Expresiones algebraicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Cifras y letras

Mayte Jiménez Romera

ÍNDICE

1 ¿Qué son las expresiones algebraicas?

2 Operaciones básicas: suma, resta y producto.

3 ¿Qué son las identidades notables?

4 ¿Cómo se dividen los polinomios?

5 Descomposición factorial de expresiones algebraicas.

Al tratar de generalizar reglas o principios se introducen en matemáticas términos literales. Si Ana tiene dos años menos que Blas, por ejemplo, podríamos escribirlo así: Edad de Ana es igual a la edad de Blas menos dos. En lenguaje matemático actual, se escribiría simplemente: X = y - 2, donde x es la edad de Ana, e y es la edad de Blas. La parte de las Matemáticas dedicada al estudio de estas expresiones es el Álgebra.

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Expresiones algebraicas

• Expresión algebraica: combinación de letras (variables) y números mediante operaciones aritméticas.

• Valor numérico: el que se obtiene al asignar valor a las variables y operar.

• Monomio: expresión algebraica formada por el producto de un número real (coeficiente) y una o más variables elevadas a exponentes naturales (parte literal).

• Grado de un monomio: suma de los exponentes de su parte literal.

• Semejantes: dos monomios lo son si tienen la misma parte literal.

• Polinomio: suma o resta de varios monomios no semejantes. Su grado será el del monomio de mayor grado.

2x³-3x²y+5y²-1

Para x=1, y=0: 2·(1)³-3·(1)²·(0)+5·(0)²-1 = 2-0+0-1 = 1

3 x²y , siendo coeficiente: 3, parte literal: x²y

Grado (3x²y) = 2 + 1 = 3 Grado (x³) = 3

2x², -7x²: semejantes. No lo son: 2x², -3xy

2x³-3x²y+5y²-1 --> Grado: 3

Operaciones básicas

• Suma y diferencia de monomios: es necesario que sean semejantes.

• Suma y resta de polinomios: se suman o restan los monomios semejantes.

• Producto de monomios: el resultado es un monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes, y la parte literal es el producto de las partes literales.

• Producto de polinomios: se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo, y se suman los semejantes.

• Potencia de exponente natural de un polinomio: se multiplica el polinomio por sí mismo tantas veces como indique el exponente.

Identidades notables

(a + b)²

(a - b)²

(a+b)(a-b)

División de polinomios

D(x) d(x) R(x) C(x)Luego: D(x) = d(x) · C(x) + R(x)Se cumple que: grado [R(x)] < grado [d(x)] Si el resto es nulo (R(x) = 0), la división es exacta.

Regla de Ruffini: válida para divisiones de polinomios en las que el divisor es un binomio del tipo (x-a), es decir: P(x) : (x-a)

División de polinomios Regla de Ruffini

P(x) = 4x³ - 3x² + x - 2 d(x) = (x-2)

4 -3 1 -2 2 8 10 22 4 5 11 20

4x³ - 3x² + x - 2 x - 2 -4x³ + 8x² 4x² + 5x 11 5x² + x - 5x² + 10x 11x - 2 - 11x + 22 20

VS

4x² + 5x + 11

C(x) = 4x² + 5x + 11 R(x) = 20

Descomposición factorial de polinomios

Raíces de un polinomio: valores de x que hacen cero su valor numérico. x = a tal que: P(a) = 0

Teorema del resto: el valor del resto en divisiones del tipo P(x):(x-a) es su valor numérico para x=a. R(x) = P(a)

Teorema del factor: (x-a) es factor de P(x) si P(a)=0, es decir: si el R(x)=0.

Descomposición factorial de polinomios

• Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de dos o más polinomios del menor grado posible.

• Buscamos los polinomios irreducibles, es decir: aquellos que no se pueden seguir factorizando.

Extraer factor común.

Utilizar las identidades notables.

Buscar las raíces enteras (Ruffini).

Resolver las ecuaciones de segundo grado.