Les techniques de factorisation

Dans quels contextes aura-t-on besoin de factoriser?

La factorisation est un outil algébrique que l'on utilise fréquemment. Lors de la manipulation de fractions algébriques, factoriser est souvent nécessaire pour écrire des polynômes comme des produits de facteurs plutôt que comme des sommes de termes. Cela permet d'effectuer des simplifications de facteurs, tel que montré ci-dessous.

La factorisation s'avère également très utile pour résoudre des équations du deuxième degré comme celle-ci:

Qu'est-ce que la factorisation?

Factoriser un polynôme (ou le décomposer en facteurs), c’est retrouver les facteurs utilisés pour le construire. Il faut donc exprimer un polynôme sous la forme d’un produit de polynômes de degrés inférieurs, comme dans l'exemple suivant:

Pour y arriver, il faut utiliser des techniques de factorisation. Le choix de la technique à utiliser dépend de la forme du polynôme à factoriser. Après avoir factorisé un polynôme, il sera facile de vérifier si la factorisation effectuée est la bonne; il suffit de multiplier les facteurs ensemble afin de vérifier si on obtient bien le polynôme de départ.

2x+4y=2(x+2y)

(2x-5)(x+3)

Les techniques de factorisation

Département de mathématique, Cégep Limoilou

12=4*3

(x-3)(x+3)

INDEX

Dans quels contextes aura-t-on besoin de factoriser?

La simple mise en évidence

Qu'est-ce que la factorisation?

La différence de carrés

La double mise en évidence

La somme de carrés

Le trinôme produit somme cas a = 1

Le trinôme carré parfait

Le trinôme produit somme cas général

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Quand utiliser quelle technique pour factoriser?

La simple mise en évidence

La mise en évidence simple est toujours la première technique de factorisation que vous devez chercher à utiliser. Il s’agit de trouver le plus grand facteur commun à tous les termes. Ensuite, il faut le mettre en évidence en divisant chaque terme par ce facteur. Voici 3 exemples présentant une simple mise en évidence:

Au lieu de diviser pour obtenir le facteur restant entre parenthèses, on peut se poser la question suivante: Par quoi doit-on multiplier la quantité mise en évidence pour obtenir le polynôme de départ? .

En utilisant la simple mise en évidence, factoriser le polynôme .

Solution

Suite

La simple mise en évidence

LOREM IPSUM DOLOR SIT AMET

Parfois, le facteur commun des termes d'une expression algébrique est un facteur "un peu plus gros", constitué lui-même d'une somme ou d'une différence de termes déjà placée entre parenthèses, comme dans l'exemple suivant:

Ce cas n'est pas bien différent de celui-ci, où le facteur commun y a été mis en évidence:

Ainsi, le facteur (a + c) de notre exemple de départ se traite exactement comme le facteur y de l'exemple précédent, on obtient donc :

En utilisant la simple mise en évidence, factoriser le polynôme suivant:

Solution

La double mise en évidence

Il arrive parfois que les termes d’un polynôme n’aient pas de facteur commun mais que des regroupements de certains termes en aient un. Après les avoir regroupés, on effectue deux mises en évidence successives, si possible. Cette technique s’appelle la double mise en évidence et s’applique habituellement sur une somme de quatre ou six termes.

Voici un autre exemple:

Solution

En utilisant la double mise en évidence, factoriser le polynôme suivant:

Suite

La double mise en évidence

Quel regroupement faire? Il existe 3 regroupements différents possibles pour une double mise en évidence (dont 2 qui fonctionneront et 1 qui ne fonctionnera pas). Ainsi, si notre premier essai ne fonctionne pas, il faut en essayer un autre avant de conclure que le polynôme ne se factorise pas.

La différence de carrés

Une différence de carrés a la forme et se factorise de la façon suivante :

Vérifions algébriquement que cette factorisation fonctionne:

Nous observons que les termes ab et –ab se simplifient. Ainsi, il ne reste que les deux termes qui sont au carré.

Suite

La différence de carrés

Voici d'autres exemples de différences de carrés :

Voici un polynôme qui n'est pas une différence de carrés: En effet, bien que le présent dans le deuxième terme soit un carré, on y retrouve aussi qui n'en est pas un.

Solution

En utilisant la différence de carrés, factoriser le polynôme suivant:

La somme de carrés

Prenons un exemple d'une somme de carrés: . Est-il possible de trouver deux facteurs qui, multipliés, donneront comme résultat final ? Essayons de trouver ces deux facteurs:

Cela permet de se rappeler que et !

Une somme de carrés ne se factorise donc pas!

Le trinôme produit somme - cas général

Avant de regarder la technique permettant de factoriser les polynômes du type , regardons ce qui se passe lorsque nous effectuons un produit de deux binômes:

C'est pour cette raison que nous devons trouver deux nombres entiers bien particuliers qui respectent ces deux conditions. En faisant ainsi, nous pourrons factoriser le trinôme.

Suite

Le trinôme produit somme - cas général

Par exemple, factorisons le polynôme . Pour y arriver, nous devons trouver deux nombres qui, multipliés, donnent 72 et qui, additionnés, donnent 17. Quels nombres devra-t-on choisir pour que ces deux conditions soient remplies? Une fois les nombres trouvés, nous remplacerons 17x par la somme de 8x et 9x pour terminer la factorisation par une double mise en évidence:

Suite

Le trinôme produit somme - cas général

En utilisant la technique du produit somme, factoriser le polynôme suivant:

Solution

Le trinôme produit somme - cas a = 1

Ainsi, lorsque le paramètre a du trinôme est 1, nous ne sommes pas obligés de terminer la factorisation avec une double mise en évidence.

Par exemple, factorisons le trinôme . Pour ce faire, on doit trouver deux nombres qui, multipliés, donnent 6 et qui, additionnés, donnent -5. Quels nombres retient-on? Comme le trinôme est un cas particulier où le paramètre a vaut 1; on peut directement factoriser avec les nombres trouvés:

En résumé

Le trinôme carré parfait

Si on faisait la factorisation selon la technique produit somme, on devrait trouver deux nombres dont le produit est 49∙9 = 441 et dont la somme est 42. Cela se fait, mais ce n’est pas facile! On trouve les nombres 21 et 21. On finirait par obtenir la même factorisation:

SUITE

Le trinôme carré parfait

À la lumière de ce qu’on vient de voir, il est clair qu’on peut tirer un avantage certain en repérant d’un coup d’œil les trinômes carrés parfaits.

Si nous avons, par exemple, le trinôme suivant: . Le premier réflexe est de factoriser ce trinôme par produit somme. Mais si ce polynôme était un trinôme carré parfait? La factorisation serait plus rapide! Vérifions si c'est le cas:

et sont des carrés (les carrés de 10a et de 2)

Le premier et le troisième termes doivent être des carrés.

Il doit aussi y avoir un avant le 3e terme.

Le terme du milieu doit correspondre au double du produit des nombres obtenus par l'extraction des racines carrées des premier et troisième termes.

-40a est le double du produit de 10a et 2

C'est un trinôme carré parfait dont la factorisation est:

SUITE

Le trinôme carré parfait

Déterminons si les trinômes suivants sont des trinômes carrés parfaits. Si c'est le cas, factorisons-les.

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Quand utiliser quelle technique?

La simple mise en évidence

On peut trouver un facteur commun à tous les termes du polynôme, peu importe le nombre de termes de celui-ci.

On ne peut pas trouver un facteur commun à tous les termes du polynôme, mais on peut trouver un facteur commun aux termes pris deux par deux. Ainsi, on n'utilise cette technique que sur des polynômes avec un nombre pair de termes.

La double mise en évidence

On est face à un binôme formé de deux carrés qui se soustraient.

La différence de carrés

Factorisation du trinôme produit somme (cas général)

On est face à un trinôme du 2e degré, avec un paramètre a différent de 1.

On est face à un trinôme du 2e degré, avec un paramètre a = 1.

Factorisation du trinôme produit somme (cas a = 1)

On est face à un trinôme du 2e degré et on s'aperçoit que le premier et le troisième termes sont des carrés. On vérifie alors si on a un trinôme carré parfait.

Factorisation du trinôme carré parfait