Métodos Numéricos

Métodos Numéricos

Ing. Juan Carlos Jiménez Bedolla

Ing. Juan Carlos Jiménez Bedolla

Ingeniero Químico. UNAMMaestría en Ingeniería de Sistemas. UVM Maestría en Inteligencia Artificial. UPC Diplomado Machine Learning. MIT Diplomado Java WEB Programming. DCInternet Diplomado en Administración de proyectos (Project Manager). ITESM

Certificado Java Programmer

Profesor Universidad Nacional Autónoma de México

• MS Project / OpenProject
• Agile / Kanban / Scrum

• Python
• R
• C / C++ / C#
• Java
• Fortran
• Cobol
• Pascal / Delphi
• VBA
• PowerBuilder

• Matlab / Octave
• Mathematica
• Mathcad

• Oracle
• SQL Server
• MySQL

Recursos en la nube

https://github.com/jcjimenezb123/MetodosNumericosPython

Ecosistema Python

ÍNDICE

Métodos Numéricos

04.Sistemas de ecuaciones Lineales

07.Integrales

01.Introducción

05.Sistemas de ecuaciones no Lineales

08.Ecuaciones diferenciales ordinarias

02.Ajuste de curvas

06. Diferenciación

09.Ecuaciones diferenciales parciales

03.Ecuaciones no lineales

01

introducción

Conocer los sistemas de numeración para entender cómo se convierten al binario y cómo se almacenan en la computadora, esto nos lleva a entender los errores implicados en los números y los cálculos. Por otro lado usaremos la serie de Taylor para simplificar las ecuaciones y poder trabajar con ellas.

Sistemas de Numeración

Decimal o base 10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Descripción

Binaria o base 2 {0,1}

Los sistemas de numeración se usan para expresar cantidades numéricas usando una base. Las bases más usadas son

Octal o base 8 {0,1,2,3,4,5,6,7}

• Decimal
• Binaria
• Octal
• Hexadecimal

Hexadecimal o base 16 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

Conversión entre Sistemas Números enteros

Otros sistemas a Decimal

Decimal a otros sistemas

Residuo(cant/base) -> posición 0 Residuo(cant/base) -> posición 1 Residuo(cant/base) -> posición 2 ... Ejemplo: 26) 10 -> ? ) 2

Ejemplo: 11010 ) 2 -> ? ) 10

Ejemplo:

Convertir el número 26)10 a binario ?)2

Conversión entre Sistemas Números fraccionarios

Otros sistemas a Decimal

Decimal a otros sistemas

fracción x (base) -> Entero ^ posición -1 fracción x (base) -> Entero ^ posición -2 fracción x (base) -> Entero ^ posición -3 ... 0.1875 ) 10 -> ? ) 2

0.11010 ) 2 -> ? ) 10

Ejemplo:

Convertir el número 0.1875)10 a binario ?)2

Notación científica

24) 10 -> 11000 ) 2

Característica

6.022e23

Mantisa

0.6022 ) 10 -> 0.100110100011010011100... ) 2

Característica Mantisa[0] [ [0] 011000 ] [100110100011010011100...

Notación científica

-18) 10 -> 10010) 2

Característica

-1.60e-19

Mantisa

-0.160 ) 10 -> -0.00101000111101011100... ) 2

Característica Mantisa[1] [ [1] 010010] [0.00101000111101011100...

Errores

Redondeo

Truncamiento

Se generan cuando se eliminan términos de una expresión. Series infinitas. f(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + f''(x0)/2! (x-x0)^2 + ...

Se generan cuando se eliminan dígitos de una cantidad Pi = 3.14159....

Ejemplo

Cálculo de errores

Error = 1001 - 1000 = 1 Error absoluto = | 1001 - 1000 | = 1 Error relativo = | 1001 - 1000 | / 1000 = 0.001Error relativo porcentual = | 1001 - 1000 | / 1000 x 100 = 0.1%

Error = Valor - Exacto Error absoluto = | Valor - Exacto | Error relativo = | Valor - Exacto | / ExactoError relativo porcentual = | Valor - Exacto | / Exacto x 100

Serie de Taylor

Su construcción se basa en la serie de potencias de Newton

Que al derivar y evaluar en un punto inicial x = x0 resulta:

Ejemplo:

Obtener la serie de Maclaurin (x0=0) de 8vo Orden de Cos(x)

02

ajuste de CURVAS

Cuando se tiene una lista de datos y se requiere conocer un valor que no se encuentra en dicha tabla, se recurre al ajuste de un polinomio que estima el valor del dato.

2.1. Interpolación

Lineal

Cuadrática

Se ajusta un polinomio de primer grado (linea recta) que une los puntos tabulados. El uso del polinomio en el dominio (x0,x1) calcula el dato no tabulado

Se ajusta un polinomio de Segundo grado (parabola) que une los puntos tabulados. El uso del polinomio en el dominio (x0,x1,x2) calcula el dato no tabulado

Interpolacion polinómica NEWTON

Polinomio de interpolación de Newton

Para obtener los coeficientes del polinomio de interpolación, se debe calcular la tabla de diferencias.

Se ajusta un polinomio que pasa por todos los puntos tabulados:

Interpolación polinómica de Newton. En temporada de lluvias se toma la profundidad del agua en una presa, obteniendo los siguientes datos: Calcular la profundidad del agua en el día 3.

Ejemplo:

Interpolacion polinómica LAGRANGE

Polinomio de interpolación de Lagrange

Se construye el polinomio de interpolación que toca todos los puntos de la tabla.

Interpolación polinómica de Lagrange. En temporada de lluvias se toma la profundidad del agua en una presa, obteniendo los siguientes datos: Calcular la profundidad del agua en el día 3.

Ejemplo:

Runge descubrió que si se interpola esta función en puntos equidistantes entre -1 y 1, la interpolación resultante oscila hacia los extremos del intervalo.

Fenómeno de Runge

Descripción

El fenómeno de Runge es un problema que sucede cuando se usa interpolación polinómica con polinomios de grado alto. Lo descubrió Carle David Tolmé Runge cuando exploraba el comportamiento de los errores al usar interpolación polinómica para aproximar determinadas funciones. Considérese la función:

La oscilación se puede minimizar usando nodos de Chebyshev en lugar de equidistantes. En este caso se garantiza que el error máximo disminuye al crecer el orden polinómico. El fenómeno demuestra que los polinomios de grado alto no son, en general, aptos para la interpolación. Este problema se puede evitar usando trazadores o splines.

Interpolación Spline Cuadrático

Descripción

Entonces se requieren n polinomios para n+1 puntos. Cada ecuación tiene 3 incógnitas. Se sustituye cada punto en los polinomios, para obtener 2n ecuaciones

El Spline Cuadrático o Trazador Cuadrático ajusta un polinomio de segundo grado entrecada par de puntos.

El primer polinomio se une con el segundo polinomio en el punto x1, el segundo se une con el tercero en x2, así sucesivamente hasta el penúltimo se une con el último en x{n-1} para n+1 puntos. Entonces para asegurar que la derivada del primer polinomio se iguala a la del segundo, se evalúan ambas en el nodo que las comparte.Se tienen ahora n-1 ecuaciones para generar un total de 3n-1

La Derivada del polinomio i-ésimo debe ser igual a la derivada del polonomio i-ésimo + 1. Esta solución por un lado asegura que la pendiente (derivada) del polinomio i-ésimo sea igual que la pendiente del siguiente polinomio, y no podrá suceder un comportamiento extraño entre cada par de puntos y, por otro lado, genera n-1 ecuaciones más. Derivamos entonces el trazador cuadrático de cada intervalo.

Interpolación Spline Cúbico

Descripción

Entonces se requieren n polinomios para n+1 puntos. Cada ecuación tiene 4 incógnitas. Se sustituye cada punto en los polinomios, para obtener 2n ecuaciones

El Spline Cúbico o Trazador Cúbico ajusta un polinomio de tercer grado entre cada par de puntos.

El primer polinomio se une con el segundo polinomio en el punto x1, el segundo se une con el tercero en x2, así sucesivamente hasta el penúltimo se une con el último en x{n-1} para n+1 puntos. Entonces para asegurar que la derivada del primer polinomio se iguala a la del segundo, se evalúan ambas en el nodo que las comparte.Se tienen ahora n-1 ecuaciones para generar un total de 3n-1

La Derivada del polinomio i-ésimo debe ser igual a la derivada del polonomio i-ésimo + 1. Esta solución por un lado asegura que la pendiente (derivada) del polinomio i-ésimo sea igual que la pendiente del siguiente polinomio, y no podrá suceder un comportamiento extraño entre cada par de puntos y, por otro lado, genera n-1 ecuaciones más. Derivamos entonces el trazador cuadrático de cada intervalo.

Se igualan las derivadas en cada nodo: Se tienen ahora n-1 ecuaciones para generar un total de 4n-2

Se debe cumplir la también la condición de la segunda derivada del polinomio i-ésimo debe ser igual a la segunda derivada del polinomio i-ésimo + 1, evaluado en el nodo que comparten.Obtenemos la segunda derivada del trazador cúbico de cada intervalo.

Solo se requieren 2 ecuaciones más para poder resolver el sistema. Bajo el entendimiento que el primer polinomio no tiene un polinomio que lo antecede y el último polinomio no tiene otro que precede por lo tanto la segunda derivada evaluada en x0 es cero y la segunda derivada del último polinomio evaluado en xn también es cero y se tienen las dos ecuaciones que hacían falta.

Usar la interpolación de Spline Cúbico en el problema de Runge. Usamos la ecuación f(x)=1/(1+25x^2) para generar los datos

Ejemplo:

Interpolación en 2 dimensiones

Descripción

La interpolación en dos dimensiones se aplica para casos donde se tiene dos variables independientes x e y, y una variable dependiente z. Las variables independientes son vectores de datos, mientras que la variable dependiente es una matriz de datos, un valor para cada dato de x e y.

La siguiente información muestra la Entalpía de vapor supercalentado a distintas temperaturas y presiones, use la interpolación en dos dimensiones para estimar la Entalpía a 420K y 190Kpa.

Ejemplo:

2.2. Regresión

Cuadrática

Lineal

Se ajusta un polinomio de segundo grado (parábola) que minimiza la distancia entre los puntos y la parábola de regresión

Se ajusta un polinomio de primer grado (linea recta) que minimiza la distancia entre los puntos y la linea de regresión.

Ejemplo:

En la fabricación de láminas de acero, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación inversa con la dureza del mismo, ya que a medida que la deformación crece, se afecta la dureza del acero. Con el objetivo de conocer ésta relación se tomaron los siguientes datos.

Regresión No lineal

Descripción

Cuando se selecciona un modelo no lineal se deben tener las condiciones que implica el modelo sobre los datos, por ejemplo: * Las funciones exponenciales no pueden pasar por el origen * Las funciones exponenciales solo pueden ajustar los datos cuando todas las y's son positivas o cuando todas las y's son negativas * Las funciones logarítmicas no pueden usarse cuando x es menor o igual a cero * Para el modelo de potencias y = 0 cuando x = 0 * En el modelo recíproco no existe y = 0

En una regresión no lineal se ajusta una función que involucra tanto a la variable independiente x como una conjunto de parámetros beta que se deben determinar para que la función f se ajuste a los datos.En algunos casos los modelos a determinar se acercan a una expresión simple no lineal donde se aplican transformaciones algebráicas para lograr linealizar la ecuación y entonces aplicar una regresión lineal, al final se invierte la transformación para obtener los valores de los parámetros beta.

El Anhídrido Nítrico se descompone homogéneamente de acuerdo a la siguiente reacción. Los datos de la reacción de N2O5 en el tiempo a una temperatura de 313K se muestran en la siguiente tabla: Asumiendo que la reacción es de primer orden r=kC_A entonces la concentración varía de acuerdo a:

Ejemplo:

Regresión Múltiple

Descripción

En la Regresión Múltiple se tiene más de una variable independiente x1, x2, x3,...,xn y solo una variable dependiente y. La regresión múltiple nos permite analizar la relación que tiene la variable de estudio y con las variables regresoras x1, x2, x3,...,xn. Por ejemplo, la velocidad de reacción (variable de estudio) con la temperatura y la concentración (variables regresoras). Se puede seguir un modelo lineal Donde los coeficientes a determinar son a0, a1, a2, ...,an. O se puede tener un modelo no lineal

En un estudio sobre el crecimiento de un parásito se contaron los parásitos en 10 localizaciones con diversas condiciones de Temperatura y Humedad, dando los siguientes resultados. Usar el siguiente modelo para la cantidad de parásitos: Estimar los valores de b1, b2 y b3 de la ecuación anterior.

Ejemplo:

03

ecuaciones no lineales

La solución de ecuaciones no lineales significa encontrar un valor de x donde f(x)=0, a éste valor particular se llama raíz.

Métodos:

Abiertos

Cerrados

• Requieren de 1 o más puntos iniciales
• Pueden diverger
• Encuentran raices reales y complejas
• Newton - Raphson
• Secante
• Muller
• Punto fijo
• Wegstein

• Requieren de 2 puntos que encierren la raíz. (x0,x1) tal que f(x0)*f(x1)<0
• Siempre convergen
• Solo encuentra raices reales de funciones que cruzan el eje x.
• Bisección
• Regla Falsa

Bisección

General

El método de Bisección al ser un método cerrado, requiere de dos puntos x0 y x1 que encierren la raíz, el intervalo [x0,x1] se parte a la mitad generando 2 subintervalos [x0,x] y [x,x1], en uno de los dos se encuentra la raíz, se selecciona dicho subintervalo y se vuelve a repetir el procedimiento hasta que se cumpla el criterio de convergencia |f(x)|<tolerancia.

Regla Falsa

General

El método de la Regla Falsa al ser un método cerrado requiere de dos puntos x0 y x1 que encierren la raíz. Se hace una interpolación lineal entre f(x0) y f(x1), al ser de signos opuestos entonces cruzan el eje x, por lo tanto la interpolación lineal entre estos dos puntos también cruzará el eje x en un valor aproximado de la raíz de f(x), al ser una raíz falsa, el método es llamado el Método de la Regla Falsa o de la Falsa Posición.

Ejemplo:

Se tiene un tanque esférico para almacenar agua y se desea calcular la altura del agua h para que el volumen sea 800. Usar la siguiente fórmula que calcula el volumen V en función de la altura h si R=10. Primero sustituimos el valor de R y V y transformamos la función a la forma f(x)=0.

Newton - Raphson

Descripción

El método de Newton-Raphson se apoya en la Serie de Taylor, la cual hace una aproximación de f(x) Truncamos la serie de Taylor en el segundo término, y como deseamos encontrar el valor de x donde f(x)=0 entonces igualamos la serie truncada a 0. Esto nos daría una aproximación a la raíz de f(x), para conocer el valor de x simplemente la podemos despejar de la ecuación.

Fluye aire a una temperatura de 25 C y 1 atm a través de un tubo de 4 mm de diámetro a una velocidad promedio de 50 m/s. La rugosidad es de epsilon=0.0015mm y Re=13743. Calcular el factor de fricción usando la ecuación de Colebrook La ecuación se expresa de la forma f(x)=0 Y su derivada es:

Ejemplo:

Secante

Descripción

Uno de los inconvenientes de los métodos de Newton para ecuaciones no lineales es el uso de la derivada de f(x), si hablamos de una función complicada donde sea muy difícil derivar, el método de Newton no es el recomendable. La alternativa es usar una aproximación a la derivada que sea más sencilla de obtener. Sustituimos la aproximación de f'(x) en la ecuación iterativa de Newton y tenemos

Método de Müller

Descripción

El método de la secante usa dos puntos para encontrar el siguiente punto con una línea secante. El método de Müller usa tres puntos para trazar una parábola y encontrar el siguiente punto con la raíz de la ecuación de 2do grado.

Donde:

Método del punto fijo

Descripción

Plantea la solución encontrando la intersección de g(x) y x, donde g(x) es el resultado de despejar parcialmente x de f(x). La intersección de x y g(x) es la raíz de f(x)

Método de Wegstein

Descripción

El método de Wegstein se apoya en el método del punto fijo en las dos primera iteraciones, para obtener el tercer punto hace una interpolación lineal entre los dos puntos anteriores y calcula la intersección con x para calcular x3

04

sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales representan las interacciones que tienen los elementos dentro de un sistema. La solución del sistema es la respuesta ante sus entradas.

Método de eliminación de Gauss

Descripción

El método de eliminación convierte el sistema original en un sistema triangular superior aplicando las operaciones elementales.

Proceso de reducción

El proceso de reducción hace uso de las operaciones elementales, es especial la operación de recucción que se aplica iniciando el la columna 1 hasta la última columna del sistema.El factor de reducción se calcula utilizando el elemento que se quiere reducir y se divide entre el elemento pivote en curso

El siguiente paso es la sustitución en reversa para calcular cada una de las in´cognitas que forman el conjunto solución.

Proceso de sustitución inversa

Como resultado del proceso de reducción obtenemos la matriz diagonal, la última ecuación es muy sencilla y se puede obtener el valor de la última incógnita

Con éste resultado se puede obtener la incógnita anterior.

El proceso se repite de forma inversa hasta calcular todas las incógnitas.

Método de eliminación de Gauss-Jordan

Descripción

El método de eliminación de Gauss-Jordan es una extensión del método de Gauss. A diferencia del método de Gauss, el método de Gauss-Jordan aplica el proceso de reducción para conviertir el sistema original en un sistema diagonal.

Donde la última columna es el vector solución, por lo que no requiere del proceso de sustitución inversa.

Método de Inversa-Multiplicación

Descripción

El método de Inversa-Multiplicación plantea resolver la ecuación matricial despejando el vecto x de la ecuación Ax = b

Donde se obsrva que para obtener el vector solución se requiere de la inversa de A y multiplicar por b

Para calcular la inversa de A se extiende con la matriz identidad, se aplican las operaciones elementales hasta llegar a la matriz identidad como en el método de Gauss-Jordan y se obtiene la inversa de A

Método de Inversa-Multiplicación

Mutiplicación

La multiplicación de la inversa de A por el vector b es de manera habitual

Método de descomposición LU

Descripción

El método de descomposición LU crean una matriz L con los factores k de reducción, la matriz U es la matriz triangular superior resultado de la reducción.Multiplicar LU obtenemos la misma matriz A, de tal manera que:

Donde se cumplen las siguientes propiedades A = LU y Lb = d. De esta manera se obtiene la matriz triangular U y el vector d que son necesarios para el segundo paso de la sustitución hacia atrás. Lo conveniente del método de descomposición LU es que independiza los factores de reducción k y se puedan aplicar a distintos vectores de constantes b.

Método iterativo de Jacobi

Descripción

En el método de Jacobi se descompone la matriz de coeficientes A en dos matrices, una se compone de los elementos de la diagonal Di,i = Ai,i. La matriz D no debe tener elementos cero, si fuera así se deben intercambiar los renglones para evitar el caso. La otra matriz es el resto de los elementos, es decir los elementos que no son la diagonal Ri, j = Ai, j de tal manera que A = D+R.

Método iterativo de Jacobi

Por lo tanto la ecuación que describe un sistema de ecuaciones lineales Ax = b ahora se expresa como [D+R]x = b.

La ecuación iterativa de Jacobi se inicia con valores supuestos x(k) y la ecuación iterativa obtiene los siguientes valores x(k+1). El proceso se repite hasta que la diferencia absoluta entre x(k+1) y x(k) sea mínima.

Método iterativo de Gauss-Seidel

El método de Gauss-Seidel o el método de Liebmann es un método iterativo que separa la matriz de coeficientes A en dos matrices, una matriz triangular inferior L que contiene los elementos de A que están en la diagonal inferior (la diagonal no debe contener ceros) y la matriz U que contiene los elementos de A que están sobre la diagonal.

De tal manera que A = L+U.La ecuación que describe un sistema de ecuaciones lineales Ax = b ahora se expresa como [L+U]x = b.

Método iterativo de Gauss-Seidel

De tal manera que A = L+U.La ecuación que describe un sistema de ecuaciones lineales Ax = b ahora se expresa como [L+U]x = b.

La ecuación iterativa de Gauss-Seidel se inicia con valores supuestos x(k) y la ecuación iterativa obtiene los siguientes valores x(k+1). El proceso se repite hasta que la diferencia absoluta entre x(k+1) y x(k) sea mínima.

05

sistemas de ecuaciones no lineales

Donde F(x1, x2, x3,... , xn) es una función vectorial no lineal, el conjunto solución que resuelve el sistema, satisface a todas las ecuaciones fi(x1, x2, x3,... , xn) simultáneamente.

Una ecuación no lineal univariable se expresa como f (x), cuando hablamos de funciones no lineales multivariables las podemos expresar como f (x1, x2, x3,... , xn). Para resolver este tipo de funciones que tienen n variables se requiere de un sistema de n ecuaciones que se puede expresar como

Método del punto fijo multivariable

Descripción

Se despeja xi de la i-ésima ecuación y se genera un sistema iterativo

El vector x(k) es un vector inicial que se sustituye en el sistema y se obtiene un nuevo vector x(k+1), el proceso se repite hasta que se cumple el criterio de convergencia

Método de Newton-Raphson multivariable

Descripción

Desarrollando la serie de truncada de Taylor multivariable de primer orden e igualando a 0 llegamos a la siguiente expresión

donde el primer vector es el vector de las ecuaciones evaluadas en el vector inicial, la matriz es la matriz jacobiana resultado de evaluar las derivadas parciales de las ecuaciones y evaluadas en el vector inicial, y el vector de las diferencias entre los nuevos valores de x* y los anteriores x.Se debe despejar el nuevo vector de x* por lo que no es posible, entonces vamos a plantear la ecuación anterior como un sistema de ecuaciones lineales y resolverlo.

Método de Newton-Raphson multivariable

Escribimos el mismo sistema pero de manera más sencilla para poder manipularla

Que tiene la forma de un sistema de ecuaciones lineales que ya sabemos resolver, la solución del sistema es el valor de Delta x, entonces para obtener los valores de x* basta hacer un despeje.

validar si esta aproximación al conjunto solución cumple con el criterio de convergencia, sino es así, se sustituyen como nuevos valores y se vuelve a evaluar F(x(k)) y J(x(k)) para obtener un nuevo valor de Delta x, los cálculos se repiten hasta cumplir con el criterio de convergencia.

07

Integrales definidas

El objetivo de los métodos de integración es calcular el área que completen los límites de integración a y b que son los lados izquierdo y derecho, el eje x el lado inferior y la función f (x) en la parte superior.

Regla de los rectángulos

En algunos casos el área del rectángulo será mayor que el valor de la integral y en otros casos será menor. Para mejorar el resultado dividimos el intervalo de integración [a,b] en n subintervalos, de tal manera que la integral cubre mejor el área bajo la curva. El valor de la integral será la suma del área de cada rectángulo

Descripción

La regla de los rectángulos es la aproximación de la integral definida de f (x) con la integral de un polinomio de grado 0.

La integral del rectángulo se obtiene multiplicando la base (b-a) por la altura f (a).

Regla de los trapecios

Para mejorar el resultado dividimos el intervalo de integración [a,b] en n subintervalos, de tal manera que la integral cubre mejor el área bajo la curva. El valor de la integral será la suma del área de cada trapecio

Descripción

La regla de los trapecios hace la aproximación a la integral por medio de un polinomio de grado 1, es decir, una línea recta con pendiente

El área del trapecio se obtiene con la siguiente fórmula

08

ecuaciones diferenciales ordinarias

Donde F(x1, x2, x3,... , xn) es una función vectorial no lineal, el conjunto solución que resuelve el sistema, satisface a todas las ecuaciones fi(x1, x2, x3,... , xn) simultáneamente.

Una ecuación no lineal univariable se expresa como f (x), cuando hablamos de funciones no lineales multivariables las podemos expresar como f (x1, x2, x3,... , xn). Para resolver este tipo de funciones que tienen n variables se requiere de un sistema de n ecuaciones que se puede expresar como

09

ecuaciones diferenciales parciales

Donde F(x1, x2, x3,... , xn) es una función vectorial no lineal, el conjunto solución que resuelve el sistema, satisface a todas las ecuaciones fi(x1, x2, x3,... , xn) simultáneamente.

Una ecuación no lineal univariable se expresa como f (x), cuando hablamos de funciones no lineales multivariables las podemos expresar como f (x1, x2, x3,... , xn). Para resolver este tipo de funciones que tienen n variables se requiere de un sistema de n ecuaciones que se puede expresar como