPS

BACK

Кратко о том, что такое совершенные числа

Источники информации

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. –М.: Просвещение, 1989. С.89-90.

Депман И.Я. Совершенные числа// "Квант" ,1971,№8, с.1-6

Д.Макги.Простые числа Мерсена и тест Люка-Лемера

Идеальные числа

Коняев А. Проще некуда.

Сайт GIMPS

Совершенные числа

Что такое совершенные числа

BACK

BACK

BACK