Funciones

Funciones

Gráficos y algunas definiciones.

Definición:

Dados dos conjuntos A y B, una función f de A en B es una regla de correspodencia que asocia a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento del conjunto B.

El conjunto B se denomina conjunto de llegada o Codominio.

El conjunto A se llama conjunto de Partida o Dominio.

Imagen ( I(f)): todos los valores de F(X) perteneciente a B, con X pertenecientes al dom. de A

I (f)

Intersección con los ejes coordenados

Los puntos de intersección con el eje x (se llaman Raíces) se obtiene para aquellos valores del dominio donde la imagen vale 0, estos valores, si existen, se llaman ceros de la función (f(x)=0). Los puntos de intersección con el eje y (se llama ordenada al origen) se obtienen cuando 0 pertenece al dominio de la función y es el valor f(0), es decir, el resultado de realizar las operaciones igualando x a 0 ((0,f(0)).

Conjuntos de positividad y negatividad

Conjunto de positividad: Es el conjunto formado por todos los valores de x pertenecientes al dominio de la función tal que f(x) es mayor que cero.Conjunto de negatividad: Es el conjunto formado por todos los valores de x pertenecientes al dominio de la función tal que f(x) es menor que cero.

Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento: Se dice que f es creciente en un intervalo que pertenece al dominio de la función cuando para todo par de valores x1, x2, pertenecientes a ese intervalo se cumple que: si x1<x2 ---> f(x1)<f(x2).Decrecimiento: Se dice que f es decreciente en un intervalo que pertence al dominio de la función cuando para todo par de valore x1, x2, pertenecientes a ese intervalo se cumple que: si x1<x2 ---> f(x1)>f(x2).

Paridad e imparidad

Paridad: Una función se dice par cuando se cumple que para todo x pereneciente al dominio de la función: f(x)=f(-x).Imparidad: Una función se dice impar cuando se cumple que para todo x perteneciente al dominio de la función: f(x)=-f(-x).

Tipos de Funciones

Existen muchos tipos de funciones,pero en este video explicaremos tres de ellas:

Función Lineal

Función Cuadrática

Función Cúbica

Función Lineal

Es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: F(x)= mx + n Donde m y n son constantes reales y x es una variable real. La constante m determina la pendiente o inclinación de la recta, y la constante n determina el punto de corte de la recta con el eje vertical y.

Crecimiento y decrecimiento de la función lineal

Crecimiento: Se dice que una función lineal es creciente en su dominio cuando se cumple que m (coeficiente que multiplica a la variable x) es mayor que cero (m>0).Decrecimiento: Se dice que una función lineal es decreciente en su dominio cuando se cumple que m es menor que cero (m<0). Constante: Se dice que una función lineal es constante cuando m es igual a cero (m=0).

Paridad e imparidad de la función lineal

Paridad: Se dice que una función lineal es par cuando es constante (m=0).Imparidad: Se dice que una función lineal es impar cuando la constante real n es igual a 0 (n=0).

Función cuadrática

Es una función polinómica de segundo grado de la forma: f(x)= ax²+bx+c Siendo a, b y c constantes reales y a distinto de cero. La forma gráfica de esta función es una parábola. Las características de la gráfica de esta función son:

• Es simétrica con respecto al eje de simetría (recta vertical que pasa por el vertice).
• Si a>0 entonces yv = f(xv) es el minímo valor de la función y la gráfica tendrá sus ramas hacia arriba.
• Si a<0 entonces yv = f(xv) es el máximo valor de la función y la gráfica tendrá sus ramas hacia abajo.

Crecimiento y decrecimiento de la función cuadrática

Teniendo en cuenta que el gráfico de una función cuadrática es una parábola, esta función crece en una mitad de su gráfico, y en la otra decrece. Entonces, dividimos estas posibilidades en dos casos diferentes:Si a>0, entonces se cumple que la función decrece desde el menor valor posible de x perteneciente al dominio de la función hasta el valor del vértice de la parábola en el eje x, luego crece desde el valor del vértice en el eje x hasta el máximo valor posible de x perteneciente al dominio de la función. Ocurre lo contrario cuando a<0.

Paridad e imparidad de la función cuadrática

Paridad: Se dice que una función cuadrática es par cuando se cumple que el eje de simetría de la gráfica coincide con el eje vertical Y.Imparidad: Una función cuadrática nunca puede ser impar.

Función cúbica

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado que se escribe de la siguiente manera: f(x)= ax³+bx²+cx+d donde los coeficientes (valores constantes que multiplican a las x) son números racionales y a es distinto de cero. Al coeficiente a se lo llama "coeficiente principal" y al término d se lo llama "término independiente", este último es quien determina el punto de corte de la gráfica con el eje vertical Y (punto en el que x=0).

Crecimiento y decrecimiento de la función cúbica:

Crecimiento: Se dice que una función cúbica (f(x)=ax³) crece cuando el coeficiente "a" es positivo, es decir, mayor que cero. Decrecimiento: Se dice que una función cúbica (f(x)=ax³) decrece cuando el coeficiente "a" es negativo, es decir, menor que cero.

Paridad e imparidad de la función cuadrática

Paridad: Una función cúbica nunca puede ser par.Imparidad: Una función cúbica se dice impar cuando su punto de inflexión (punto en el que la gráfica cambia de sentido) es el origen de coordenadas (0,0).

Algunos Ejemplos

Gráfica

Raiz y ordenada al origen

Tenemos la función F(X)= 2x+3

F(x)=0 igualo la funcion a cero 2x+3=0 reemplazo por la función 2x=-3 despejo la xx=-3/2

F(0)=y valuo la función en 02x+3=y reemplazo por la fución 2.0+3=y reemplazo por 0 3=y

Conjunto de positividad y negatividad.

Tenemos la función F(x)= x²-1

Como observamos en la imagen las raices estan en -1 y 1. Entonces el conjunto de positividad observandolo desde la imagen seria.C+: (-∞; -1) U (1;+∞) C-: (-1; 1)

Crecimiento y Decrecimiento.

Tenemos la función F(x)= x³

Como observamos en la imagen el punto de inflexión esta en (0,0)Por lo tanto podemos observar la función: Crece: (-∞;+∞) No decrece.

Realización:

Abella Sofia.

García Luciano.

Niembro Nehuén.

Vannícola Emmanuel.

Video Educativo realizado en el marco de la materia Informática Educativa

Orientado al ámbito de la eduación secundaria

Facultad de Economía y Administración

Profesorado universitario de matemáticas

Universidad Nacional del Comahue

Bibliografía: Libro: Matemática de pregrado para ingenieria.Autores: Elsa E. Plaza y Ricardo O. Sirne Fecha: Marzo de 2014