probabilités Harry Potter

Probabilités

Index

Introduction

équiprobabilité ; OU

événements incompatibles

NON

ET

événements indépendants

Exercices

Probabilités

Ça veut dire quoi ?

Choixpeau

A chaque nouvel élève qui arrive à Poudlard, le choixpeau annonce la maison à laquelle il appartiendra jusqu'à la fin de ses études.

4 maisons :

Choixpeau

A chaque nouvel élève qui arrive à Poudlard, le choixpeau annonce la maison à laquelle il appartiendra jusqu'à la fin de ses études.

4 maisons :

Gryffondor Serpentard Poufsouffle Serdaigle

Choixpeau

Un élève dont on ne sait rien participe à la cérémonie de répartition : quelle est la probabilité qu'il soit affecté à la maison Serdaigle ?

4 issues (maisons) : Gryffondor Serpentard Poufsouffle Serdaigle

Choixpeau

Un élève dont on ne sait rien participe à la cérémonie de répartition : quelle est la probabilité qu'il soit affecté quelque part ?

4 issues (maisons) : Gryffondor Serpentard Poufsouffle Serdaigle

Choixpeau

Un élève dont on ne sait rien participe à la cérémonie de répartition : quelle est la probabilité qu'il ne soit affecté nulle part ?

4 issues (maisons) : Gryffondor Serpentard Poufsouffle Serdaigle

Probabilités

leçon

I. Vocabulaire définitions : • Une expérience est aléatoire si elle fait intervenir le hasard, si on ne peut pas en prévoir le résultat. • Ses résultats possibles sont ses issues. exemples : • On choisit un élève au hasard et on lui demande sa maison. Les 4 issues sont « Gryffondor », « Poufsouffle », « Serdaigle » et « Serpentard ». • Lancer une pièce -> 2 issues : Pile et Face définition : Un événement est la réunion d'une ou plusieurs issues. exemple : • Obtenir un numéro pair en lançant un dé, c'est obtenir une des issues “2“, “4“, ou "6".

définitions : • La probabilité d'un événement (ou d'une issue) est un nombre compris entre 0 et 1 qui reflète son degré de certitude : probabilité improbable probable impossible certain • Des événements ou issues qui ont la même probabilité (la même "chance", le même "risque") de se produire sont équiprobables.

leçon

QCM

Situer sur cette échelle de probabilités la probabilité des événements suivants :

Q1

Gagner au loto

Q2

Tomber sur 6 en lançant un dé

Q3

Tomber sur face en lançant une pièce

Q4

Le jour de l'an 2047 tombera un vendredi 13.

Q5

C'est aujourd'hui l'anniversaire d'un élève de la classe.

Q6

C'est aujourd'hui l'anniversaire d'un élève du collège.

Choixpeau

Autant d'élèves sont affectés à chaque maison. Un élève dont on ne sait rien participe à la cérémonie de répartition : quelle est la probabilité qu'il soit affecté à la maison Serdaigle ?

4 issues (maisons) : Gryffondor Serpentard Poufsouffle Serdaigle

II. Calcul de probabilités propriété : La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire vaut 1 (100%). propriété : Si une expérience aléatoire a n issues équiprobables, alors la probabilité de chacune vaut . exemple : La probabilité qu'un élève de Poudlard choisi au hasard appartienne à la maison Serdaigle est :

leçon

Choixpeau

Un élève dont on ne sait rien participe à la cérémonie de répartition : quelle est la probabilité qu'il soit affecté à Gryffondor ou à Serpentard ?

4 issues (maisons) : Gryffondor Serpentard Poufsouffle Serdaigle

II. Calcul de probabilités propriété : La probabilité d'un événement est égal à la somme des probabilités des issues qui le composent. exemple : La probabilité qu'un élève choisi au hasard appartienne à Gryffondor ou à Serpentard est :

leçon

1. OU ↔ +

leçon

p( événémént 1 OU événement 2 ) = p( événement 1) + p( événement 2)

On place ces boules dans le chapeau …

On va tirer au hasard une boule du chapeau. Quelle est la probabilité de tirer une boule … • … ? • … ?

On a choisi un personnage au hasard. Quelle est la probabilité pour que …

Quelle est la probabilité pour …

… qu'on ait choisi un fantôme OU qu'on ait choisi un personnage à lunettes ?

1. OU ↔ +

leçon

p( événémént 1 OU événement 2 ) = p( événement 1 ) + p( événement 2 ) p(Gryffondor OU Serpentard) = p(Gryffondor) + p(Serpentard) p(fantôme OU lunettes) ? p(fantôme) + p(lunettes)

Seulement si : Ces événements sont incompatibles.

ex1 : ex2 : ex1 : ça marche car un élève ne peut pas être à la fois à Gryffondor et à Serpentard. ex2 : ça ne marche que s'il n'y a pas de fantôme à lunette !

Choixpeau

Un élève dont on ne sait rien participe à la cérémonie de répartition : quelle est la probabilité qu'il ne soit pas affecté à Poufsouffle ?

4 issues (maisons) : Gryffondor Serpentard Poufsouffle Serdaigle

2. NON ↔ 1 - …

leçon

p( un événement ne se produise pas ) = 1 – p( cet événement ) p( ne pas choisir un elfe ) = 1 – p( choisir un elfe ) p( ne pas choisir un elfe ) = 100% – p( choisir un elfe ) ex : p( Non Poufsouffle ) = 1 – p( Poufsouffle ) = 1 – 1/4 = 3/4 p( Non Poufsouffle ) = 100% – p( Poufsouffle ) = 100% – 25% = 75%

ex :

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite … • Quelle est la probabilité d'obtenir 2 fois Pile ? • Quelle est la probabilité d'obtenir 2 fois Face ? • Quelle est la probabilité d'obtenir 2 résultats différents ?

P F

3. ET ↔ ×

leçon

p( événémént 1 ET événement 2 ) = p( événement 1 ) × p( événement 2 )

ex : 2 lancers consécutifs d'une pièce équilibrée : p( 1er : Face ET 2ème : Pile ) = p( 1er : Face ) × p( 2ème : Pile ) = 0,5 × 0,5 = 0,25 = 1/4

Harry et Ron pensent chacun à un directeur•trice de Poudlard… Quelle est la probabilité qu'ils pensent tous les deux à Mr D. ?

Mr D.

Mrs M.

Mr R.

Harry et Ron pensent chacun à un directeur•trice de Poudlard… Quelle est la probabilité qu'ils pensent au même personnage ?

Mr D.

Mrs M.

Mr R.

Harry et Ron pensent chacun à un directeur•trice de Poudlard… Quelle est la probabilité qu'aucun des deux ne pense à Mr R. ?

Mr D.

Mrs M.

Mr R.

Harry pense à un directeur•trice de Poudlard… Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? Quelle est la probabilité qu'il•elle ne porte pas de lunettes ? Quelle est la probabilité que ce soit un homme qui ne porte pas de lunettes ?

Mr D.

Mrs M.

Mr R.

Les événements “il pense à un homme” et “il pense à un personnage qui ne porte pas de lunettes” ne sont pas indépendants : Si “il pense à un homme” est réalisé (si on sait déjà que c'est vrai), alors la probabilité de ne pas porter de lunettes change, ce n'est plus 1/3. On ne peut plus multiplier les probabilités, il faut revenir au dénombrement des cas possibles (tableaux).

Mr D.

Mrs M.

Mr R.

3. ET ↔ ×

leçon

p( événémént 1 ET événement 2 ) = p( événement 1) × p( événement 2)

ex : 2 lancers consécutifs d'une pièce équilibrée : p( 1er : Face ET 2ème : Pile ) = p(1er : Face) × p(2ème : Pile ) = 0,5 × 0,5 = 0,25 = 1/4

Seulement si : les événements sont indépendants.

Exercices

Loterie

Dé 1

Urne 1

Sondage

Urne 2

Vrai ou Faux

Roue 1

Dé 2

Roue 2

Dé 3

Roue 3

Urne 3

Oursons

stéréogramme

Loterie

Les numéros 13, 22, 34, 35 et 37 sont sortis la semaine dernière à une loterie. 1. Est-ce que, pour cette semaine, le numéro 35 a : a. autant de chance ; b. moins de chance ; ou c. plus de chance.de sortir que le numéro 5 ? 2. Est-il possible que l’on obtienne cette semaine exactement le même tirage que la semaine dernière ?

Urnes

A-t-on plus de chances de tirer une boule rouge dans : une urne A qui contient 3 boules toutes rouges ? ouune urne B qui contient 500 boules rouges et une boule noire ?

Urnes

A-t-on plus de chance de tirer une boule rouge ou une boule noire dans chacune des urnes ci-dessous ?

Roue

Quelle couleur a le plus de chance d’être obtenue quand on fait tourner la roue ci-contre ?

2 roues

Avec la roue à droite, la couleur bleue a : plus / autant / moins de chances d'être obtenue qu'avec la roue de gauche

Roue

1. Quelle couleur a le plus de chance d’être obtenue quand on fait tourner la roue ci-contre ? 2. La couleur rouge a : • plus de chances • autant de chances • moins de chances d'être obtenue que la couleur jaune. 3. Quelle est la probabilité d'obtenir chacune des couleurs ?

Oursons

On choisit au hasard un de ces bonbons et on regarde sa couleur.

Un dé

sondage

Vrai ou Faux ?

Deux dés

On lance deux dés, l'un bleu, l'autre rouge, classiques (à 6 faces) équilibrés. On appelle p(n) la probabilité que la somme des deux dés soit égale à un nombre n. a. Calcule p(13), la probabilité que la somme des dés soit égale à 13. b. Quelle est la probabilité que le dé bleu tombe sur 1 ? c. Quelle est la probabilité que le dé rouge tombe sur 1 ? d. Quelle est la probabilité que les dés tombent tous les deux sur 1 ? e. Calcule p(12). f. Calcule p(3). g. Calcule p(7).

Un dé

On lance deux fois de suite un dé classique (à 6 faces) équilibré. Si le 1er lancer donne un nombre inférieur ou égal à 4 ET que le 2nd lancer donne un nombre supérieur ou égal à 3, alors on gagne. Sinon, on perd. A-t-on plus de chances de gagner ou de perdre à ce jeu ?

Dans une urne aux parois opaques, il y a huit boules indiscernables au toucher, qui portent chacune un numéro :

On considère l’expérience aléatoire qui consiste à tirer une boule de cette urne. a. Quelle indication apportent les mots “opaques“ et “indiscernables“ dans l’énoncé ? b. Que dire de l’événement : “tirer un boule portant un numéro inférieur à 10 ?“. c. Donne un événement impossible. d. Alice s’apprête à tirer une boule. A-t-elle plus de chance de tirer un numéro pair ou un numéro impair ? e. Finalement, elle a tiré la boule portant le numéro 5 et la garde : elle ne la remet pas dans l’urne. Bob s’apprête ensuite à tirer une boule dans l’urne. Quelle est la probabilité p(7) qu'il tire le numéro 7 ? f. Toutes les boules sont remises dans l'urne. Quelle est la probabilité p("pair OU >3") de tirer un numéro pair OU un numéro supérieur à 3 ? g. Cette probabilité est-elle égale à la somme des probabilités p("pair") + p(">3") ? Pourquoi ? h. Quelle est la probabilité p("pair ET >3") de tirer un numéro pair ET supérieur à 3 ? i. Cette probabilité est-elle égale au produit des probabilités p("pair") × p(">3") ? Pourquoi ?