Mesure et incertitude

Mesure et incertitude

TRAvaux Académiques Mutualisés 2019-2020Académie de Versailles

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Déroulé du parcours

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Pendant la séance 1

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Pendant la séance 2

Après la séance 2

Après la séance 2

Pendant la séance 1

Pendant la séance 2

Entre les 2 séances

Avant la séance 1

Apports notionnels

Introduction

Valeur moyenne

Estimation de l'incertitude de mesure : Méthode 1

Estimation de l'incertitude de mesure : Méthode 2

Estimation de l'incertitude de mesure : Méthode 3

Conclusion

Évaluation formative

Tutoriels pour calculer la moyenne et l'écart-type

À l'aide d'une calculatrice

À l'aide d'un tableur (GeoGebra)

À l'aide d'un langage de programmation (Python)

Introduction

Toute mesure expérimentale est entachée d'une erreur, aussi petite soit elle. Les erreurs réalisées sur une mesure peuvent être systématiques (effets identiques si la mesure est répétée de manière identique) ou aléatoires (effets non répétables). Alors que les erreurs systématiques sont faciles à corriger (par des procédures d'étalonnage ou de calibrage, par exemple), les erreurs aléatoires ne peuvent pas être corrigées et conduisent donc à un doute sur la valeur mesurée : l'incertitude de mesure.

Cliquer ici pour visualiser les effets des erreurs systématiques et aléatoires.

L'incertitude de mesure a été définie comme un paramètre qui caractérise la dispersion des valeurs autour d'une valeur moyenne. Elle reflète l'impossibilité de connaître exactement la valeur "vraie". Toute mesure est accompagnée d'une incertitude, c'est-à-dire d'un doute sur la valeur mesurée. Aussi, de même que la quantification d'une grandeur est caractérisée par une valeur numérique et une unité, la mesure d'une grandeur est caractérisée par une valeur numérique, une unité et une incertitude.L'incertitude sur une grandeur sera notée en reprenant le symbole de la grandeur précédé de la lettre u. Ainsi, à une grandeur X, on associe une incertitude de mesure u(X).

Erreurs systématiques et aléatoires

Valeur moyenne

Si on considère que l'on a réalisé une série de n mesures, on peut alors calculer la moyenne arithmétique de ces n valeurs. Si on se place dans la situation idéale où la mesure n'est affectés d'aucune erreur systématique (cas n° 2 et 4 sur l'exemple suivant), alors la valeur moyenne représente la meilleure estimation de la valeur vraie. Dans ce cas, c'est la dispersion des points autour de la moyenne qui va permettre de déterminer l'incertitude de mesure.

Estimation de l'incertitude de mesure : Méthode 1

La manière la plus simple pour estimer l'incertitude de mesure à partir de l'ensemble des valeurs obtenues est d'utiliser la demi-étendue.L'étendue de la mesure est égale à la différence entre la plus grande valeur obtenue et la plus petite valeur obtenue. La demi-étendue est donc la moitié de l'étendue. Cette méthode conduit à une valeur d'incertitude relativement grande qui présente l'avantage de tenir compte de toutes les valeurs mesurées mais qui présente le désavantage de ne pas tenir compte de la distribution des valeurs à l'intérieur de la plage de mesure. En particulier, les points aberrants affectent énormément la valeur de l'étendue. Conclusion : En général, cette méthode n'est donc pas la plus pertinente.

Estimation de l'incertitude de mesure : Méthode 2

On préférera utiliser une autre grandeur statistique qui s'appelle l'écart-type (noté σ) dont l'avantage est de tenir compte de la distribution des valeurs à l'intérieur de la plage de mesure ; en effet, les points extrêmes affectent moins l'écart-type que la demi-étendue de mesure.En général, la distribution des valeurs obtenues autour de la valeur moyenne suit une loi normale (à condition que le nombre de valeurs n soit très grand). La loi normale est une loi statistique qui décrit la répartition des valeurs autour de la moyenne.

Cliquer ici pour visualiser une représentation de la loi normale.

On remarque que c'est la valeur moyenne qui présente la plus grande occurrence et qu'au fur et à mesure que l'on s'écarte de cette valeur moyenne, le nombre d'occurrence diminue. L'écart-type σ représente "la largeur" de la courbe ci-dessus. Plus la valeur de σ est grande, plus la courbe s'élargit. Ceci démontre bien l'intérêt d'utiliser l'écart type plutôt que la demi-étendue pour déterminer une incertitude, car on va alors tenir compte de la distribution des valeurs à l'intérieur de la plage de mesure. Conclusion : Si on admet que la distribution statistique de la loi normale est respectée, lorsqu'on effectue une mesure unique, la valeur trouvée suit la distribution statistique donnée par la courbe ci-dessus.

Loi normale

Estimation de l'incertitude de mesure : Méthode 3

En effectuant n mesures, les valeurs obtenues se répartissent aléatoirement sur la courbe précédente. Donc, lorsqu'on prend la valeur moyenne de ces n mesures, les écarts à la valeur vraie se compensent statistiquement, avec d'autant plus d'efficacité que n est grand. Ainsi, la valeur moyenne obtenue est proche de la valeur moyenne indiquée sur la courbe précédente. Si on réalise une nouvelle série de n mesures et qu'on en réalise la moyenne arithmétique, on obtiendra une deuxième valeur de la moyenne également proche de celle de la courbe précédente. On peut réitérer ceci un grand nombre de fois puis tracer la répartition des valeurs.

Cliquer ici pour visualiser cette nouvelle figure.

Conclusion : On constate que la dispersion des valeurs moyennes est plus faible que la dispersion des valeurs individuelles. C'est donc la "la largeur" de la courbe de répartition des valeurs moyennes qui va être utilisée pour quantifier l'incertitude-type. Cette largeur est aussi appelée "écart-type à la moyenne" et se calcule à partir de l'écart-type σ.

Cliquer ici pour obtenir son expression.

Distribution normale des valeurs individuelles et des valeurs moyennes

Conclusion

Lorsque l'on définit l'incertitude-type u(x) par l'écart type à la moyenne, cela signifie que dans les conditions de l'expérience, on considère que la valeur de x a de grandes chances de se trouver entre deux valeurs extrêmes qui sont :

(valeur moyenne - u(x)) et (valeur moyenne + u(x))

Évaluation formative

Après la séance 2

Pendant la séance 1

Pendant la séance 2

Entre les 2 séances

Avant la séance 1

Après une première partie où les élèves réalisent n mesures d'une grandeur dans les mêmes conditions expérimentales :

Dépôt des données expérimentales

Exploitation de la série de mesures

Après la séance 2

Pendant la séance 1

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Entre les 2 séances

Avant la séance 1

Présentation de quelques modules Python

Le module Math

Le module Pyplot de Matplotlib

Le module Pandas

Après la séance 2

Pendant la séance 1

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Après une première partie où les élèves réalisent n mesures d'une grandeur dans les mêmes conditions expérimentales :

Dépôt des données expérimentales

Exploitation de la série de mesures

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Avant la séance 1

Grâce à l'activité "Atelier" de Moodle, les élèves déposent leur programme puis évaluent celui d'un de leurs camarades.

Dépôt des programmes créés

Évaluation par les pairs des programmes déposés